Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf

гоночная матрица Ф (z) вводится как

где Q (z) играет ту же роль, что и в волнах Лява:

Здесь T (z) определено (2.28'). Окончательно имеем

Можно показать, что T (z) — самосопряженная, а Ф (z) — уни­ тарная матрицы. Подставляя (2.28), (2.31) в (2.25), получаем уравнение для Ф (z):

матрица Ф удовлетворяет уравнению (2.32) и граничным условиям (2.33), (2.34), являются собственными значениями задачи (2.26) — (2.28) и обратно. При решении прогоночного уравнения (2.32) используется унитарность матрицы Ф: ее собственные числа имеют

б) вычисляются Ф (со2, 1) и фг (со2, 1), ф2 (со2, 1); в) уравнение (2.32) численно интегрируется разностным мето­

г) по фх (со2, 0) или ф2 (со2, 0) определяется Wk (со2);

д) эта процедура повторяется с другими со2 (определяемыми алгоритмом поиска корня) до тех пор, пока корень co2 R , при ко­ тором Wh (со2) = 0, не будет найден.

37

Интегрирование уравнения (2.32) можно начинать не с точки z = 1, а с более высокой точки (выбирая ее по тому же алгоритму, что и для волн Лява). Эта точка zH будет лежать в интервале

«п < «н<1» где zn =max (z'n), a z„ удовлетворяют условиям:

Далее предполагается, что при z > zH Я. (z) = л (zH + 0), ц (z) = = р, (zH + 0), р (z) = p(zH + 0). Когда собственное значение ш^н (і)

отыскивается собственная вектор-функция w. За описанием алго­ ритма вычисления собственной функции мы отсылаем к [63]. От­ метим только, что в силу присутствия в решении двух линейно

Волны Рэлея в неоднородном шаре. Методика расчета волн Рэлея в неоднородном шаре, близкая к описанной в предыдущем разделе, дана в Г94]. Наиболее важные новые элементы: снятие ограничения р (R) ^> 0, что позволяет учесть эффект жидкого ядра Земли (в разрез включается зона р (R) = 0 , R 1 < R <. R2)

и изменение граничного условия: теперь вместо условия на бес­

существенны, и мы не будем поэтому останавливаться на технике решения.

Программы для расчета Рэлея. Описанные алгоритмы были ре­ ализованы в две программы, широко используемые в работе. Программа [63] на языке М-20 — БЭСМ-4, рассчитывает волны Рэлея в полупространстве, программа [94] на языке АЛГОЛ-60 — волны Рэлея в твердо-жидком шаре. Как и для волн Лява, интер­ поляция скоростей и плотностей в разрезе принята линейной. Для заданного набора номеров к, чисел | или значков п, глубин источ­ ника hs и Hs рассчитываются фазовые и групповые скорости, про­ изводные фазовой скорости по параметрам разреза (см. следую­ щие параграфы), спектральные амплитуды UKZ (UHR) для сосре­ доточенной на глубине hs (Hs) вертикальной и горизонтальной сил и их производные по глубине в этих точках, а также отношение компонент смещений свободной поверхности.

38

скоростей, а также частных производных фазовой скорости по параметрам разреза. Для вычисления всех перечисленных вели­ чин по Ѵ[г) ниже будут получены интегральные формулы; их вывод базируется на свойствах операторов (1.14) — (1.17), (1.49)— (1.54) и методах теории возмущений [102, 104, 164].

Интегральные формулы для Пользуясь самосопряженно­ стью операторов (1.14) — (1.17), можно получить формулы, вы­ ражающие tUtfQ через интегралы от собственных функций Ѵ[г).

по z от 0 до оо с учетом граничных условий и сложив, получим:

Ѵ[3) и проинтегрировав по z от 0 до оо с учетом граничных условий, будем иметь

39

Здесь

О

оо

(2.40)

Аналогичными методами можно получить формулы, выражаю-' щие CÙ*Q через интегралы от собственных функций в сферическом случае:

<oî*dS = (GVS + ОШ) + 2N (ОШ + Gi% + G$ + 4 1 (2.41 )

(2.42)

Здесь N = Yv (v + 1), a GKQ — следующие интегралы:

no