Файл: Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2й курс).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.05.2024
Просмотров: 39
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
30
Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка допускающее понижение порядка
3 2
8
sin
5 2
x
x
y
1 2 3 4 5 6 7
Решение.
Данное уравнение будет решаться трѐхкратным интегрированием. Проинтегрируем обе части уравнения
1 3
2 3
3 2
8
cos
8 5
)
3 2
8
sin
5
(
c
x
x
x
dx
x
x
y
, следовательно,
3 3
2 8
cos
8 5
1 3
c
x
x
x
y
Проинтегрируем ещѐ раз обе части уравнения:
2 3
4 3
2 8
sin
64 5
)
3 3
2 8
cos
8 5
(
2 1
2 4
1 3
c
x
c
x
x
x
dx
c
x
x
x
y
После понижения порядка получили
2 3
4 3
2 8
sin
64 5
2 1
2 4
c
x
c
x
x
x
y
И третий раз понизим порядок, проинтегрировав уравнение
2 3
2 3
5 6
1 8
cos
512 5
)
2 3
6 1
8
sin
64 5
(
3 2
2 1
3 5
2 1
2 4
c
x
c
x
c
x
x
x
dx
c
x
c
x
x
x
y
Итак, общее решение дифференциального уравнения третьего порядка, допускающего понижение порядка, имеет вид:
2 2
1 30 1
8
cos
512 5
3 2
2 1
3 5
c
x
c
x
c
x
x
x
y
Задача 5. Найти частное решение уравнения
0 16
y
y
, удовлетворяющее начальным условиям
1
)
(
y
,
0
)
(
y
Решение. Данное уравнение является однородным линейным уравнением. Для нахождения y составим характеристическое уравнение
0 16 2
k
, имеющее комплексные корни
i
k
4 1
,
i
k
4 1
. В этом случае
31 общее решение однородного уравнения ищем в виде: у=
)
x
sin
C
x
cos
C
(
e
x
2 1
, (4) где
i
– комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в
(4)
4 0
,
имеем: у =
x
sin
C
x
cos
C
4 4
2 1
Для нахождения частного решения
y
однородного дифференциального уравнения находим
y
:
x
sin
)
Ax
B
(
x
cos
)
x
C
C
(
y
4 4
4 4
2 1
Используя начальные условия, получим систему:
0 4
1 2
1 1
C
C
C
, откуда
1 1
C
,
4 1
2
C
Следовательно,
x
sin
x
cos
y
4 4
1 4
есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.
Задача 6. Найти общее решение уравнения
x
cos
x
sin
y
y
y
2 2
2 3
13 4
Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения
одн
у
однородного уравнения и какого-либо частного решения у данного уравнения, т. е.
у
у
у
одн
Для нахождения
одн
у
составим характеристическое уравнение
0 13 4
2
k
k
, имеющее комплексные корни
i
k
3 2
1
,
i
k
3 2
2
. В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде:
)
x
sin
C
x
cos
C
(
e
y
x
одн
2 1
, (5) где
i
– комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в
(5)
3 2
,
имеем:
32
)
x
sin
C
x
cos
C
(
e
y
x
одн
3 3
2 1
2
Для нахождения частного решения
y
неоднородного дифференциаль- ного уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть не- однородного уравнения есть функция
)
x
sin
C
x
cos
C
(
e
)
x
(
f
x
2 1
и числа
i
не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение
)
x
sin
B
x
cos
A
(
e
y
x
. Если же числа
i
являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение:
)
x
sin
B
x
cos
A
(
xe
y
x
Применяя эту теорему при
2 0
,
, имеем:
x
sin
B
x
cos
A
y
2 2
Дифференцируя это равенство, находим
y
:
x
cos
B
x
sin
A
y
2 2
2 2
Дифференцируя последнее равенство, находим
y
:
x
sin
B
x
cos
A
y
2 4
2 4
Подставив в исходное уравнение выражения для
y
,
y
и
y
, получим:
x
cos
x
sin
x
cos
)
B
A
(
x
sin
)
A
B
(
2 2
2 3
2 8
9 2
8 9
, откуда
145 42
A
,
145 11
B
Следовательно,
x
sin
x
cos
y
2 145 11 2
145 42
есть частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Искомое общее решение данного дифференциального уравнения запишем в виде
x
sin
x
cos
)
x
sin
C
x
cos
C
(
e
y
x
2 145 11 2
145 42 3
3 2
1 2
Задача 7. Найти частное решение дифференциального уравнения
33 3
)
0
(
,
1
)
0
(
)
2
(
6 7
y
y
e
x
y
y
y
x
Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение:
0 6
7
y
y
y
Характеристическое уравнение имеет вид:
0 6
7 2
Корни этого уравнения
1 1
и
6 2
являются действительными несовпадающими числами: поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
x
x
e
c
e
c
y
6 2
1 0
Далее найдем частное решение данного неоднородного уравнения по его правой части
x
x
e
x
e
x
P
x
f
)
2
(
)
(
)
(
1
. Для данной специальной правой части частным решением будет функция вида:
)
(
k
x
x
e
B
Ax
y
Так как корень характеристического уравнения
1 1
совпадает с коэффициентом степени
x
e
1
, то k=1 и частное решение примет вид:
)
(
)
(
2
x
x
e
Bx
Ax
x
e
B
Ax
y
Подставляя функцию y и ее производные
,
)
2
(
2
x
e
B
Bx
Ax
Ax
y
x
e
B
A
Bx
Ax
Ax
y
)
2 2
4
(
2
в данное неоднородное уравнение, получим равенство:
).
