Файл: Методические указания по лабораторным работам 2015 Корректор Осипова Е. А. Саврук Е. В., Смирнов С. В.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2024
Просмотров: 20
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
33
модуляцию диэлектрической проницаемости, а также энергий
E
c
и
E
v
, от- вечающих верхней и нижней границам запрещенной зоны.
LA- фононы, которые могут рассеять электрон, должны обладать длиной волны, во всяком случае, не меньшей, чем длина волны электрона.
Простой расчет показывает, что рассеяние электрона с энергией
k
Б
T
LA- фононом приводит к значительному изменению направления импульса и к очень малому изменению энергии электрона. Такие относительно длинноволновые и низкоэнергетичные фононы сохраняются в твердом те- ле в большом количестве и при уменьшении температуры значительно ни- же температуры Дебая. При очень низких температурах (представляющих меньший интерес для решеточного рассеяния, поскольку на него налага- ются другие эффекты при малых
Т
) рассеяние LA-фононами становится анизотропным, с предпочтительным рассеянием в прямом направлении. В большей части температурного диапазона LА-фононы рассеивают элек- троны изотропно.
Подвижность электронов, при рассеянии только на LA-фононах:
( )
3 2 0
5 2
*
3 2 4
3
n
n
q
BT
m
T
−
τ
μ =
=
π
(8.11)
Отрицательный показатель степени в температурной зависимости подвижности наблюдается в наиболее чистых образцах при высоких тем- пературах. Зависимость близка к
3 2
T
−
для электронов в InSb, но более близка к
1,9
T
−
для дырок в образце германия. Отклонения от точной зави- симости
3 2
T
−
для решеточной подвижности в большей или меньшей сте- пени проявляются почти во всех полупроводниках. Причиной этого явля- ется множество конкурирующих эффектов, включающих несферическую форму поверхностей постоянной энергии для электронов проводимости в таких полупроводниках, как кремний или германий, зависимость эффек- тивной массы от энергии в таких полупроводниках, как InSb, рассеяние,
34
обусловленное поперечными акустическими колебаниями (TА-фононами), и рассеяние более высокоэнергетичных электронов при высоких темпера- турах фононами оптических ветвей. Этот последний вид фононов вне за- висимости от того, насколько сильно изменилось направление движения электрона, способен сильно изменить энергию электронов.
Другой важный механизм рассеяния для электронов и дырок особен- но при достаточно высокой температуре в кристалле со значительной до- лей ионной связи обусловлен фононами оптических мод. В то время как фононы акустических мод обычно обладают энергией, очень малой по сравнению с энергией электронов, которые ими рассеиваются, фононы оп- тических мод обладают большой энергией
hν
опт независимо от величины их волнового вектора. Рассеяние на оптических фононах (которые часто называют фононами поляризационной моды) особенно существенно для твердого тела с полярной (частично или полностью ионной) решеткой, по- скольку оптический фонон создает в таком твердом теле электрическое поле дипольного типа.
Можно ожидать, что рассеяние поляризационной модой окажется несущественным при низких температурах, однако оно может в некоторых материалах стать преобладающим, когда величина
kТ
становится сравни- мой с энергией образования оптических фононов
hν
опт
Подвижность свободных носителей в невырожденном образце при охлаждении не возрастает неограниченно. Действительно, для ряда образ- цов полупроводниковых материалов подвижность при более низких тем- пературах опять начинает уменьшаться. Этого можно ожидать в кристалле, когда число фононов в нем сильно уменьшено охлаждением и средние длина и время свободного пробега определяются рассеянием на ионизо- ванных примесных центрах.
Каждый ионизованный центр в кристалле представляет собой непо- движный положительный или отрицательный заряд, который может от-
35
клонить траекторию пролетающего электрона. Результирующая орбита как в случае притяжения, так и в случае отталкивания будет гиперболической, и необходимый математический вывод идентичен тому, который был исполь- зован Резерфордом в его модели рассеяния α-частиц атомными ядрами.
