Файл: Методические указания по лабораторным работам 2015 Корректор Осипова Е. А. Саврук Е. В., Смирнов С. В.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2024
Просмотров: 24
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
14
В кубической объемноцентрированной (ОЦК) ячейке шары соприка- саются по телесной диагонали куба (рис. 2.4, б), т. е. длина телесной диа- гонали равна 4R и отсюда параметр ячейки
4 3 .
a
R
=
На объем ячейки
ОЦК
приходится два шара
, тогда
(
)
3
ш
3 2 4 3
0, 68.
8 3 4 3
R
f
R
⋅ π
π
=
=
=
⋅
В
кубической гранецентрированной ячейке
(
ГЦК
) шары соприкасают
- ся по диагоналям граней куба
(
рис
. 2.4,
в
), длина которой равна
4R , а
пара
- метр ячейки
4 2 .
a
R
=
На ячейку
ГЦК
приходится четыре шара
, тогда
(
)
3
ш
3 4 4 2
0, 74.
6 3 4 2
R
f
R
⋅ π
π
=
=
=
⋅
2.2 Дифракция рентгеновских лучей
Падающая на атом вещества электромагнитная волна рентгеновского излучения вызывает индуцированные колебания электронов
При этом из
- лучается электромагнитная волна с
той же частотой
, с
какой происходят колебания
Излучаемая электроном волна имеет сферический фронт
, в
центре которого находится осциллирующий диполь
Таким образом
, волна рассеивается по всем направлениям
Этот процесс поглощения энергии па
- дающего излучения и
отдачи этой энергии при испускании сферической волны той же длины называется
когерентным
рассеянием
падающего
из
-
лучения
Зная распределение электронов в
атоме
, можно теоретически рас
- считать рассеивающую способность атома
В
реальном теле атомов огром
- ное количество
, и
в падающий пучок рентгеновских лучей всегда попадает большое их число
Каждый из атомов становится источником рассеянных волн
, которые в
результате интерференции могут усиливать или ослаблять друг друга
Это означает
, что энергия излучения рассеивается в
разных
15
направлениях с
различной интенсивностью
Вид картины рассеяния будет зависеть от сорта атомов
, расстояний между ними
, частоты падающего из
- лучения и
т д
Русский ученый
Ю
В
Вульф и
англичане
У
Г
Брэгг и
У
Л
Брэгг дали простое толкование интерференции рентгеновских лучей в
кристал
- лах
, объяснив его отражением от атомных сеток
Пусть на кристалл под углом падения
θ
падает параллельный пучок монохроматических рентгеновских лучей с
длиной волны
λ
(
рис
. 2.5).
Лу
- чи отражаются от параллельного поверхности семейства плоскостей с
межплоскостным расстоянием
d
под тем же углом
θ
Параллельные отра
- женные лучи
I и
II интерферируют
, т
е усиливают и
ослабляют друг дру
- га
Если их разность хода
Δ
= (AB+BC) – AD
равна целому числу
n длин волн
λ
, то наблюдается интерференционный максимум
Условие возникно
- вения такого максимума можно записать в
виде
2 sin
n
d
Δ = λ =
θ . (2.5)
θ
θ
θ
Рисунок
2.5 —
К
выводу формулы
Вульфа
—
Брэгга
Соотношение
(2.5) носит название
формулы
Вульфа
—
Брэгга
Закон
Вульфа
—
Брэгга является следствием периодичности пространственной решетки и
не связан с
расположением атомов в
ячейке или узлах решетки
16
3 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
3.1 Содержание задания
1.
Рассчитать углы отражения от плоскостей
[100], [110], [111] твер
- дого тела
, соответствующие дифракционным максимумам m- ого порядка для характеристического рентгеновского излучения длиной волны
λ
2.
Вывести выражения для зависимости относительной интенсивно
- сти от углов отражения с
учетом следующих факторов
: а
) зависимость интенсивности дифракционного максимума от плот
- ности заполнения плоскости атомами
; б
) зависимость интенсивности дифракционного максимума от фак
- тора поглощения
; в
) зависимость интенсивности дифракционного максимума от фак
- тора повторяемости
; г
) зависимость интенсивности дифракционного максимума от темпе
- ратурного фактора
3.
