Файл: Математические основы теории систем.pdf

268
( )
0 1
0
k
k
k
k
k
S x
a
a x
a x
a x
∞
=
=
+
+ +
+ =
∑
Заменив переменную
х в последнем выражении на квадратную матри- цу
A
, получим бесконечный ряд по
A
( )
0 1
0
k
k
k
k
k
S
a
a
a
a
∞
=
=
+
+ +
+ =
∑
A
E
A
A
A . (5.6.4)
Вопросы сходимости матричных рядов затрагивать не будем, доста- точно знать только, что ряд (5.6.4) сходится, если сходятся соответству- ющие скалярные ряды ( ) (
1,2,..., )
i
S
i
n
λ
=
, где
i
λ – собственные значения матрицы
A
5.6.2. Функции от матриц
Разложение известных скалярных функций в степенные ряды дает ос- нование для определения этих функций от матриц.
Матричная экспонента:
( )
( )
2 0
2 0
exp
,
2!
!
1
exp
2!
!
k
k
k
k
k
e
k
e
k
∞
=
∞
−
=
=
= + +
+ =
−
=
−
= − +
+ =
∑
∑
A
A
A
A
A E A
A
A
A
E A
(5.6.5)
Ряды (5.6.5) сходятся равномерно и абсолютно. Поскольку произведе- ние матриц в общем случае некоммутативно, равенство
e e
e e
=
=
A B
B A
e
+
=
A B
выполняется, только если матрицы
A
и
B коммутативны AB =
=
BA . Последнее условие выполняется, если
=
B A или
= −
B
A . В част- ности, при
= −
B
A имеем
[ ]
0
e e
e
e
−
−
=
=
=
A
A
A A
E , откуда ясно, что матрица
e
−A
является обратной к матрице
e
A
Если
A
не зависит от времени, то матричная экспонента
t
e

269
( )
( )
( )
2 0
exp
2!
!
k
t
k
t
t
e
t
t
k
∞
=
=
= +
+
+ =
∑
A
A
A
A
E A
. (5.6.6)
Этот ряд сходится равномерно и абсолютно для всех значений време- ни
t. Производная по t от матричной экспоненты
t
e
A
находится почлен- ным дифференцированием ряда (5.6.6)
( )
3 2 2
2!
t
t
t
d
t
e
t
e
e
dt
= +
+
+ =
=
A
A
A
A
A A
A
A . (5.6.7)
Обобщая соотношение (5.6.7) для
k-й производной с учетом обозна- чения d
p
dt
= получим
( )
k
t
k
t
k
t
t
k
k
d
e
p e
e
e
dt
=
=
=
A
A
A
A
A
A . (5.6.8)
Если ( )
N p – многочлен от оператора дифференцирования p, то
( )
( )
( )
t
t
t
N p e
N
e
e N
=
=
A
A
A
A
A . (5.6.9)
Часто встречается случай воздействия операторного многочлена
( )
N p на произведение матриц
( )
t
e
t
A
B
. В предположении, что существу- ет произведение
( )
t
AB
и не существует
( )
t
B
A , можно записать
( )
(
)
( )
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
(
)
(
) ( )
2 2
2 2
,
2
,
t
t
t
t
t
t
t
t
t
k
k
t
t
p e
t
e p t
e
t
e
p
t
p e
t
e p
t
e
p t
e
t
e
p
t
p e
t
e
p
t
=
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
AB
E A B
B
B
A B
A B
E A B
B
E A B
В общем случае
( )
( )
(
)
(
) ( )
t
t
N p e
t
e N p
t
=
+
A
A
B
E A B
(5.6.10)

270
Интеграл от матричной экспоненты
t
e
A
можно найти путем интегри- рования бесконечного ряда (5.6.6)
( )
2 2
2 3 0
0 0
0 2!
2!
3!
t
t
t
t
t
t
t
t
e dt
dt
tdt
dt
t
=
+
+
+ =
+
+
+
∫
∫
∫
∫
A
A
A
A
E
A
E
, откуда
0
t
t
t
e dt e
=
−
∫
A
A
A
E .
Из последнего соотношения, предполагая, что матрица
A
– неосо- бенная, получим
(
) (
)
1 1
0
t
t
t
t
e dt
e
e
−
−
=
−
=
−
∫
A
A
A
A
E
E A . (5.6.11)
Матричный синус:
( )
(
)
3 5
exp exp sin
3!
5!
2
j
j
j
−
−
= −
+
− =
A
A
A
A
A A
. (5.6.12)
Матричный косинус:
( )
(
)
2 4
exp exp cos
2!
4!
2
j
j
+
−
= −
+
− =
A
A
A
A
A E
. (5.6.13)
Матричная комплексная экспонента в формулах (5.6.12) и (5.6.13) определяется уравнением (5.6.5) при замене А на
jA:
( )
2 4
3 5
exp cos sin
2!
4!
3!
5!
j
j
j