Только в нашем случае выражение Резерфорда для угла рассеяния должно быть пересчитано с учетом диэлектрической проницаемости среды ε.
Средняя длина свободного пробега, связанная с резерфордовским рассеянием, не зависит явно от температуры системы, однако она пропор- циональна квадрату энергии электрона. В соответствии с этим результи- рующая подвижность
n
μ должна изменяться как
3 2
T
При достаточно больших температурах можно считать, что
3 2 0
ni
i
T
μ ≈ μ
(8.12)
Из формулы (8.12) следует, что подвижность носителей заряда, обу- словленная рассеянием на ионах примеси, уменьшается при уменьшении температуры.
Как в ионных, так и в ковалентных кристаллах электроны должны рассеиваться также и нейтральными примесными центрами. Подвижность, обусловленная нейтральными примесными центрами, не зависит от темпе- ратуры, а эффективность рассеяния не зависит от распределения электрон- ных скоростей. Практически рассеяние на нейтральных центрах особенно эффективно при низких температурах для самых быстрых электронов из теплового распределения, тогда как процесс рассеяния на ионизованных центрах наиболее вероятен для медленных электронов.
В дополнение ко всем видам рассеяния, которые имеют место в тех случаях, когда объекты атомного размера нарушают периодичность ре- шетки, электроны могут рассеиваться объектами, протяженными в одном или нескольких измерениях. Линия дислокации, пересекающая кристалл, не слишком эффективно влияет на рассеяние, если она электрически
36
нейтральна, однако она может быть очень эффективным рассеивателем, если состоит из цепочки отрицательно заряженных акцепторов. Границы зерен в поликристаллических образцах несомненно оказывают воздействие на подвижность носителей и могут воспрепятствовать перемещению элек- тронов из одного кристалла в другой, если на поверхности раздела имеется потенциальный барьер.
В реальных полупроводниках обычно одновременно действуют не- сколько механизмов рассеяния. Поэтому для данного температурного ин- тервала можно говорить лишь о преобладании какого-нибудь из них.
Как показывает оценка погрешности определения подвижности, можно считать, что в первом приближении
И
А
Ф
1 1
1 1
,
=
+
+
μ μ
μ
μ
(8.13) где
И
μ ,
А
μ и
Ф
μ — подвижности при рассеянии на ионах и атомах при- меси, а также акустических фононах соответственно. В зависимости от температурного интервала будет преобладать тот или иной механизм рас- сеяния. Разобранные выше теоретические модели механизмов рассеяния хорошо согласуются с экспериментальными данными: при высоких темпе- ратурах основную роль играет рассеяние на фононах, при низких — рассе- яние на ионах примеси (рис. 8.1).
Особую роль играет рассеяние носителей заряда друг на друге.
Столкновения между носителями приводят к перераспределению энергии и квазимпульса между электронами. Взаимодействие электронов друг с другом меняет функцию распределения по энергиям, может увеличить или уменьшить интенсивность рассеяния. На заряженной примеси сильнее все- го рассеиваются сравнительно медленные электроны. При этом взаимо- действие электронов друг с другом, увеличивая процент медленных элек- тронов, приводит к уменьшению подвижности.
