Файл: Ответы к экзаменационным вопросам по предмету Основы энергетики.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.05.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.
6. Вывод основного уравнения теплопроводности
Рассмотрим однородный стержень (под стержнем в механике понимается тело с одним превалирующим линейным размером, например, столб можно рассматривать как стержень с переменным сечением) постоянного поперечного сечения S и длины l, теплоизолированный с боков, ось которого примем за ось Ох (рис. 4.3). Обозначим через U(x,t)
температуру стержня в сечении с абсциссой х в момент времени t (предполагается, что во всех точках любого поперечного сечения стержня температура одна и та же.
Пусть
– плотность стержня, 
– его удельная теплоемкость (это количество калорий, которое необходимо, чтобы единицу массы стержня нагреть на 1 ºС), 
– коэффициент теплопроводности (он представляет собой количество тепла в калориях, которое будет протекать за единицу времени через сечение стержня, если температура стержня падает на 1 ºС при перемещении вдоль стержня на единицу длины), 
– интенсивность теплового источника, находящегося в сечении х для момента t, отнесенная к единице массы и единице времени (т.е. количество тепла, создаваемого этим источником тепла за единицу времени и приходящегося на единицу массы; например, лампочку включенную в помещении, аппаратуру, работающую на космическом корабле и др. можно рассматривать как источники тепла;). Температуру же U(x, 0) стержня в начальный момент времени мы считаем известной и обозначим её через 
:
. (4.35)
Тепловой режим на концах стержня может быть весьма разнообразен, т.е. температура может быть и постоянной, и изменяться, например, по законам:
и др.). Мы рассмотрим два случая:
1) концы стержня поддерживаются при постоянной нулевой температуре:
; (4.36)
2) концы стержня находятся в той же теплоизолирующей оболочке, что и весьстержень. Это означает, что через концы не происходит протекание тепла.
Рассмотрим сечение х нашего стержня и найдем, какое количество Q тепла протечет (слева направо) через это сечение за элементарный промежуток времени
. В момент tтемпература стержня в точке х будет равна 
. Возьмем отличную от точки х точку x + dx стержня (пусть для определенности dx > 0) согласно закону Фурье количество тепла, протекающего в направлении оси Ох за бесконечно малый промежуток времени dt через сечение S с абсциссой х, будет:
, (4.37)
где k – коэффициент теплопроводности (
представляет здесь величину градиента температуры U). Во формуле (4.37) стоит знак минус, так как при 
, т.е. при росте U вместе с х, поток тепла направлен в противоположную сторону, и наоборот).
Составим тепловой баланс для элемента
, заключенную между бесконечно близкими сечениями х и x + dx. Предположим для определенности, что U возрастает в направлении Ох.
Тогда через сечение с абсциссой х тепло выходит, а через сечение с абсциссой x + dx входит. Пусть dQ есть количество тепла, накопленное нашим элементом
за время dt. Тогда количество тепла, созданное за dt источниками тепла в элементе равно:
. (4.38)
Используя формулу (4.37) будем иметь:
. (4.39)
Применяя формулу Лагранжа из дифференциального исчисления
с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости, получим:
.
Следовательно, формула (4.39) примет вид:
. (4.40)
С другой стороны,
есть скорость изменения температуры элемента 
, и поэтому 
представляет собой изменение его температуры. Так как масса элемента равна 
, то накопленное при этом количество тепла будет:
. (4.41)
Итак, сравнивая (4.41) и (4.40), после сокращения получим:
(4.42)
или, обозначая
(величина а называется коэффициентом температуропроводности), окончательно получим дифференциальное уравнение, описывающее распределение температуры U(x,t) в стержне и носит название уравнения теплопроводности:
(4.43)
Если источники тепла отсутствуют, то уравнение (4.43) принимает вид уравнения свободного теплообмена в стержне:
. (4.44)
Аналогичным образом можно вывести уравнения для распространения температуры в пластине:
;
и в тепле
где
– оператор Лапласа (см. разд. 1.4.6).
Вывод: уравнение теплопроводности есть уравнение с частными производными второго порядка, параболического типа, так как
; в процессе вывода уравнения теплопроводности мы пришли к двум математическим задачам:
1) Найти то решение уравнения (4.44), которое удовлетворяет начальному условию (4.35) и граничным условиям (4.36).
2) Найти то решение уравнения (4.44), которое удовлетворяет начальному условию (4.35) и граничным условиям:
т.е. когда концы стержня теплоизолированы (количество тепла, протекающее через них, равно нулю).
7. Начальные условия и граничные условия - условия однозадачности
Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т.е. описывает классявлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть данный конкретный процесс следует дать дополнительное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называемое условиями однозначности(единственности), которые включают в себя: 1) геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс; 2) граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой; 3) начальные условия, распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процесса во времени; 4) физические свойства тела и окружающей среды, определяемые физическими параметрами; 5) интенсивность и распределение внутренних источников тепла.