Графически изобразить вид дифрактограммы в
координатах ин
- тенсивность
- угол отражения
3.2 Порядок выполнения задания
Пусть необходимо рассчитать углы отражения от плоскостей
[100],
[110], [111] кристалла марганца
(Mn) с
постоянной кристаллической ре
- шетки
0 8,89 Å,
a
=
соответствующие дифракционным максимумам 2-го порядка для характеристического рентгеновского излучения меди (Cu).
Для расчета углов отражения (
θ ) воспользуемся условием Вульфа—
Брэгга:
2 sin ,
m
d
λ =
θ
(3.1)
где
m — порядок дифракционного максимума
;
17
λ — длина волны характеристического рентгеновского излучения
;
d — межплоскостное расстояние
;
θ — угол отражения рентгеновского излучения
Длину волны характеристического рентгеновского излучения
(
λ) можно определить из закона
Мозли
:
(
)
2 2
2 1
1 1
,
R
z
n
m
⎛
⎞
′
=
−
− σ
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
(3.2)
где
R
′ — постоянная
Ридберга
,
7 1,1 10
R
′ = ⋅
м
–1
;
,
n m — целые числа
(
1, 2, 3,...;
1
n
m
n
=
= + );
z — порядковый номер элемента в
периодической таблице системы
Менделеева
,
29
z
=
для
Cu;
σ — постоянная экранирования
,
1.
σ =
Рассчитаем длину волны характеристического рентгеновского излу
- чения для
K
α
- серии
(
рис
. 3.1).
E
0 4
n
=
3
n
=
2
n
=
1
n
=
K
α
K
β
K
γ
Рисунок
3.1 —
Схема образования спектральных линий характеристического рентгеновского излучения
K- серии
Определим длину волны характеристического рентгеновского излу
- чения
K- серии меди
, воспользовавшись формулой
(3.2):
18
(
)
2 2
2 1
1 1
1 ,
1 2
R
z
⎛
⎞
′
=
−
−
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
(
)
2 1
3 1 ,
4
R
z
′
=
−
λ
(
)
2 4
,
3 1
R z
λ =
′ −
(
)
10 2
7 4
1,55 10 3 1,1 10 29 1
−
λ =
=
⋅
⋅ ⋅
−
м.
Межплоскостное расстояние ( d ) рассчитаем по формуле:
0
, ,
2 2
2
,
h k l
a
d
h
k
l
=
+
+
(3.3)
где
0
a
— постоянная кристаллической решетки
,
0 8,89 Å,
a
=
для
Mn;
, ,
h k l
— индексы
Миллера
По формуле
(3.3) вычислим
d
для соответствующих плоскостей
:
– для плоскости
[100]:
0 0
100 0
2 2
2 8,89 Å;
1 1
0 0
a
a
d
a
=
=
=
=
+ +
– для плоскости
[110]:
0 0
110 0
2 2
2 6, 29 Å;
2 1
1 0
a
a
d
a
=
=
=
=
+ +
– для плоскости
[111]:
0 0
111 0
2 2
2 5,13 Å.
