Файл: Математические основы теории систем.pdf

239
Нормируя векторы
i
y , получаем ортонормированный базис
ˆ
i
i
i
=
y
y
y
Пример 5.2.
Построить ортонормированный базис из системы векторов
[
]
[
]
[
]
1 2
3 1 1 1 ,
1 2 3 ,
1 3 2
T
T
T
=
=
=
x
x
x
В качестве первого вектора выберем
1 1
=
y
x . Тогда
[
]
[
]
1 1
1
ˆ
1 1 1 и
1 1 1 3
T
T
=
=
y
y
Так как
1 2
1 1
,
,
2
〈
〉 〈
〉 =
y x
y y
, то
[
]
[
] [
]
[
]
2 2
1 2
1
ˆ
2 1 2 3 2 1 1 1 1 0 1 и
1 0 1 2
T
T
T
T
=
−
=
−
= −
=
−
y
x
x
y
Подобным образом
2 3
2 2
1 3
1 1
,
,
0,5 и
,
,
2
〈
〉 〈
〉 =
〈
〉 〈
〉 =
y x
y y
y x
y y
, поэтому
[
]
[
]
[
] [
]
[
]
3 3
2 1
3 1
1 2
1 3 2 1 2 3 2 1 1 1 0,5 1 0,5 2
2 1
ˆ
и
0,5 1 0,5 .
6
T
T
T
T
T
=
−
−
=
−
−
= −
−
=
−
−
y
x
x
x
y
Введем еще понятие
двойственного базиса, которое в дальнейшем будет полезно. Возьмем систему базисных векторов
i
x ,i∈{1,2,…,n}. За- дадим систему векторов
j
r , удовлетворяющих соотношению
{
}
,
, ,
1,2,...,
j
i
ij
i j
n
〈
〉 = δ
∈
r x
. (5.2.8) где
δ
ik
– символ Кронекера.

240
Можно показать, что для любого базиса
i
x всегда найдется система та- ких векторов, что удовлетворяются соотношения (5.2.8). Векторы
j
r явля- ются линейно независимыми и образуют линейную оболочку, натянутую на базис
i
x . Следовательно, их можно в свою очередь выбрать как базис- ные векторы. Базис, состоящий из векторов
j
r , удовлетворяющих соотно- шению (5.2.8), называется двойственным по отношению к базису
i
x .
Двойственный базис можно применять для определения постоянных
k
j
в уравнении (5.2.7) по заданному вектору у, то есть для разложения заданного вектора
у по составляющим базиса
j
x .
Составляя скалярные произведения правой и левой частей уравнения
(5.2.7) с вектором
j
r , придем к уравнениям для
k
j
:
,
j
j
k = 〈
〉
r y
.
Тогда разложение вектора
у по базисным векторам
i
x будет выгля- деть следующим образом:
1
,
n
i
i
i=
=
〈
〉
∑
y
r y x , (5.2.9) то есть скалярное произведение
,
i
〈
〉
r y равно составляющей вектора у в направлении вектора
i
x .
5.3 Собственные значения и собственные векторы
5.3.1. Характеристическое уравнение
Вернемся к уравнению (5.2.6)
=
y Ax , где матрица
А – квадратная размерностью
(
)
n n
×
Интерес представляет вопрос о том, существует ли в пространстве
V
n
такой вектор