Совокупность начальных и граничных условий называют
6. Вывод основного уравнения теплопроводности
Рассмотрим однородный стержень (под стержнем в механике понимается тело с одним превалирующим линейным размером, например, столб можно рассматривать как стержень с переменным сечением) постоянного поперечного сечения S и длины l, теплоизолированный с боков, ось которого примем за ось Ох (рис. 4.3). Обозначим через U(x,t)
температуру стержня в сечении с абсциссой х в момент времени t (предполагается, что во всех точках любого поперечного сечения стержня температура одна и та же.Пусть
– плотность стержня, – его удельная теплоемкость (это количество калорий, которое необходимо, чтобы единицу массы стержня нагреть на 1 ºС), – коэффициент теплопроводности (он представляет собой количество тепла в калориях, которое будет протекать за единицу времени через сечение стержня, если температура стержня падает на 1 ºС при перемещении вдоль стержня на единицу длины), – интенсивность теплового источника, находящегося в сечении х для момента t, отнесенная к единице массы и единице времени (т.е. количество тепла, создаваемого этим источником тепла за единицу времени и приходящегося на единицу массы; например, лампочку включенную в помещении, аппаратуру, работающую на космическом корабле и др. можно рассматривать как источники тепла;). Температуру же U(x, 0) стержня в начальный момент времени мы считаем известной и обозначим её через : . (4.35)
Тепловой режим на концах стержня может быть весьма разнообразен, т.е. температура может быть и постоянной, и изменяться, например, по законам:
и др.). Мы рассмотрим два случая:1) концы стержня поддерживаются при постоянной нулевой температуре:
; (4.36)2) концы стержня находятся в той же теплоизолирующей оболочке, что и весьстержень. Это означает, что через концы не происходит протекание тепла.
Рассмотрим сечение х нашего стержня и найдем, какое количество Q тепла протечет (слева направо) через это сечение за элементарный промежуток времени
. В момент tтемпература стержня в точке х будет равна . Возьмем отличную от точки х точку x + dx стержня (пусть для определенности dx > 0) согласно закону Фурье количество тепла, протекающего в направлении оси Ох за бесконечно малый промежуток времени dt через сечение S с абсциссой х, будет: , (4.37)где k – коэффициент теплопроводности (
представляет здесь величину градиента температуры U). Во формуле (4.37) стоит знак минус, так как при , т.е. при росте U вместе с х, поток тепла направлен в противоположную сторону, и наоборот).Составим тепловой баланс для элемента
, заключенную между бесконечно близкими сечениями х и x + dx. Предположим для определенности, что U возрастает в направлении Ох. Тогда через сечение с абсциссой х тепло выходит, а через сечение с абсциссой x + dx входит. Пусть dQ есть количество тепла, накопленное нашим элементом
за время dt. Тогда количество тепла, созданное за dt источниками тепла в элементе равно:
. (4.38)Используя формулу (4.37) будем иметь:
. (4.39)Применяя формулу Лагранжа из дифференциального исчисления
с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости, получим: .Следовательно, формула (4.39) примет вид:
. (4.40)С другой стороны,
есть скорость изменения температуры элемента , и поэтому представляет собой изменение его температуры. Так как масса элемента равна , то накопленное при этом количество тепла будет: . (4.41)Итак, сравнивая (4.41) и (4.40), после сокращения получим:
(4.42)или, обозначая
(величина а называется коэффициентом температуропроводности), окончательно получим дифференциальное уравнение, описывающее распределение температуры U(x,t) в стержне и носит название уравнения теплопроводности:
(4.43)
Если источники тепла отсутствуют, то уравнение (4.43) принимает вид уравнения свободного теплообмена в стержне:
. (4.44)Аналогичным образом можно вывести уравнения для распространения температуры в пластине:
;и в тепле
где
– оператор Лапласа (см. разд. 1.4.6).Вывод: уравнение теплопроводности есть уравнение с частными производными второго порядка, параболического типа, так как
; в процессе вывода уравнения теплопроводности мы пришли к двум математическим задачам:1) Найти то решение уравнения (4.44), которое удовлетворяет начальному условию (4.35) и граничным условиям (4.36).
2) Найти то решение уравнения (4.44), которое удовлетворяет начальному условию (4.35) и граничным условиям:
т.е. когда концы стержня теплоизолированы (количество тепла, протекающее через них, равно нулю).7. Начальные условия и граничные условия - условия однозадачности
Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т.е. описывает классявлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть данный конкретный процесс следует дать дополнительное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называемое условиями однозначности(единственности), которые включают в себя: 1) геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс; 2) граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой; 3) начальные условия, распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процесса во времени; 4) физические свойства тела и окружающей среды, определяемые физическими параметрами; 5) интенсивность и распределение внутренних источников тепла.
Совокупность начальных и граничных условий называют