Файл: Методические указания по лабораторным работам 2015 Корректор Осипова Е. А. Саврук Е. В., Смирнов С. В.pdf

43
Физический смысл эффекта Пельтье можно понять из энергетиче- ской диаграммы контакта металл-полупроводник (рис. 8.4). Рассмотрим для определенности контакт металл-полупроводник n-типа при работе вы- хода электронов из металла большей, чем из полупроводника
Ф
м
>
Ф
пп
Причина возникновения этого термоэлектрического эффекта состоит в том, что средняя кинетическая энергия электронов, участвующих в созда- нии электрического тока в металле и полупроводнике, различна.
E
F
E
V
E
c
Металл
Полупроводник n-типа
Рисунок 8.4 — Энергетическая диаграмма контакта металл-полупроводник
В металле электроперенос осуществляется электронами вблизи по- верхности Ферми. В полупроводнике n-типа ток будет переноситься элек- тронами зоны проводимости. Энергия электродов в зоне проводимости больше, чем энергия электронов в металле на уровне Ферми, на величину
Ес
–
Е
F
. Под действием внешнего электрического поля, направленного так, что осуществляется переход электронов из полупроводника в металл, бо- лее высокоэнергетические электроны полупроводника, перейдя в металл, будут опускаться до уровня Ферми и отдавать при столкновениях с атома- ми решетки металла свою избыточную энергию. Выделяющееся при этом тепло и есть теплота Пельтье. Так как электроны приходят в тепловое рав- новесие в результате небольшого числа столкновений в непосредственной

44
близости контакта, то практически вся теплота Пельтье выделяется на са- мом контакте. При противоположном направлении внешнего электриче- ского тока электроны металла могут перейти в полупроводник, только преодолев энергетический барьер
Е
c
–E
F
. Для этого они должны получить энергию от решетки, вследствие чего металл в области контакта охлажда- ется.
Коэффициенты α
12
и П
12
связаны между собой термодинамическими соотношениями, и поэтому достаточно определить один из них, например
α
12
. Из кинетического уравнения Больцмана для невырожденного полупро- водника с одним типом носителей получаем:
2
ln
C
n
N
k
r
q
n
⎛
⎞
α = −
+ +
⎜
⎟
⎝
⎠
, (8.30)
2
ln
V
p
N
k
r
q
p
⎛
⎞
α =
+ +
⎜
⎟
⎝
⎠
, (8.31) где r — показатель степени, определяемый механизмом рассеяния. В частности, при рассеянии на акустических колебаниях решетки r = 1, а при рассеянии на ионизированной примеси r = 2.
8.4 Диффузионные соотношения. Уравнение Эйнштейна
Предположим, что вдоль полупроводника имеется градиент концен- трации свободных носителей заряда. Такое состояние можно реализовать различными способами, например можно вырастить монокристаллический образец полупроводника так, чтобы концентрация примесей изменялась в некотором направлении по заданному закону. В неоднородных полупро- водниках концентрация примесей изменяется от точки к точке и особенно на границах неоднородностей. В таких случаях равновесная концентрация носителей заряда (электронов и дырок) является функцией координат.
Аналогично можно создать градиент концентрации равновесных носите- лей заряда в однородном полупроводнике за счет градиента температуры.

45
Следовательно, равновесные концентрации могут изменяться в некотором направлении. Однако это относится и к неравновесным концентрациям.
Предположим, что в полупроводнике концентрация носителей заряда возрастает в направлении оси
х
, т. е. в образце существует градиент кон- центрации свободных носителей заряда dx dn . Но если существует гради- ент концентрации, то возникает диффузионный поток носителей
n
I
, опре- деляемый 1-ым законом Фика. Его можно записать
,
n
n
dn
I
D
dx
= −
(8.32) где
n
D
— коэффициент диффузии электронов.
Аналогично диффузионный поток дырок
,
p
p
dp
I
D
dx
= −
(8.33) где
p
D
— коэффициент диффузии дырок.
Потоки электронов и дырок, как следует из уравнений (8.32) и (8.33), текут в сторону меньших концентраций носителей заряда. Диффузионным потоком носителей заряда соответствуют диффузионные токи электронов диф
n
j
и дырок диф
p
j
: диф
,
n
n
dn
j
qD
dx
=
(8.34) диф
p
p
dp
j
qD
dx
= −
(8.35)
В том случае, если n и
р
являются функциями координат (
х
,
у
, z), диффузионный ток в векторной форме имеет вид диф grad ,
n
n
j
qD
n
=
(8.36) диф grad .
p
p
j
qD
p
= −
(8.37)
Диффузионный ток, возникший из-за наличия градиента концентра- ции носителей заряда, приводит к пространственному разделению зарядов,

