Файл: Математические основы теории систем.pdf

220
(
)
2 2
1
(
)
2
s
s
s
c j
jnk T
kTs
s
n
c j
f kT
F s jn
e e
ds
j
ω
+
∞
ω
=−∞
ω
−
=
+ ω
π
∑
∫
Вспоминая формулу (4.3.9) и учитывая, что
2 1
jnk
e
π
= , имеем
2
*
2
(
)
( )
2
s
s
c j
kTs
c j
T
f kT
F s e ds
j
ω
+
ω
−
=
π
∫
Теперь от дискретного преобразования Лапласа
F*(s)перейдем к z- преобразованию заменой переменной (4.3.10).
Тогда
1
,
dz
ds
T z
=
линия интегрирования в соответствии с преобразо- ванием
, где
2 2
sT
cT
j T
s
s
z e
e
e
ω
=
=
⋅
−ω
< ω < ω
отобразится в окруж- ность радиуса
cT
e , причем область, лежащая слева от линии интегриро- вания для переменной
s, отобразится внутрь окружности для переменной
z, и окончательно получим
1 1
(
)
( )
,
2
k
f kT
F z z dz
j
−
Γ
=
π
∫
(4.3.31) где Г
– окружность радиуса
cT
e .
Так как
F(s)не имеет особых точек на линии интегрирования и справа от нее, то все особые точки подынтегрального выражения (4.3.31) долж- ны лежать внутри окружности Г. Тогда по теореме Коши о вычетах инте- грал (4.3.31) может быть представлен как
{
}
1
в полюсах ( )
1
(
)
вычеты
( )
n
k
F z
i
f kT
F z z
−
=
=
∑
. (4.3.32)
Пример 4.13.
Найдем оригинал от то же преобразования, что и в при- мерах 4.11 и 4.12.

221
Преобразование
( )
(
)(
)
2 2
2 1
z
F z
z
z
=
−
−
имеет простой полюс
2
z = и кратный (кратности два) полюс
1
z = .
Вычет
( )
1
k
F z z
−
в полюсе
2
z = равен
(
)
( )
2 2
2 2 2 1
k
k
z
z
z
=
=
−
, а в кратном полюсе
1
z =
(
)
1 2
2 1
2
k
z
d
z
k
dz z
=


= −
+


−


, откуда
(
)
(
) 2 2 1
, при
0
k
f kT
k
k
=
− −
≥ , что соответствует результату примера 4.11.
4.3.3. Разностные уравнения и z-преобразование
Решение разностных уравнений легко получить, используя
z-
преобразование.
Возьмем разностное уравнение в общем виде (4.2.1):
(
)
(
)
( )
(
)
( )
0 1
0 1
n
m
a y k n
a y k n
a y k
b r k m
b r k
+
+
+ − + +
=
+
+ +
Применим
z-преобразование почленно к правой и левой частям этого уравнения. Учитывая теорему о сдвиге во временной области, получим
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
1 1
0 1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 1
0 0
1 0
1 1
0 1
0 1
2 0
0 1
0 1
2 0 .
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
a z
a z
a Y z
z a y
z
a y
a y
z a y n
a y n
a y
b z
b z
b R z
z b r
z
b r
b r
z b r m
b r m
b r
−
−
−
−
−
−
+
+ +
−
−
+
−




− −
− +
−
+ +
=




=
+
+ +
−
−
+
−




−
− +
−
+ +




(4.3.33)