3 1
1 1
a
a
d
a
=
=
=
=
+ +
Выразим углы отражения
(
θ
) из условия
Вульфа
—
Брэгга
(3.1): arcsin
2
m
d
λ
θ =
(3.4)
По формуле
(3.4) рассчитаем
θ
для соответствующих плоскостей
:
– для плоскости
[100]:
19 10 100 10 2 1, 55 10
arcsin
10, 04 0,18 2 8,89 10
−
−
⋅
⋅
θ =
=
° =
⋅
⋅
рад
;
– для плоскости
[110]:
10 110 10 2 1, 55 10
arcsin
14, 27 0, 25 2 6, 29 10
−
−
⋅
⋅
θ =
=
° =
⋅
⋅
рад
;
– для плоскости
[111]:
10 111 10 2 1, 55 10
arcsin
17, 6 0, 31 2 5,13 10
−
−
⋅
⋅
θ =
=
° =
⋅
⋅
рад
Под действием рентгеновского излучения электроны в
твердом теле совершают вынужденные колебания и
вследствие этого становятся источ
- никами электромагнитных колебаний той же частоты
Полная интенсив
- ность рассеяния электронов в
заданном направлении в
рамках кинематиче
- ской теории выражается формулой
:
2 2
2 0
2 2
1 1 cos 2
,
2
e
e
I
I
mc
R
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.5)
где
e
— заряд электрона
,
19 1, 6 10
e
−
=
⋅
Кл
;
m
— масса электрона
,
31 9,1 10
m
−
=
⋅
кг
;
c
— скорость света
,
8 3 10
c
= ⋅
м
/
с
;
R
— расстояние от рассеивающего центра до плоскости
,
;
R
d
≅
θ — угол отражения
, вычисленный по формуле
(3.4) для соответ
- ствующих плоскостей
Так как в
твердом теле количество электронов
N
, то выражение
(3.5) примет вид
:
2 2
2 0
2 2
1 1 cos 2 2
e
e
I
I
N
mc
R
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.6)
Количество электронов
(
N
) определим ат
3 0
,
n
N
а
=
(3.7)
20
где ат
n
— количество атомов
, приходящихся на одну элементарную ячей
- ку
Перепишем выражение
(3.6) с
учетом
(3.7):
2 2
2
ат
0 2
2 3
0 1
1 cos 2 2
e
n
e
I
I
mc
R
а
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.8)
Учтем
, что интенсивность зависит от плотности заполнения плоско
- сти атомами
Это можно учесть с
помощью коэффициента компактности
: ш
ат яч
,
V
f
n
V
=
(3.9) где ш
V
— объем жестких сфер
(
атомов
):
3
ш
4
;
3
V
R
= π
яч
V
— объем элементарной ячейки
Кристаллическая структура
Mn представляет собой простую кубиче
- скую решетку
, тогда
( )
3 3
3
яч
2 8
V
a
R
R
=
=
=
Количество атомов
, приходящихся на одну простую кубическую ячейку
, равно
1.
Тогда выражение
(3.9) можно записать
:
3 3
4 3
6 8
R
f
R
π
π
=
= (3.10)
Перепишем выражение
(3.6) с
учетом
(3.10):
2 2
2
ат
0 2
2 3
0 1
1 cos 2 2
6
e
n
e
I
I
mc
R
а
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Так как требуется найти относительную интенсивность
(
I
), то
2 2
2
ат
2 2
3 0
0 1
1 cos 2 2
6
e
I
n
e
I
I
mc
R
а
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
π
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.11)
21
Фактор поглощения
(
A
) учитывает ослабление рентгеновского излу
- чения в
образце при данной геометрии и
зависит от линейного коэффици
- ента поглощения
:
1
,
2
A
=
μ
(3.12) где
μ — линейный коэффициент поглощения
(
коэффициент ослабления рентгеновских лучей
),
52
μ =
для
Cu.
Перепишем выражение
(2.11) с
учетом
(3.12):
2 2
2
ат
2 2
3 0
1 1 cos 2 1
2 6 2
n
e
I
mc
R
а
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
μ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.13)
Вероятность появления в
отражающем положении той или иной гра
- ни кристалла выражается фактором повторяемости
(
H
).
Множитель
H
пропорционален числу эквивалентных кристаллографических плоскостей
, образующих кристаллическую форму
, и
выражается целыми числами
Для плоскости
[100]
6
H
= , для плоскости
[110]
12
H
= , для плоско
- сти
[111]
8
H
= , т
е
H
равен количеству повторений грани куба
Тогда выражение
(3.13) с
учетом фактора повторяемости запишем следующим образом
:
2 2
2
ат
2 2
3 0
1 1 cos 2 1
2 6 2
n
e
I
H
mc
R
а
⎛
⎞
⎛
⎞
+
θ
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
μ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.14)
Температурный множитель учитывает разность фаз рассеянных рентгеновских лучей
, возникшую вследствие тепловых колебаний
:
2 0
,
M
e
I
e
I
−
∼
(3.15) где величина
2M
e
−
— температурный множитель
(
или фактор интенсив
- ности
):
2 2
2 2
8
sin
,
3
M
U
θ
= π
λ
(3.16)