46
что вызывает появление статического электрического поля, которое созда- ет дрейфовые токи электронов и дырок. При термодинамическом равнове- сии в каждой точке полупроводника дрейфовый ток будет уравновешивать диффузионный ток, поэтому суммарный ток будет равен нулю.
Допустим, что неоднородный полупроводник находится во внешнем постоянном электрическом поле напряженностью
Е
. Под действием этого поля электроны и дырки приобретут направленное движение, в результате чего появятся электронные и дырочные токи проводимости. Если внешнее электрическое поле слабое и не изменяет характера движения носителей заряда, то дрейфовые составляющие плотности тока запишутся на основа- нии закона Ома в виде: др
,
n
n
j
qn
E
= μ
(8.38) др
p
p
j
qp
E
= μ
(8.39)
Полный ток будет складываться из диффузионного и дрейфового то- ков. Таким образом, плотность общего тока j в любой точке неоднородного полупроводника в любой момент времени будет определяться уравнением
(
)
n
p
n
p
n
p
dn
dp
j
j
j
q n
p
E
q D
D
dx
dx
⎛
⎞
= +
=
μ + μ
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
(8.40)
Необходимо отметить, что диффузионный ток существен только в полупроводниках. Это происходит потому, что в полупроводниках кон- центрации электронов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной суммарной концентрации зарядов. В металлах концентрация электронов практически постоянна.
В неоднородном полупроводнике при термодинамическом равнове- сии ток равен нулю, т. е.
0.
n
p
j
j
j
= +
= В этом случае токи проводимости уравновешивают диффузионные токи и на основании (8.40) для электронов можно записать:

47
n
CT
n
dn
n
E
D
dx
μ
= −
(8.41)
Поскольку в полупроводнике имеется статическое электрическое по- ле
CT
E
, то электроны, находящиеся в этом поле, будут обладать потенци- альной энергией
U
q
= − ϕ Поэтому при отсутствии вырождения концен- трация электронов в зоне проводимости будет удовлетворять соотноше- нию Больцмана вида
0
Б
Б
exp exp
,
c
F
c
E
U
E
q
n
N
n
k
Т
k
Т
⎛
⎞
⎛
⎞
+ −
ϕ
=
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(8.42) где
0
Б
exp
c
F
c
E
E
n
N
k
Т
⎛
⎞
−
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
— равновесная концентрация электронов;
ϕ — электростатический потенциал.
Учитывая, что
,
CT
E
d
dx
= ϕ
и подставляя значения n и dn dx в уравнение (8.42), получаем:
0 0
Б
Б
Б
exp exp
,
n
n
q
d
q d
q
n
D
n
k
Т
dx
k
Т
dx
k
Т
⎛
⎞
⎛
⎞
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−μ
= −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(8.43) откуда для электронов будем иметь:
Б
n
n
q
D
k Т
μ =
(8.44)
Аналогично для дырок
Б
p
p
q
D
k Т
μ
=
(8.45)
Уравнение, связывающее коэффициент диффузии носителей заряда, подчиняющихся статистике Максвелла, с их дрейфовой подвижностью в условиях термодинамического равновесия, носит название соотношения
Эйнштейна.

48
9 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
9.1 Содержание задания
Образец полупроводника, легированный примесью, имеет удельное сопротивление
ρ и линейные размеры a d l
× × и нагрет с одной стороны до
1
T
, а с другой стороны — до
2
T
Необходимо определить:
–
среднюю концентрацию носителей;
–
знак и разность потенциалов на концах образца;
–
диффузионную и дрейфовую составляющие тока;
–
коэффициент Холла;
–
коэффициент Пельтье.
9.2 Порядок выполнения задания
Пусть дан образец арсенида галлия (GaAs), легированного кремнием
(Si). Данный полупроводник имеет удельное сопротивление 1 Ом см
⋅
и линейные размеры 1
×1×10 мм и нагрет с одной стороны до 300 К, а с дру- гой стороны до 400 К.
Для арсенида галлия кремний является донорной примесью, следова- тельно, данный образец — полупроводник n-типа.
Среднюю концентрацию носителей заряда (
ср
n
) определим из элек- тропроводности полупроводника: ср
,
n
n
q
σ =
⋅ ⋅μ (9.1) где
σ — электропроводность полупроводника, (Ом м
⋅ )
–1
;
q
— заряд электрона,
19 1, 6 10
q
−
=
⋅
Кл;
n
μ — подвижность носителей заряда (в данном случае, электронов), м
2
/( В с
⋅ ).