241 вектор
у, имеющий такое же направление, как и вектор х. При положи- тельном ответе на этот вопрос должно выполняться уравнение
= λ =
y
x Ax , (5.3.1) где
λ – некоторый скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональ- ности.
Задача определения значений
λ
i
и соответствующих им векторов
i
x , удовлетворяющих уравнению (5.3.1), известна как задача о
собственных
значениях (характеристических числах). Векторы
i
x , являющиеся реше- нием уравнения (5.3.1), называются собственными или характеристиче- скими векторами, соответствующими собственным значениям
λ
i
Векторно-матричное уравнение (5.3.1) можно переписать в таком виде:
[
]
0
λ −
=
E A x
, (5.3.2) где
Е – соответствующая единичная матрица. Система однородных урав- нений (5.3.2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю:
0
λ −
=
E A
, (5.3.3)
Развернув определитель в левой части уравнения (5.3.3), получим многочлен
n-й степени относительно λ
( )
1 1
1 0
n
n
n
n
D
a
a
a
−
−
λ = λ −
= λ + λ + +
λ +
=
E A
(5.3.4)
Уравнение (5.3.3) является характеристическим уравнением матрицы
А, а его корни суть собственные значения (характеристические числа) матрицы
А.
Пример 5.3.
Составить характеристическое уравнение и найти соб- ственные значения матрицы
A
0 1
2 3


= 

−
−


A
Составим характеристическую матрицу

242
[
]
0 0
1 1
0 2
3 2
3
λ
λ
−

 
 

λ −
=
−
=

 
 

λ
−
−
λ +

 
 

E A
Приравняв нулю определитель характеристической матрицы, получим характеристическое уравнение
2 1
3 2 0 2
3
λ
−
= λ + λ + =
λ +
Собственные числа равны
1 2
1,
2
λ = − λ = − .
По теореме Виета коэффициент
а
n
в уравнении (5.3.4) равен произве- дению собственных чисел, то есть
( )
1 2 1
n
n
n
a = −
λ λ λ . (5.3.5)
С другой стороны, положив
0
λ = в ( )
D λ , мы имеем
( )
0
n
D
a
= − =
A
D(0) = -A= a
n
, откуда следует, что
( 1)
n
n
a = −
A . Из этого выражения и из формулы
(5.3.5) следует, что произведение собственных чисел равно определителю матрицы
А:
1 2
n
λ λ λ = A . (5.3.6)
Коэффициент
а
1
полинома ( )
D λ по формуле Виета равен
(
)
1 1
2
n
a = − λ + λ + + λ , а раскрывая определитель
λ −
E A ,
увидим, что коэффициент при
1
n−
λ имеет вид
11 22
(
)
nn
a
a
a
−
+
+ +
, следовательно,
сумма диагональных эле-
ментов квадратной матрицы равна сумме ее собственных значений:

243 1
1
Tr .
n
n
i
jj
i
j
a
=
=
λ =
=
∑
∑
A (5.3.7)
Сумма диагональных элементов матрицы носит название
следа мат- рицы и обозначается Tr
A (первые буквы англ. trace – след).
Введя обозначение
Tr(
)
k
k
T =
A , можно записать полезную формулу, связывающую коэффициенты
a
i
характеристического уравнения с T
k
ре- куррентным соотношением, известным как
формула Бохера:
(
)
(
)
(
)
1 1
2 1 1 2
3 2 1 1 2 3
1 1
,
1
,
2 1
,
3 1
n
n
n
a
T
a
a T T
a
a T a T T
a
a T
T
n
−
= −
= −
+
= −
+
+
= −
+ +
(5.3.8)
Пример 5.4.
Составить характеристическое уравнение и найти соб- ственные числа матрицы
A
2 1
1 2 1 3
3 1
1




= −




−


A
Согласно формуле (5.3.8)
1 1
2
a
T
= − = − . Произведение AA дает
2 5 4 4
3 2 2
1 3 7




=
−






A
, откуда находим
2 5 2 7 14
T = + + =
и
2 1 1 2
1
(
)
5 2
a
a T T
= −
+
= − . Далее нахо- дим
AAA