37
T
T, K
μ, см
2
/В
⋅с
10000 1000 100 50 100 200 1
2 3
а
б
1 2
3 2
T
∼
3 2
T
−
∼
μ
Рисунок 8.1 — Зависимость подвижности от температуры для различных механизмов рассеяния (
а
): кр. 1 — рассеяние на ионах примеси; кр. 2 — рассеяние на акустических фононах; экспериментальная зависимость холловской подвижности дырок в кремнии, легированном бором, от температуры (
б
): кр. 1 — 3·10 13
см
–3
; кр. 2 — 10 14
см
–3
; кр. 3 — 10 15
см
–3
8.2 Гальваномагнитные эффекты. Эффект Холла
На электрический заряд, двигающийся со скоростью
V
в магнитном поле
H
, действует сила Лоренца
F
q
VH
⎡
⎤
= μ
⎣
⎦
, направление которой опре- деляется вектором
VH
⎡
⎤
⎣
⎦
Если векторы
V
и
H
взаимно перпендикулярны, то в результате действия силы Лоренца появляется составляющая скорости электрического заряда, перпендикулярная векторам
V
и
H
В полупро- водниковом кристалле, помещенном во взаимно перпендикулярные элек- трическое и магнитное поля, под действием силы Лоренца происходит пространственное перераспределение зарядов (рис. 8.2). Если электриче- ское поле направлено по оси
y
( )
y
E
−
, магнитное поле — по оси
z
( )
z
B
−
, то за счет перераспределения зарядов на гранях кристалла появится дополни-
38
тельная ЭДС
E
x
Этот эффект назван эффектом Холла, а соответствующая
ЭДС
E
x
названа ЭДС Холла.
B
z
Ē
x
V
H
I
W
Рисунок 8.2 — Схема для исследования эффекта Холла
В соответствии с теорией гальваномагнитных явлений плотность то- ка, протекающего в полупроводнике при условиях, показанных на рис. 8.2, равна:
(
)
( )
2 2
(
)
n
p
n
p
j
q n
p
rq n
p
BE
=
μ + μ +
μ + μ
. (8.14)
Если ток направлен по оси
х
, магнитное поле по оси y, то, разлагая ток на составляющие и удерживая только члены первого порядка, найдем составляющую E
x
, или ЭДС Холла:
(
)
2 2
2
p
n
x
j
p
n
p
n
r
E
jH
R B
q p
n
μ − μ
=
=
μ + μ
. (8.15)
Постоянная Холла R вычисляется как:
(
)
2 2
2
p
n
p
n
p
n
r
R
q p
n
μ − μ
=
μ + μ
, (8.16) где p и n — концентрации дырок и электронов;
µ
p и µ
n
—
подвижности дырок и электронов;
r — Холл-фактор, определяемый механизмом рассеяния носителей.
39
В частности, в атомной решетке r = 1,17; в ионной решетке при тем- пературе выше дебаевской r = 1,11; при рассеянии на ионах примеси
r = 1,93.
Из выражения (8.15) следует, что ЭДС Холла будет больше в при- месном полупроводнике с одним типом проводимости, например при
n>>p или p>>n, и меньше в собственном полупроводнике.
Из формулы (8.16) для электронного полупроводника (n>>p) полу- чаем:
1
n
R
r
nq
= −
. (8.17)
Для дырочного:
1
p
R
r
rq
=
. (8.18)
Если формулы (8.17) и (8.18) умножить и разделить на значения по- движностей электронов и дырок соответственно, то получим очень важные практические соотношения: из (8.17):
n
n
n
R
r
μ
= −
σ
или
1
;
n
n
n
R
r
μ = σ
(8.19) из (8.18):
p
p
p
R
r
μ
=
σ
или
1
p
p
p
R
r
μ = σ
. (8.20)
Таким образом, из формул (8.17—8.20) следует, что, определив экс- периментально постоянную Холла R
n
или R
p
, можно всегда рассчитать концентрацию основных носителей и их подвижность.
На практике обычно определяется не E
x
, а разность потенциалов
U
x
= E
x
a, и не плотность тока j, а ток J = jad, где a — ширина; d — толщи- на кристалла.
Учитывая это, можно записать:
x
a
J
BJ
U
R B
R
ad
d
=
=
. (8.21)
40
Если U
x
измерять в вольтах, H — в (А/м), J — в амперах, d — в мет- рах, то:
3
м
Кл
x
U d
R
JB
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
. (8.22)
Тип носителей в полупроводнике определяется по знаку ЭДС Холла
(формулы (8.19) и (8.20)).