49
Электропроводность полупроводника рассчитаем по формуле:
1
,
σ =
ρ
(9.2) где
ρ — удельное сопротивление полупроводника,
1
ρ = Ом см
⋅
Температурная зависимость подвижности электронов (
μ) изменяется по закону
3 2 3 2 1
1 1
3 2 3 2 2
2 2
1
,
1
,
n
n
T
T
T
T
−
−
⎧
= α
+ β
⎪μ
⎪
⎨
⎪
= α
+ β
⎪μ
⎩
(9.3) где
1
n
μ — подвижность электронов при
1
T ;
2
n
μ — подвижность электронов при
2
T ;
,
α β — некоторые параметры полупроводника.
Слагаемое
3 2
T
−
α
соответствует области низких температур, где преобладает рассеяние носителей заряда на ионах примеси. Слагаемое
3 2
T
β
соответствует области высоких температур, где преобладает рассея- ние носителей заряда тепловых колебаний решетки (фононах).
Для заданного диапазона температур (300 400
÷
К) можно прене- бречь рассеянием носителей заряда на ионах примеси и учитывать только второе слагаемое в формуле (9.3) —
3 2
T
β
. Тогда выражение (9.3) можно записать следующим образом:
3 2 1
1 3 2 2
2 1
,
1
;
n
n
T
T
⎧
= β
⎪μ
⎪
⎨
⎪
= β
⎪μ
⎩
3 2 2
1 1
2
n
n
T
T
⎛
⎞
μ
= ⎜ ⎟
μ
⎝
⎠

50
Таким образом, подвижность электронов (
2
μ ) при
2
T
3 2 1
2 1
2
,
n
n
T
T
⎛
⎞
μ = μ ⎜ ⎟
⎝
⎠
(9.4) где
1
n
μ — подвижность электронов при
1 300
T
=
К, для GaAs
1 0,85
n
μ =
м
2
/( В с
⋅ ).
Среднюю концентрацию и подвижность носителей заряда найдем при средней температуре (
ср
T ):
2 1
ср
2
T
T
T
+
=
В данном случае ср
T будет равна: ср
400 300 350 2
T
+
=
=
К.
Подвижность носителей заряда (
ср
μ ) при ср
T равна:
3 2 3 2 2
1
ср
1
ср
300
м
0,85 0, 68 350
В с
n
T
T
⎛
⎞
⎛
⎞
μ = μ
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
⎝
⎠
Из выражения (9.1) запишем выражение для ср
n с учетом (9.2): ср ср
1
,
n
q
=
ρ⋅μ ⋅
(9.5)
20
ср
2 19 1
9, 2 10 10 0, 68 1, 6 10
n
−
−
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
м
–3
Разность потенциалов на концах образца полупроводника ( U
Δ ) можно определить по формуле:
,
U
T
Δ = αΔ
(
)
2 1
,
U
T
T
Δ = α
−
(9.6) где
α — дифференциальная термо-ЭДС, В/К.
Дифференциальная термо-ЭДС (
n
α ) для полупроводника n-типа определяется выражением:

51 2
ln
,
c
B
n
N
k
r
q
n
⎛
⎞
α = −
+ +
⎜
⎟
⎝
⎠
(9.7) где
B
k — постоянная Больцмана,
23 1, 38 10
B
k
−
=
⋅
Дж/К;
r — фактор рассеяния, определяемый механизмом рассеяния носи- телей заряда, в диапазоне температур ( 300 400
÷
) К рассеяние происходит на акустических колебания кристаллической решетки, поэтому
0
r
= ;
c
N — эффективная плотность состояний в зоне проводимости, м
–3
Эффективная плотность состояний (
c
N ) рассчитывается по формуле:
3 2
*
2 2
2
,
n B
c
m k T
N
h
⎛
⎞
π
= ⎜
⎟
⎝
⎠
(9.8) где
*
n
m — эффективная масса электронов, для GaAs
*
0 0, 068
;
n
m
m
=
0
m — масса электрона в состоянии покоя,
31 0
9,1 10
m
−
=
⋅
кг;
h — постоянная Планка,
34 6, 62 10
h
−
=
⋅
Дж с
⋅ .
По формуле (9.8) рассчитаем
c
N при ср
T :
3
*
2
ср
2 2
2
n B
c
m k T
N
h
⎛
⎞
π
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
3 2
31 23 23 2
34 2 3,14 0, 068 9,1 10 1, 38 10 350 2
5, 6 10 6, 62 10
−
−
−
⎛
⎞
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎜
⎟
=
=
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
м
–3
По формуле (9.7) рассчитаем
n
α :
23 23 4
19 20 1,38 10 5, 6 10
В
2 0 ln
7, 26 10
К
1, 6 10 9, 2 10
n
−
−
−
⎛
⎞
⋅
⋅
α = −
+ +
= −
⋅
⎜
⎟
⋅
⋅
⎝
⎠
По формуле (9.6) рассчитаем U
Δ :
(
)
4 7, 26 10 400 300 0, 073
U
−
Δ = −
⋅
⋅
−
= −
В.

52
Диффузионная плотность тока (
диф
j
) для полупроводника n-типа определяется выражением:
( )
диф grad
,
n
j
q D
n
= ⋅
⋅
(9.9) где
n
D
— коэффициент диффузии электронов, м
2
/с;
( )
grad n — градиент концентрации электронов, м
–4
Коэффициент диффузии (
n
D
) определяется из соотношения Эйн- штейна:
B
n
n
k T
D
q
= μ
(9.10)
По формуле (9.10) рассчитаем
n
D
при ср
T
:
23 2
19 1, 38 10 350
м
0, 68 0, 021 с
1, 6 10
n
D
−
−
⋅
⋅
=
=
⋅
Градиент концентрации (
( )
grad n ) определяется по формуле:
( )
( )
( )
2 2
1 1
grad
,
n T
n T
n
l
−
=
(9.11) где
( )
2 2
n T
— концентрация электронов при
2
T
;
( )
1 1
n T
— концентрация электронов при
1
T
;
l
— длина образца полупроводника, м.
По формуле (9.4) рассчитаем
2
μ при
2
T
:
3 2 3 2 2
1 2
1 2
300
м
0,85 0,55 400
В с
n
n
T
T
⎛
⎞
⎛
⎞
μ = μ
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
⎝
⎠
По формуле (9.5) рассчитаем
1
n
и
2
n
при
1
T
и
2
T
:
20 3
1 2
19 1
7,35 10 м
;
10 0,85 1, 6 10
n
−
−
−
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
21 3
2 2
19 1
1,14 10 м
10 0, 55 1, 6 10
n
−
−
−
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅

53
По формуле
(9.11) рассчитаем
( )
grad n :
( )
21 20 22 4
2 1,14 10 7, 35 10
grad
4, 05 10 м .
10
n
−
−
⋅
−
⋅
=
=
⋅
По формуле (9.9) рассчитаем диф
j
:
19 22 2
диф
2
А
1, 6 10 0, 021 4, 05 10 1, 36 10 м
j
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
Диффузионный ток
(
диф
I
) определяется как диф диф
,
I
j
S
=
⋅ (9.12) где
S
— площадь образца полупроводника
,
6 2
10 м
S
a d
−
= ⋅ =
По формуле
(9.12) рассчитаем диф
I
:
2 6
4
диф
1, 36 10 10 1, 36 10
А
I
−
−
=
⋅
⋅
=
⋅
Дрейфовая плотность тока
(
др
j
) полупроводника
n - типа определя
- ется выражением
: др
,
n
j
q n
= ⋅ ⋅μ ⋅ E (9.13)
где
E — напряженность электрического поля
,
В м
Напряженность электрического поля
( E ) определяется по формуле
:
2 0, 073
В
7, 3 м
10
U
l
−
Δ
−
=
=
= −
E=
По формуле
(9.13) рассчитаем др
j
при ср
T
:
19 20 2
др
2
А
1, 6 10 9, 2 10 0, 68 7, 3 7, 3 10 м
j
−
= −
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
⋅
По формуле
(9.12) рассчитаем др
I
:
2 6
4
др
7, 3 10 10 7, 3 10
А
I
−
−
= −
⋅
⋅
= −
⋅
Коэффициент
Холла
(
Н
R
) для полупроводника
n- типа рассчитывает
- ся по формуле
:
,
Н
Н
r
R
q n
= −
⋅
(9.14)