2
(
)
5 2
10
(
x
e
B
A
Ax
e
x
x
Сократим обе части на
0
x
e
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим
25 9
,
10 1
5 2
2 10 1
0 1
B
A
B
A
A
x
x
Следовательно,
34 25 9
10 1
2
x
e
x
x
y
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
25 9
10 1
2 6
2 1
0
x
x
e
e
c
e
c
y
y
y
x
x
x
Найдем частное решение, используя заданное начальное условие
,
1
)
0
(
y
1 2
1
c
c
Дифференцируя функцию
y
, получим
25 9
25 4
10 1
6 2
6 2
1
x
x
e
e
c
e
c
y
x
x
x
Используя начальное условие
,
3
)
0
(
y
имеем
3 25 9
6 2
1
c
c
Запишем систему для определения
:
,
2 1
c
c
125 41 125 84
,
25 41 5
,
1
,
25 66 6
,
1 2
1 2
2 1
2 1
2 1
c
c
c
c
c
c
c
c
c
Итак, частное решение имеет вид:
25 9
10 1
125 41 125 84 2
6
x
x
e
e
e
y
x
x
x
Кратные и криволинейные интегралы
Кратные интегралы
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f (x, y) = 0. Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью
. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой областью
35
С геометрической точки зрения
– площадь фигуры, ограниченной контуром.
Разобьем область
на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние
х
i
, а по оси у – на
у
i
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S
i
=
x
i
y
i
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р (х
i
, y
i
) и составим интегральную сумму
,
)
,
(
1
n
i
i
i
i
i
S
y
x
f
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей
i
, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S
i
стремится к нулю.
Если при стремлении к нулю шага разбиения области
интегральные суммы
n
i
i
i
i
i
S
y
x
f
1
)
,
(
имеют конечный предел, то этот предел называется
двойным интеграломот функции f (x, y) по области
)
,
(
)
,
(
lim
1
dxdy
y
x
f
S
y
x
f
n
i
i
i
i
i
n
С учетом того, что S
i
=
x
i
y
i
получаем:
)
,
(
)
,
(
1 1
1
n
i
i
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
x
y
y
x
f
S
y
x
f
В приведенной выше записи имеются два знака
, так как
36 суммирование производится по двум переменным х и у.
Деление области интегрирования произвольно, поэтому произволен и выбор точек Р
i
. Считая все площади S
i
одинаковыми, получаем формулу:
)
,
(
lim
)
,
(
0 0
x
y
y
x
f
dydx
y
x
f
y
x
Вычисление двойного интеграла.
Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области
, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y =
(x), y =
(x), где
и
– непрерывные функции и
, тогда
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
x
b
a
b
a
x
x
dy
y
x
f
dx
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл вида
dydx
y
x
F
)
,
(
, где переменная х изменяется в пределах от a до
b, а переменная у – от
1
(x) до
2
(х).
Пусть х = f (u, v); y =
(u, v).
)
(
)
(
2 1
2 1
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
v
v
V
V
du
i
v
u
v
u
f
F
dv
dydx
y
x
F
Выражение
i
v
u
v
f
u
f
v
f
u
u
f
v
называется определителем Якоби
или якобианомфункций f (u, v) и
(u, v).
Геометрические и физические приложения кратных интегралов
1. Вычисление площадей в декартовых координатах.
2. Вычисление площадей в полярных координатах.
3. Вычисление объемов тел.
37 4. Вычисление площади кривой поверхности.
5. Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.
6. Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.
7. Координаты центра тяжести тела.
8. Моменты инерции тела относительно осей координат.
9. Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.
10. Момент инерции тела относительно начала координат.
11. Вычисление массы неоднородного тела.
Криволинейные интегралы
Рассмотрим в пространстве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция
)
,
,
(
z
y
x
f
Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка
i
i
i
i
s
z
y
x
f
)
,
,
(
Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую интегральнуюсумму функции f (x, y, z)
n
i
i
i
i
i
s
z
y
x
f
1
)
,
,
(
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x (t), y = y (t), z = z
(t),
t
, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t =
, а точке В соответствует t =
. Функция f (x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.
Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле
)
(
)
(
)
(
))
(
),
(
),
(
(
)
,
,
(
2 2
2
dt
t
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
f
ds
z
y
x
f
AB