=
−
+
−
+
−
+
−
=
+








A
A
A
A
A
E
A
A
A . (5.6.14)
Как легко видеть, формулы (5.6.12) – (5.6.14) являются матричными аналогиями формул Эйлера.
Матричный гиперболический синус:

271
( )
3 5
exp exp sh
3!
5!
2
−
−
= +
+
− =
A
A
A
A
A A
Матричный гиперболический косинус:
( )
2 4
exp exp c h
2!
4!
2
+
−
= +
+
− =
A
A
A
A
A E
Матричные тригонометрические тождества имеют соответствующие аналоги скалярных тригонометрических тождеств и выводятся с помо- щью вышеприведенных матричных соотношений.
Полезной при выводе ряда тригонометрических тождеств является действительная матрица (2×2), аналог скалярной мнимой единицы
1
j = − . Она определяется как
0 0
1 1
0
−


= 



J
Можно посчитать, что
2 3
4 0
0 0
0
,
,
= −
= −
=
J
E J
J J
E и т.д.
5.6.3. Теорема Кэли – Гамильтона
Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характери- стического полинома
( )
D λ и используется при нахождении различных функций от матрицы
A
.
Теорема 5.6.1 (Кэли – Гамильтона)
. Всякая квадратная матрица удо- влетворяет своему характеристическому уравнению.
Доказательство
. Воспользуемся соотношением (5.4.9) и представим его в виде
1
−
=
A MΛM .
Для произвольной положительной степени
m последнее соотношение представим в форме
1
m
m
−
=
A
MΛ M . (5.6.15)

272
Если ( )
N λ – многочлен от λ вида
( )
1 2
1 2
n
n
n
n
N
c
c
c
−
−
λ = λ + λ
+ λ
+ + , то согласно (5.6.15) многочлен от матрицы
A
равен
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 1
2 1
2 1
0 0
0 0
,
0 0
n
n
n
n
n
N
c
c
c
N
N
N
N
−
−
−
−
=
+
+
+ +
=
=
λ




λ


=




λ




A
A
A
A
E M
Λ M
M
M
(5.6.16)
где
i
λ – собственные значения
A
, то есть не нули многочлена ( )
N λ .
Если выбранный многочлен является характеристическим многочле- ном, то есть ( )
( )
N
D
λ =
λ , то
1 2
( )
( ) ...
( ) 0
n
N
N
N
λ =
λ = =
λ = . Отсюда сле- дует, что
[ ]
( )
0
D
=
A
, где ( )
D λ = λ −
E A – характеристический многочлен.
Таким образом, теорема доказана для случая, когда все собственные значения
i
λ различны. Однако можно показать, что теорема справедлива и для произвольной квадратной матрицы.
С помощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать порядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произ- вольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц.
Действительно, решив матричное характеристическое уравнение
[ ]
( )
0
D
=
A
относительно старшей степени матрицы
A
, получим форму- лу для вычисления
n
A через полином (
1)
n − -го порядка. Последователь- но умножая правую и левую часть этой формулы на А, имеем итерацион- ную процедуру для возведения
A
в произвольную степень.
Решив то же уравнение
[ ]
( )
0
D
=
A
относительно низшей степени матрицы
A
(то есть относительно единичной матрицы) и умножив пра- вую и левую часть на обратную матрицу
1
−
A , получим выражение для

273 обратной матрицы через полином (
1)
n − -й степени от матрицы
A
. В некоторых случаях этот метод удобнее, чем другие методы.
Пусть имеется матричный многочлен
( )
N A степени большей, чем порядок
A
. Разделив ( )
N λ на характеристический полином
A
, получим
( )
( )
( )
( )
( )
N
R
Q
D
D
λ
λ
=
λ +
λ
λ
, (5.6.17) где ( )
R λ – остаточный член порядка меньшего, чем ( )
D λ .
Тогда, умножив уравнение (5.6.17) на ( )
D λ , получим
( )
( ) ( )
( )
N
Q
D
R
λ =
λ
λ +
λ , (5.6.18)
Так как (согласно теореме Кэли – Гамильтона)
[ ]
( )
0
D
=
A
, то
( )
( )
N
R
=
A
A и, таким образом, полином любой степени может быть представлен полиномом
(
1)
n −
-й степени.
Вышеизложенное можно распространить не только на любую поли- номиальную функцию от
A
, но и на произвольную функцию ( )
F A , где
( )
F λ предполагается аналитической функцией λ в некоторой области.
При таком условии ( )
F λ может быть в области аналитичности представ- лена рядом Тейлора. Поэтому функция ( )
F A может быть записана в ви- де многочлена от
A
степени (
1)
n − . Действительно, если ( )
Q λ – анали- тическая функция в некоторой области, то
( )
( ) ( )
( )
F
Q
D
R
λ =
λ
λ +
λ , (5.6.19) где ( )
D λ – характеристический полином
A
, а ( )
R λ – полином вида
2 1
0 1
2 1
( )
n
n
R
−
−
λ = α + α λ + α λ + + α λ . (5.6.20)
Коэффициенты
i
α в уравнении (5.6.20) можно найти путем последо- вательной подстановки
1 2
, ,...,
n
λ λ
λ в уравнение (5.6.19). Учитывая, что
( ) 0
i
D λ = , получим систему уравнений