244 3
14 13 13 4
3 11 17 11 3




= −






A
, откуда
3 14 3 3 20
T =
+ + =
и
3 2 1 1 2 3
1
(
) 6 3
a
a T a T
T
= −
+
+
= .
Характеристическое уравнение, таким образом, имеет вид
3 2
2 5
6 0
λ − λ − λ + = , а собственные числа
1 2
3 1,
2,
3
λ = λ = − λ = .
5.3.2. Модальная матрица
Вначале предположим, что все корни характеристического уравнения
(5.3.3) различны. Для каждого из
n собственных чисел λ
i
матрицы А можно получить вектор решения
i
x , удовлетворяющий системе уравнений
[
]
0, (
1,2,..., )
i
i
i
n
λ −
=
=
E A x
. (5.3.9)
Так как уравнение (5.1.33) однородное, его решениями будут также векторы
i
kx , где k – произвольный скаляр. То есть уравнение (5.3.9) од- нозначно задает лишь направление каждого из
i
x . Из вектор-столбцов
i
x или пропорциональных им образуем матрицу, которую часто называют
модальной матрицей [10]. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы
[
]
Adj
i
λ −
E A . Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения
i
λ , то выбор конкретного
i
λ определяет только один столбец модальной матрицы.
Таким образом, при различных собственных числах
n столбцов мо- дальной матрицы линейно независимы и, следовательно, образуют базис в соответствующем пространстве
V
n
Пример 5.5.
Найти собственные векторы и составить модальную мат- рицу для матрицы
A

245 2
1 1 2 1 3
3 1
1




= −




−


A
Характеристическая матрица имеет вид
[
]
2 1
1 2
1 3
3 1
1
λ −
−
−




λ −
=
λ −
−




−
−
λ +


E A
, а присоединенная матрица равна
[
]
2 2
2 4
2 2
Adj
2 7
5 3
8 3
5 1
3 4


λ −
λ +
λ +


λ −
= − λ +
λ − λ −
λ −




λ −
λ +
λ − λ +


E A
Подстановка в полученную матрицу
1 1
λ = дает
3 3
3 5
5 5
2 2
2
−




−
−




−


При
2 2
λ = − присоединенная матрица равна
0 0
0 14 1
14 14 1 14




−




−
−


При
3 3
λ = присоединенная матрица равна

246 5 5 5 1 1 1 4 4 4










Взяв любой ненулевой столбец (или пропорциональный ему) из каж- дой полученной матрицы, составим модальную матрицу
3 0
5 5
1 1
2 1 4




= −




−


M
Столбцы полученной модальной матрицы являются линейно незави- симыми и образуют базис в трехмерном пространстве.
В случае кратных корней уравнения (5.3.3) и произвольной матрицы
А определение независимых собственных векторов (столбцов модальной матрицы) не очевидно. Дело здесь в том, что не существует однозначного соответствия между порядком кратности корня характеристического уравнения и дефектом соответствующей этому корню характеристиче- ской матрицы
[
]
i
λ −
E A .
Если кратность некоторого корня, например,
i
λ равна р, то дефект q характеристической матрицы
[
]
i
λ −
E A может быть в пределах 1
q p
≤ ≤ , и в этом случае можно найти только
q линейно независимых собственных векторов, удовлетворяющих уравнению (5.3.9) для данного собственного числа
i
λ .
Если вырожденность полная (
)
q p
=
(для симметрической матрицы А
это выполняется всегда), то можно найти ровно
р линейно независимых собственных векторов, соответствующих корню
i
λ кратности р. Эти р различных модальных столбцов можно получить из ненулевых столбцов матрицы
1 1
Adj[
]
i
p
p
d
d
−
−
λ=λ
λ −
λ
E A
. (5.3.10)
Пример 5.6.
Составить модальную матрицу для матрицы
A

247 2 1 1 1 2 1 0 0 1




= 





A
Характеристическая матрица равна
[
]
2 1
1 1
2 1
0 0
1
λ −
−
−




λ −
= −
λ −
−




λ −


E A
, а характеристическое уравнение
2
(
1)(
4 3) 0
λ − λ − λ + = имеет два корня
1
λ = и один корень
3
λ = . Подстановка в характеристическое уравнение
1
λ = дает только один линейно независимый столбец, то есть ранг ха- рактеристической матрицы равен единице, а её дефект – двум (дефект равен размерности матрицы минус её ранг). Поскольку характеристиче- ская матрица полностью вырождена (дефект совпадает с кратностью корня), то для каждого из кратных корней существует линейно независи- мый вектор.
Присоединенная матрица равна
[
]
(
2)(
1)
1 1
Adj
1
(
2)(
1)
1 0
0
(
1)(
3)
λ −
λ −
λ −
λ −