222
Разрешив это уравнение относительно
Y(z), можно далее на основе методов обратного преобразования получить ( )
y k . Как видно, в уравне- нии (4.3.33) присутствуют члены от (0)
y
до (
1)
y n − . Эти члены пред- ставляют
n граничных (начальных) условий, необходимых для определе- ния произвольных постоянных в классическом решении.
Соотношение (4.3.33) значительно упрощается, если разностное урав- нение (4.2.1) описывает предварительно невозбужденную физически реа- лизуемую систему. Термин «предварительно невозбужденная система» означает, что запасенная системой к моменту времени
0
t = энергия рав- на нулю, или, что ( )
( ) 0 при
0
y k
r k
k
=
≡
< .
Для физически реализуемой системы реакция на выходе не может по- явиться ранее воздействия на ее входе, то есть в разложении по степеням
1
z
−
отсутствуют члены с положительными степенями
z, откуда следует, что в уравнении (4.2.1) должно выполняться условие
m n
≤ . Подставим в уравнение (4.2.1) последовательно
; (
1);...; 2; 1
k
n
n
= − − −
− − . С учетом равенства нулю ( )
y k и ( )
r k при
0
k < , получим
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
0 0
0 1
0 1
0 1
1 0
1 1
0
,
1 0
1
,
1 2
0 1
2 0 .
n
m
a y
b r m n
a y
a y
b r m n
b r m n
a y n
a y n
a y
b r m
b r m
b r
−
−
=
−
+
=
− + +
−
− +
−
+ +
=
=
− +
−
+ +
(4.3.34)
В правой части равенств (4.3.34) все слагаемые с отрицательным ар- гументом равны нулю.
Сравнивая выражения (4.3.34) и (4.3.33) нетрудно видеть что
(
)
( )
(
)
( )
1 1
0 1
0 1
n
n
m
m
n
m
a z
a z
a Y z
b z
b z
b R z
−
−
+
+ +
=
+
+ +
,
откуда
1 0
1 1
0 1
( )
( )
( )
( ).
m
m
m
n
n
n
b z
b z
b
Y z
R z
W z R z
a z
a z
a
−
−
+
+ +
=
⋅
=
⋅
+
+ +
(4.3.35)
Из формулы (4.3.35) видно, что существует непосредственная связь между преобразованиями от входного и выходного сигналов предвари-

223 тельно невозбужденной системы. Эта связь устанавливается
импульсной
передаточной функцией
0 0
( )
( )
,
( )
m
m
n
n
b z
b
Y z
W z
R z
a z
a
+ +
=
=
+ +
(4.3.36) которую можно определить как отношение
z-преобразований выхода и входа предварительно невозбужденной системы. Сравнение выражений
(4.3.36) и (4.2.31), (4.2.32) показывает, что импульсную передаточную функцию можно записать непосредственно по разностному уравнению.

224 5. Как записывается обратный разностный оператор
1
−
∆ ?
6. В какой форме записывается общее решение однородного разност- ного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристиче- ского уравнения?
7. Какая форма записи решения для комплексных корней характери- стического уравнения?
8. Какие методы существуют для нахождения частного решения раз- ностного уравнения?
9. К каким вынуждающим функциям применим метод неопределен- ных коэффициентов при решении неоднородных разностных уравнений?
10. Как составляется определитель Касорати?
11. В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной неза- висимости
n решений однородного линейного разностного уравнения n-
го порядка?
12. Как учитывается запасенная энергия системы к начальному мо- менту времени в решении разностного уравнения?
13. Как связано дискретное преобразование Лапласа и
z- преобразование?
14. По каким формулам можно вычислить
z-преобразование?
15. Что такое импульсная передаточная функция системы?
16. Какие методы существуют для нахождения обратного
z- преобразования?
17. Перечислите основные свойства
z-преобразования.
18. Назовите основные этапы решения разностного уравнения с по- мощью
z-преобразования.

225
5. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Полное описание достаточно сложной системы требует большого ко- личества информации. Эта информация может быть представлена систе- мами дифференциальных либо разностных уравнений. Удобно в этом случае пользоваться матричными формами представления такой инфор- мации. Анализ систем тогда сводится, как правило, к анализу свойств матриц. Мощным средством аппарат теории матриц является и при син- тезе систем. Поэтому полезно еще раз вспомнить те разделы линейной алгебры, которые непосредственно относятся к изучению теории систем.
5.1 Основные типы матриц и операции над ними
5.1.1. Общие понятия
Как известно, матрицей называется прямоугольная таблица, состав- ленная из упорядоченных элементов [13]. Элементами таблицы могут быть действительные или комплексные числа или функции от заданных переменных. В отличие от обычной прямоугольной таблицы матрица подчиняется определенным правилам сложения, вычитания, умножения и равенства. Элементы матрицы
ij
a имеют двойной индекс, первый – это номер строки, второй – номер столбца, где располагается этот элемент.
Матрица, содержащая
m строк и n столбцов, называется(
)
m n
×
- матрицей, или матрицей порядка
m на n.
Матрица (
1)
m × называется матрицей-столбцом или вектор- столбцом.
Матрица (1
)
n
×
называется
матрицей-строкой или вектор-строкой.
Диагональная матрица – это квадратная матрица, все элементы кото- рой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица – это диагональная матрица с элементами, равны- ми единице.
Нулевая матрица – это матрица, все элементы которой тождественно равны нулю.
Транспонированная матрица – это матрица, у которой строки и столб- ца поменялись местами.
Симметрическая матрица – это квадратная матрица с действительны- ми элементами, если она равна своей транспонированной
T
=
A A
.

