Файл: Учебное пособие Киров 2010 удк 311(075. 8) Ббк 60. 60я73 К91.doc

Рис. 2. А_S<0 левосторонняя асимметрия Рис. 3. А_S>0 правосторонняя асимметрия

Степень существенности асимметрии можно оценить с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии,которая зависит от объема изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

= ,

где п – число единиц в совокупности.

Если отношение > 3, асимметрия считается существенной и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным, если < 3, то асимметрия признается несущественной, вызванной влиянием случайных обстоятельств.

Структурные показатели асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, т. е. основной массы единиц, и в отличие от моментного коэффициента не зависят от крайних значений признака. Наиболее часто применяют структурный коэффициент асимметрии, предложенный английским статистиком К. Пирсоном:

А_S = .

В симметричном распределении Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности):

Е_Х = ( : σ⁴) – 3.

Эксцесс может быть положительным и отрицательным. У островершинных распределений показатель эксцесса имеет положительный знак (+), а у плосковершинных – отрицательный знак (–). Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Е_Х = –2; величина положительного эксцесса может быть величиной бесконечной. В нормальном распределении Е

---

_Х = 0.



Рис. 4. Е_Х < 0 плосковершинное распределение Рис. 5. Е_Х > 0 островершинное распределение

Средняя квадратическая ошибка эксцесса исчисляется по формуле:

=

где п – число наблюдений.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения. Уравнение нормальной кривой:

,

где y_t– ордината кривой нормального распределения;

t – нормированное отклонение, равное ;

– арифметическая средняя распределения;

– математические константы.



Рис. 6. Кривая нормального распределения

Нормальная кривая имеет огромное значение в теории выборочного метода, поскольку может быть показано, что средние стандартные отклонения, рассчитанные по случайным выборкам, тяготеют к нормальным в случае больших размеров выборок, если даже совокупность, из которой они взяты, сама не является нормально распределенной.

Особенности кривой нормального распределения:

1. 
   кривая симметрична относительно максимальной ординаты, которая соответствует , ее величина равна ;
   
2. 
   кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. При этом, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются;
   
3. 
   равновероятны одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной х от :
   

---

а) кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от ;

б) в промежутке (при t = 1) находится 68,3% всех значений признака; в промежутке (при t = 2) находится 95,4% всех значений признака; в промежутке (при t = 3) – 99,7% всех значений признака.

Тест к теме 5

1. 
   Различают следующие классы средних величин:
   

а) вариационные и степенные; в) структурные и степенные;

б) вариационные и структурные; г) простые и взвешенные.

2. Средний уровень моментного ряда с равными промежутками между датами вычисляется по формуле:

а) средней арифметической простой; в) средней арифметической взвешенной;

б) средней хронологической простой; г) нет правильного ответа.

3. Как изменится средняя величина, если все варианты признака уменьшить в 1,5 раза, а все веса увеличить в 1,5 раза:

а) не изменится; в) уменьшится;

б) увеличится; г) определить невозможно?

4. По предприятию известны следующие данные:

№ цеха	Фонд заработной платы, руб.	Средняя заработная плата, руб.
1	244800	7200
2	115900	6100
3	250500	8350

Какую форму средней следует использовать для расчета средней заработной платы по предприятию в целом:

а) среднюю арифметическую простую; в) среднюю арифметическую взвешенную;

б) среднюю гармоническую взвешенную; г) среднюю геометрическую?

5. Имеются следующие данные:

Годы	2001	2002	2003
Темп роста цен, % к предыдущему году	–	118,0	72,0

---

Какой вид степенной средней необходимо использовать для нахождения среднегодового темпа роста цен:

а) среднюю арифметическую простую; в) среднюю геометрическую простую;

б) среднюю геометрическую взвешенную; г) среднюю гармоническую?
6. Индексы материальных затрат в 2001 г. на мебельной фабрике составили (в процентах к предыдущему периоду): в I квартале 106,7%, во II квартале 94,3%, во 2-м полугодии 113,1%. Среднемесячный индекс роста затрат за год составляет:

а) 1,047; б) 1,011; в) 1,138; г) ответ дать невозможно.

7. Могут ли мода, медиана и средняя арифметическая совпадать:

а) могут; б) могут совпадать только средняя и медиана; в) не могут.

8. Выработка 7 членов бригады характеризуется следующими данными (деталей за смену): 18, 26, 27, 21, 21, 24, 28. Определите медианное значение:

а) 21; б) 23,5; в) 23,6; г) 24.

9. Распределение торговых предприятий города по числу работников характеризуется следующими данными:

Число работников, чел.	До 3	4–10	11–20	21–40	41 и более	Итого
Удельный вес предприятий, %	9	17	33	35	6	100

Определите модальный интервал:

а) 4–10; б) 11–20; в) 21–40.

10. По какому графическому изображению определяют медиану:

а) гистограмма; в) кумулята;

б) диаграмма; г) нет правильного ответа.

11. Дисперсия – это:

а) средняя арифметическая абсолютных отклонений вариантов от их среднего значения;

б) разность между максимальным и минимальным значением признака;

в) средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины;

г) нет правильного ответа.

12. Если имеются данные о значении дисперсии, то можно рассчитать значение:

а) среднего квадратического отклонения; в) коэффициента вариации;

б) среднего линейного отклонения; г) размаха вариации.

13. Определите дисперсию доли брака, если при осмотре партии деталей среди них оказалось 2% бракованных:

а) 0,02; б) 0,98; в) 0,0196?

14. Чему равна межгрупповая дисперсия, если признак внутри групп не варьирует:

---

а) единице; в) общей дисперсии;

б) нулю; г) средней из групповых дисперсий?

15. Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует:

а) вариацию результативного признака «Y», обусловленную влиянием всех факторов, кроме исследуемого фактора «X»;

б) вариацию результативного признака «Y», обусловленную влиянием фактора «X»;

в) вариацию внутригрупповых средних относительно общей средней по совокупности.

16. Какой из показателей вариации характеризует относительную меру колеблемости около средней величины:

а) коэффициент вариации; в) среднее квадратическое отклонение;

б) дисперсия; г) нет правильного ответа?

17. Размах вариации зависит:

а) от среднего значения признака; в) возможности аномальных наблюдений;

б) моды и медианы; г) ни от чего не зависит.

18. Как изменится дисперсия признака, если все варианты признака увеличить в 3 раза:

а) увеличится в 3 раза; в) уменьшится в 3 раза;

б) увеличится в 9 раз; г) не изменится?

19. К абсолютным показателям вариации относятся:

а) размах вариации; в) коэффициент вариации;

б) коэффициент детерминации; г) все ответы верные.

Задачи для решения

1. 
   Определить средний удельный вес (в %) бракованной продукции за I квартал по следующим данным:
   

Показатель	Январь	Февраль	Март
Выпуск продукции, млн руб. Удельный вес бракованной продукции, %	80 5,0	96 3,2	100 3,8

2. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные:

№ цеха	Сентябрь		Октябрь
	Численность работников	Средняя месячная заработная плата, руб.	Средняя месячная заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, руб.
1 2 3	140 200 260	10560 10600 10330	10600 10580 10340	486000 751800 835000

Определить, на сколько процентов изменилась средняя месячная заработная плата работников предприятия в октябре по сравнению с сентябрем.

---