Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf

I U& I ~

f sin (б - ф) I ѴЕ\ + Gl cos2 (a -

ф),

(3.36)

для

волн Рэлея

UHT

I ~ I Ukr

I ~

l(Et

+ G2"cos (a - Ф ) cos (ô - Ф ) ) 2

+

+

(Е3 cos (ô — ф) + G3 cos (a -

ф))2Г<Ч

(3.37)

ного

разрыва (у = 90°, б = а +

90°) Е1 = Е2 = Е3

= 0 и

I Ukv

I ~ Gx I cos (a —ф)|,

I #/к I ~ I #*r Ы

cos (a — ф) I | / " ^ 8 і и 2 ( а - ф )

+

G2,

для

горизонтального разрыва (у

= 0°, ß =

90°) G1

= Е2

= G2 =

= G3 = 0

I f / f c , ! - ! ^

S i l l (fi - ф ) | ,

I ^/tz I ~

!

I ~

I # 3 COS

(б — ф) |.

§ 6.

Зависимость амплитуды смещения

от

глубины приемника

и источника

Из формулы

(1.30) вытекает, что

зависимость спектральной

амплитуды I Uhq

\ смещения в поверхностной волне от глубины

страции

волны

Лява

I f/fccp I ~ I Ѵ[я)

(z) |;

при

регистрации

волны

Рэлея I Ukz

| ~ \

(z) | — для

вертикального прибора,

I Ukr

I ~

I V-p (z) I — для

горизонтального

прибора.

Таким об­

как изменяются с глубиной собственные функции

Ѵкі).

Ниже мы

рассмотрим лишь

важнейшие

особенности поведения этих функ­

ций.

Волны

Лява.

Свойства функций

Vf

целиком

определяются

оператором (1.14), (1.15).

1.

Из граничного условия (1.15) вытекает, что при z =

0 всегда

имеется локальный экстремум

Vf\

2.

При

z >

Z

V[%)

= Vf

(Z) exp [ - ß k

(Z +

0)(z -

Z)],

и

поскольку

ß* (*) =

j / V k L -

-щ^-,

h (Z + 0) >

0,

TO f

f (*)

убывает с

глубиной.

Vf

(z) может начинать­

3.

Фактическое

монотонное

убывание

ся и при z < Z, а именно при z ^> zk,

где zk

— максимальная из

точек

z,

для

которых

справедливо

неравенство

b (z

— 0)

<

проникания волны Лява. Убывание Vf(z)

при zk

< z < Z проис­

ходит

не медленнее, чем по линейному закону;

при

этом,

если

b (z)

монотонно

растет,

убывание

происходит не медленнее, чем

у функции

z

F f

(z,) е х р [ -

J

ß k ( z ) d z ] .

4. Для данного номера к zh

не может

возрастать

с ростом о>

(это связано с монотонностью убывания ѵкь с ростом со).

Для данной

частоты to zh+1

;> zh, иными словами, глубина

проникания (к +

1)-й гармоники не может быть меньше глубины

проникания к-й. гармоники.

v = vk

(toft) =vh+1

Для заданной фазовой скорости

(a>fe+1)

= . . .

справедливо . . . cûf t + 2 ^> cûf t + 1 ^> ©f t

. . .,

и поскольку при

этом

Рис.

6. Глубина проникания поверхностных волн Л я в а

Рис. 7.

Поведение собственных функ­

а — определение глубины проникания для заданных h и со;

ций

для фиксированного значения

фазовой скорости и различных к

б —

поведение собственных функций Ѵк для разных ft и со

ßft+2 (z) >

р \ + 1 (z) >

ßf t

(z); zf t + 2

= zf t + 1

= zf e , ослабление собствен­

ной функции с глубиной при z ^> zh

происходит тем быстрее, чем

больше к (рис. 7).

z < zk

Ѵ{Кі}

к — 1 раз

5.

В интервале 0 <

колеблется,

меняя

знак.

Положение

экстремальных

и

нулевых

точек Ѵ{к

(z) за­

висит

от

вида функции

b (z) и частоты

со.

В случае шарового слоя при не слишком малых со поведение

Vf(R)

качественно

такое же, как в плоском случае (важна

только

монотонность b(R)/R).

Критический радиус Rk

(аналог zk)

опре­

b(R+0)

,ѵкТ

Л(П-Ъ)

„

со весь шаро-

венства —і—^

<Г —гг- <С ——=

. При очень малых

вой слой

захватывается колебательным процессом, и область экпо-

ненциально убывающих Vf

отсутствует.

Волны Рэлея. Поведение функций

Vf

и Vf

целиком

опреде­

ляется оператором (1.16), (1.17).

1.

При

z=

О согласно

граничным

условиям

(1.17):

s

i

g l l ( ^ L ) = _ s i g „ n u < 0 ) ,

^ » ( 0 ) ^ ( 4 ^ ) .

Vf

и

Vf

известны с точностью до одного и того же не

завися­

щего

от

z

коэффициента;

поэтому

мы

примем,

что

Vf

(0) ^> 0.

Тогда

возможны

две

знаковые

комбинации:

Vf

(0) ^> 0,

(dV[2)(0)/dz)<

0,

(dVf(0)/dz)

>

0 или

Vf(0)<0,(dVf

(0)/dz)<

0,

(dVf(0)/dz)<

0; следовательно, во всех случаях одна из

функций

возрастает,

а другая убывает по модулю при локальном удалении

от

свободной

поверхности.

2.

При z ^> Z

X, р и р — константы и согласно (1.16)

Vf

(z) =

с {exp [ -

у, (z -

Z)\

+

с, exp

[ - ß, (z -

Z)]},

(З.Я8)

П 2

)

(z) =

-

C

( ^ -

exp

[ -

T f c (z

- Z)] +

^ е х р

[ -

ßfe (z -

Z)]l ,

где

! (Z + 0) '

™ ~ Г

ôa(Z + 0) •

Так

как

yk

^> ßfe ^> 0'

очевидно,

что,

начиная

с

некоторого

z > Z ,

Vf

- > 0,

F®

0

с ростом

z. При

этом

lim Vf/Vf

=

Z-*oo

=

— г-^-

0. При

некоторых " значениях cx

Vf

и

Vf

могут

при

1

t

r

2 ,

z

VJp, V*jp для

.

z

Рис.

8.

Поведение

собственных

функций

заданных со

Vf

(в точке z

>

Z), обязательно

изменяется

знак

(в точке

z"

>

z').

точка zk,

3.

Существует

определяемая тем

же условием, что

и для

Vf, ниже

которой при условии монотонного

возрастания

a

(z),

Ь (z) приближенно выполняются соотношения:

4. В интервале

0 <

z <

zkVkl\

Vf* осциллируют.

При

этом

в большинстве рассмотренных случаев общее число нулей

Vf

of

равно или на

единицу

больше, чем число

нулей Vf

of

• Номер

гармоники к,

как правило,

связан

с числом нулей функций

Vf,

Vf соотношением

к

=

Ent[(ai^ +

af)/2],

однако следует

пом­

нить, что это свойство

строго не доказано;

более того, в

ряде мо­

Типичное поведение Vf

(z), Vf

(z)

показано на рис. 8.

Зависимость

амплитуды

смещения

от

глубины

источника.

В случае, когда

в очаге действует

точечный

источник

— простая