226
Кососимметрическая матрица – это квадратная действительная мат- рица, если
T
= −
A
A .
Если элементы матрицы
A комплексные
ij
ij
ij
a
j
= α + β ,то комплексно
сопряженная матрица
*
=
B A , содержит элементы
ij
ij
ij
b
j
= α − β .
Матрица,
сопряженная по отношению к матрице А, является транс- понированной и комплексно сопряженной по отношению к
А, то есть равна
( )
* T
A
Если
*
=
A A , то матрица является
действительной.
Если
*
= −
A
A , то матрица А
мнимая.
Если матрица равна своей сопряженной, то она называется
эрмито-
вой. Для эрмитовой матрица выполняется соотношение
( )
* T
=
A
A
Если выполняется соотношение
( )
* T
= −
A
A
, то матрица
А
носит назва- ние
косоэрмитовой.
5.1.2. Простейшие операции
Суммой (разностью) матриц одного порядка (
m×n)является матрица
(
)
m n
×
= ±
C A B , каждый элемент которой определяется как
ij
ij
ij
c
a
b
=
±
Две матрицы одного порядка равны
=
A B если и только если равны их элементы
ij
ij
a
b
= .
Определение произведения двух матриц
А и В непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Для существования произведения
=
C AB
матрица А и Вдолжны быть согласованы по форме, то есть число столбцов матрицы
А должно быть равно числу строк матрицы В. Тогда произведение
С двух матриц А
(
)
m n
×
и
В (
)
n p
×
определяется в виде
1
n
ij
ik kj
k
c
a b
=


 
=
= 

  

∑
C
Для матриц
А(
)
m n
×
и
В (
)
n m
×
существует как произведение
AB , так и произведение
BA , но в общем случае произведение не коммута- тивно, даже если
m n
= . Однако, если равенство
=
AB BA имеет место, то говорят, что матрица
Аи В коммутативны.

227
Из определения операции умножения видно, что умножение ассоциа- тивно и дистрибутивно относительно сложения, как справа, так и слева.
Умножение на скаляр
k матрицы А (справа или слева) означает, что на величину
k умножается каждый элемент матрицы А.
Произведение двух транспонированных матриц
T
T
B A
равно транспо- нированному произведению исходных матриц, взятому в обратном по- рядке:
( )
T
T
T
=
B A
AB
(5.1.1) в чем нетрудно убедиться, транспонируя матрицу
=
C AB .
Умножение справа матрицы
А на диагональную матрицу Dравно- сильно операции со столбцами
А. Умножение слева матрицы А на мат- рицу
D – это операция со строками А. Очевидно, что умножение слева или справа на единичную матрицу
E не меняет исходной квадратной матрицы:
=
=
EA AE A , то есть матрица Е является единичным элемен- том в некоммутативной полугруппе квадратных матриц по операции умножения.
Правило умножения блочных матриц, когда элементами матриц- сомножителей являются некоторые подматрицы, такое же, как и обыч- ных матриц, важно только, чтобы подматрицы, фигурирующие в соот- ветствующих произведениях, были согласованы по форме.
Дифференцирование и интегрирование матрицы – это соответствую- щие операции над ее элементами. Дифференцирование произведения матриц осуществляется так же, как и дифференцирование скалярных функций при условии сохранения первоначального порядка следования сомножителей.
5.1.3. Определители, миноры и алгебраические дополнения
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определитель квадратной матрицы
А размерностью
(
)
n n
×
и обозначае- мый
||||А|||| равен алгебраической сумме всех возможных произведений n
элементов. Каждое произведение содержит только один элемент из каж- дой строки и столбца и имеет знак + или – в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий (то есть расположений большего числа пе- ред меньшим) вторых индексов содержится в произведении, если распо- ложить элементы в порядке возрастания первых индексов.
Нетрудно установить следующие свойства определителей.