274
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
,
,
n
n
F
R
F
R
F
R
λ =
λ
λ =
λ
λ =
λ
(5.6.21)
В этой системе
n уравнений и n неизвестных. Следовательно, все
i
α определяются однозначно. Нетрудно показать, что ( )
Q λ является анали- тической функцией в той же области, что и
( )
F λ , поэтому уравнение
(5.6.19) справедливо для всех λ в области аналитичности ( )
F λ . Из этого следует, что если область аналитичности
( )
F λ включает все собствен- ные значения
A
, то вместо переменной λ можно подставить
A
. В ре- зультате из уравнения (5.6.19) получим
( )
( ) ( )
( )
F
Q
D
R
=
+
A
A
A
A ,
а так как согласно теореме Кэли – Гамильтона
[ ]
( )
0
D
=
A
, то из послед- него соотношения имеем
( )
( )
F
R
=
A
A . (5.6.22)
Пример 5.9.
Воспользовавшись теоремой Кэли – Гамильтона, вычис- лить матричную экспоненту
t
e
A
для матрицы
A
из примера 5.3 1
2 0
1
,
1,
2 2
3


=
λ = − λ = −


−
−


A
Поскольку матрица
A
является матрицей второго порядка, то по тео- реме Кэли – Гамильтона матричная экспонента может быть представлена полиномом первого порядка
( )
0 1
t
t
e
Φ
=
= α + α
A
E
A , где коэффициенты
0 1
,
α α определяются из системы уравнений (5.6.21), куда подставлена искомая функция и собственные числа матрицы
A

275
( )
( )
1 2
1 0
1 2
2 0
1
,
2 .
t
t
t
t
F
e
e
F
e
e
λ
−
λ
−
λ =
=
= α − α
λ =
=
= α − α
Решая систему уравнений, находим
2 0
2 1
2
,
t
t
t
t
e
e
e
e
−
−
−
−
α =
−
α =
−
Окончательно получаем искомую функцию
0 1
0 1
0 1
1 2
2 2
2 0
0 0
2 3
2 2
2 2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
e
−
−
−
−
−
−
−
−
α
α

 

= α + α
=
+
=

 

α
− α
− α






−
−
= 

−
+
−
+


A
E
A
Теперь что касается кратных собственных значений. Ясно, что если
A
имеет собственное значение
i
λ кратности r, то подстановка
i
λ в уравнение (5.6.19) даст лишь одно линейно независимое уравнение.
Остальные
1
r − линейных уравнений для определения
i
α находятся дифференцированием обеих частей уравнения (5.6.19). В этом случае для нахождения единственного решения для коэффициентов
i
α полинома
(5.6.20) нужно составить систему линейных уравнений вида
( )
( )
(
0,1,2,...
1)
i
i
k
k
k
k
d F
d R
k
r
d
d
λ=λ
λ=λ
λ
λ
=
=
−
λ
λ
. (5.6.23)
5.6.4. Теорема Сильвестра
Теорема разложения Сильвестра находит применение при отыскании матричных функций, представляющих в замкнутой форме степенные ряды матрицы А.
Теорема 5.6.2 (Сильвестра)
. Пусть
( )
N A
– матричный многочлен от
A
(неважно, конечный или бесконечный) и квадратная матрица
A
имеет
n различных собственных значений. Тогда имеет место формула

276
( )
( ) ( )
0 1
n
k
k
k
N
N
=
=
λ
λ
∑
A
Z
, (5.6.24) где
( )
(
)
(
)
1 0
1
n
j
j
j k
k
n
k
j
j
j k
A
=
≠
=
≠
− λ
λ =
λ − λ
∏
∏
E
Z
Пример 5.10.
Вычислить функцию
t
e
A
с помощью теоремы Сильве- стра для матрицы
A
из примера 5.9 1
2 0
1
,
1,
2 2
3


=
λ = − λ = −


−
−


A
В соответствии с выражением (5.6.24) запишем
( )
( )
( )
( )
0 1
0 0
2 0
0 1
2 0 2
1 2
3 0 2
( 2)
1
,
2 1
1 ( 2)
1 0
1 1 0 1
1 2
3 0 1
( 1)
2 2
2 2 ( 1)
1

 

+

 

−
−


− −

 

λ =
− =
=
= 

−
−
− − −



 

+

 

−
−
−
−


− −

 

λ =
− =
=
= 

− − −
−


A
E
Z
Z
A
E
Z
Z
Подставляя найденные матрицы в формулу (5.6.24), получаем
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−


−
−




=
+
= 





−
−
−
+
−
+



 

A
, что совпадает с примером 5.9.
Следует заметить, что
( )
0
k
λ
Z
в формуле (5.6.24) не зависят от вида полинома ( )
N A . Можно показать, что