λ −
=
λ −
λ −
λ −
λ −




λ − λ −


E A
, а её производная имеет вид
[
]
2 3
1 1
Adj
1 2
3 1
0 0
2 4
d
d
λ −




λ −
=
λ −


λ


λ −


E A
После подстановки в последнюю матрицу
1
λ = любые два линейно независимых столбца дадут два столбца модальной матрицы. Таким об- разом, получаем два линейно независимых собственных вектора, соот- ветствующих собственному числу
1
λ =

248 1
2 1
1 1 ,
1 0
2
−
 
 
 
 
=
=
 
 
 
 
−
 
 
x
x
Собственный вектор, соответствующий
3
λ = , получим из любого ненулевого столбца присоединенной матрицы
[
]
Adj λ −
E A при
3
λ =
3 1
1 0
 
 
=  
 
 
x
Окончательно модальная матрица равна
1 1
1 1
1 1
0 2 0
−




= 



−


M
Если вырожденность простая (
1)
q = , то для корня
i
λ кратности р можно найти только один собственный вектор, соответствующий данно- му
i
λ . Этот вектор, как и в случае некратных корней, может быть выбран пропорциональным любому ненулевому столбцу матрицы
[
]
Adj
i
λ −
E A .
Если вырожденность характеристической матрицы 1
q p
< < , то q мо- дальных столбцов могут быть получены из различных ненулевых столб- цов матрицы (5.3.10) при замене
р на q.
Как определять остальные
p q
− модальных столбцов при q p
< (они будут линейно зависимы от
q найденных векторов
i
x ) будет разобрано в разделе, посвященному матричным преобразованиям.
5.3.3. Симметрическая матрица
Случаи, когда матрица А является симметрической, встречаются в тео- рии систем довольно часто. Достаточно упомянуть, что симметрическими матрицами описывают системы, состоящие из
RC-элементов, то есть из

249 емкостей и сопротивлений. Поэтому собственные числа и собственные векторы симметрических матриц требуют особого рассмотрения.
Важным свойством действительной симметрической матрицы являет- ся то, что ее собственные значения являются вещественными числами.
Следующее свойство симметрических матриц заключается в том, что их собственные векторы попарно ортогональны.
Третье, уже упомянутое, свойство симметрической матрицы касается кратных собственных значений. Собственные векторы, соответствующие собственному значению
i
λ кратности р, линейно независимы.
Из этих трех основных свойств симметрической матрицы вытекают еще ряд свойств, которые можно сформулировать следующим образом.
1. Собственные векторы симметрической матрицы А
n-го порядка по- рождают
n-мерное векторное пространство V
n
2. Существует, по крайней мере, одно ортонормированное множество собственных векторов матрицы А, которое порождает векторное про- странство
V
n
3. Собственные векторы, соответствующие собственному значению
i
λ кратности р, порождают пространство V
p
4. В любом множестве из
n ортонормированных собственных векто- ров существует ровно
р линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению
i
λ с кратностью р.
5. Если одно или несколько собственных значений матрицы А имеют кратность
2
p ≥ , то существует бесконечное число различных множеств ортонормированных векторов, которые порождают
n-мерное векторное пространство
V
n
. Эти множества соответствуют различным способам вы- бора ортонормированных базисов, порождающих подпространства
V
p
с размерностью
2
p ≥ .
5.4 Линейные преобразования
5.4.1. Элементарные действия над матрицами
Рассмотрим определённые действия с элементами матриц.
1. Перестановка произвольных двух строк (столбцов).
2. Многократное прибавление к какой – либо строке (столбцу) другой строки (столбца).
3. Умножение строки (столбца) на отличную от нуля постоянную ве- личину.