228 1. Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой- либо строки (столбца) или если равны или пропорциональны соответ- ствующие элементы произвольных двух строк (столбцов).
2. Величина определителя остается постоянной по модулю при пере- становке строк (столбцов).
3. Знак определителя меняется на противоположный при перемене местами двух любых строк (столбцов).
4. Значение определителя умножается на постоянную
k, если все эле- менты какой-либо строки (столбца) умножить на
k.
5. Значение определителя не изменится, если к какой-либо строке
(столбцу) прибавить умноженные на
k соответствующие элементы дру- гой строки (столбца).
Если в определителе
||||А|||| вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся
1
n − строк и столбцов образуют определитель
ij
M ,называе- мый
минором элемента
ij
a . Миноры, у которых диагональные элементы являются диагональными элементами
||||А||||, называются главными.
Алгебраическое дополнение элемента
ij
a – это минор элемента
ij
a , взя- тый со знаком ( 1)
i j
+
−
,
то есть алгебраическое дополнение
( 1)
i j
ij
ij
C
M
+
= −
Используя алгебраические дополнения, можно по формуле Лапласа вычислить определитель матрицы
А:
1 1
, (
1,2,..., ) разложение по элементам столбца,
, (
1, 2,..., ) разложение по элементам строки.
n
ij ij
i
n
ij ij
j
a C
j
n
a C
i
n
=
=
=
=
−
=
=
−
∑
∑
A
A
(5.1.2.)
Если заменить элементы
i-й строки (столбца) на соответствующие эле- менты
k-й строки (столбца), то согласно свойству первому определитель обратится в нуль. Следовательно, используя разложения (5.1.2), получим
1 1
0, (
),
0, (
).
n
kj ij
j
n
jk
ji
j
a C
k i
a C
k i
=
=
=
≠
=
≠
∑
∑
(5.1.3)
Объединяя (5.1.2) и (5.1.3), получим

229 1
1
,
n
kj ij
ik
j
n
jk
ji
ik
j
a C
a C
=
=
= δ ⋅
= δ ⋅
∑
∑
A
A
(5.1.4) где
δ
ik
– символ Кронекера, равный единице при одинаковых индексах и нулю при различных индексах.
Определитель можно вычислить и воспользовавшись
методом опор-
ного элемента, который сводит процесс нахождения определителя к вы- числению определителей второго порядка. Метод заключается в следу- ющем.
В качестве опорного выбирается произвольный элемент
а
ij
. Берется произвольный элемент
а
ik
,
расположенный в той же строке, что и а
ij
, и элемент
а
qj
, расположенный в том же столбце, что и
а
ij
.
Из элементов
а
qk
,
а
ik
,
а
qj
и
а
ij
образуют определитель второго порядка, причем порядок элементов сохраняется. Составляют все возможные определители второго порядка, содержащие в качестве одного из элемен- тов опорный элемент. Используя в качестве элементов определители вто- рого порядка, а в качестве множителя
2 1
n
ij
a
−
, представляют исходный определитель как определитель (
1)
n − -го порядка. Повторяя эту проце- дуру, можно вычислить определитель высокого порядка, последователь- но уменьшая его порядок до единицы.
Необходимо отметить, что метод опорного элемента эффективнее в смысле числа перемножений, чем разложение определителя по формуле
Лапласа, уже при
n≥4.
Как следствие соотношений (5.1.2) (разложение Лапласа), производ- ная от определителя по какому-либо из его элементов равна алгебраиче- скому дополнению этого элемента
1
n
ij ij
ij
i
ij
ij
a C
C
a
a
=
∂
∂
=
=
∂
∂
∑
A
(5.1.5)
5.1.4. Присоединенная и обратная матрицы
Если
А – квадратная матрица, а C
ij
– алгебраическое дополнение эле- мента
а
ij
, то
присоединенной для А называется матрица, образованная из алгебраических дополнений
C
ji
,
то есть