Используя соотношения (8.19), (8.20) и (8.21) и полагая r
≅ 1, найдем концентрации носителей:
x
BJ
n
qdU
=
или
x
BJ
p
qdU
=
. (8.23)
Схема образца для измерений концентрации и подвижности носите- лей показана на рис. 8.3.
Рисунок 8.3 — Схема образца для измерения концентрации и подвижности носителей методом эффекта Холла
Для определения подвижности вначале определяется разность по- тенциалов между контактами 3 и 4 (рис. 8.3), которая возникает в резуль- тате протекания тока между контактами 1 и 5 (рис. 8.3):
l
U
J
ad
=
σ
, отсюда
J l
U ad
σ =
. (8.24)
41
1 2 3 4 5
8.3 Термоэлектрические эффекты. Эффект Пельтье
К термоэлектрическим явлениям относятся три эффекта: Зеебека,
Пельтье, Томсона. Эффектом Зеебека называют возникновение термо-ЭДС в цепи, составленной из двух различных твердых тел, при наличии разно- сти температур спаев. Эффект Пельтье состоит в нагревании или охлажде- нии спая двух материалов при протекании через него постоянного тока.
Этот эффект не зависит от выделения тепла Ленца—Джоуля, т. е. имеет иную природу. Эффект Томсона состоит в выделении или поглощении теп- ла, добавочно к теплу Ленца—Джоуля, при протекании постоянного тока по однородному полупроводнику, в котором имеется градиент температуры.
Эффекты Зеебека и Пельтье обычно наблюдаются в металлах. Одна- ко в полупроводниках эти явления выражены значительно ярче, например соответствующие величины данных явлений могут на несколько порядков превышать таковые в металлах. Поэтому эффекты Зеебека и Пельтье в по- лупроводниках находят большое практическое применение. В частности, полупроводниковые пары с большой термоЭДС можно использовать как источники электропитания, явление Пельтье — в холодильных установках.
Явление Томсона представляет главным образом теоретический ин- терес. Градиент температуры создает градиент концентрации и соответ- ствующий диффузионный ток, вследствие чего возникают объемные заря- ды вдоль полупроводника. Если поле объемных зарядов направлено про- тив внешнего поля, то последнее совершает работу против внутреннего поля и выделяется дополнительное тепло. В случае совпадения направле- ния обоих полей внутреннее поле совершает часть работы по созданию дрейфа носителей заряда, что осуществляется в конечном итоге за счет тепловой энергии полупроводника, поэтому последний охлаждается.
Явлением
Зеебека
называют возникновение термоЭДС в цепи, со- ставленной из двух различных твердых тел, при наличии разности их тем-
42
ператур. Наиболее ярко это явление проявляется в контактах полупровод- никовых материалов с металлами.
Дифференциальную термоЭДС определяют в виде:
T
dE
dT
α =
. (8.25)
Если термоэлектрическая цепь составлена из последовательно со- единенных полупроводников n и
р
-типа, то их термоЭДС складывается:
12 1
2 12
(
)
E
T
T
= α + α Δ = α Δ , (8.26) где α
12
— коэффициент суммарной дифференциальной термоЭДС.
Зависимость α
12
=ƒ
(
Τ
) не имеет универсального характера и зависит от материала и интервала температур.
Эффект
Пельтье
— выделение или поглощение тепла при контакте двух разнородных полупроводников или полупроводника и металла при прохождении через них электрического тока. Количество выделившегося или поглощенного тепла в месте контакта пропорционально прошедшему через контакт количеству электричества:
12
П
Q
П
It
= ±
, (8.27) где
П
12
— коэффициент Пельтье.
В случае невырожденного полупроводника:
12 12
(2
)
F
r kT
E
П
T
It
+
−
=
= α
, (8.28) где
Т
— абсолютная температура холодного контакта.
В общем случае количество тепла за счет эффекта Пельтье определя- ется как:
2 12
UI
I R
TI
=
± α
, (8.29) где U — падение напряжения на термоэлементе;
I
— ток через элемент;
R
— электрическое сопротивление элемента.
