Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.06.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 2
MD |
l»p[V%\*dR, |
|
(2.44) |
|
о |
|
|
eft - |
$ П> [ ( Ä w " ) ' - 2 П ? |
« - ( |
dÄ. |
Формулы (2.37), (2.39), (2.41), (2.42) связывают средние кинети ческую и потенциальные энергии данного колебания за временной цикл и являются выражением закона сохранения энергии.
Интегральные выражения для фазовой и групповой скорости. Формулы (2.37), (2.39), (2.41), (2.42) можно использовать для вы
числения фазовой скорости. Поскольку в плоском случае |
V^Q = |
|||||
= G>*Q/È, а в |
сферическом случае vKQ — <ÙKQR0/(V + |
1 / 2 ) , |
полу |
|||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
G |
+ |
G% + f ( G $ + G $ ) + |
(G<f> + C $ ) |
|
(2.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
G<2) |
|
|
(2.46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
's |
|
VkS = RQ |
|
|
|
# 2 |
|
|
|
|
|
|
|
,(2.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵкт = R0 |
G ( 1 ) |
4 - |
—— G<2) |
|
|
|
|
|
G<°> |
|
|
(2.48) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Для получения интегральных выражений групповой скорости
продифференцируем уравнения Іх |
(Vj?) = 0 'и 12 |
($"£?) = |
0 по |
|||
5, умножим первое |
из них на Ѵ^, |
а второе — на Vf\ |
проинтег |
|||
рируем по z в пределах |
(0, оо) и сложим. Используя |
свойства |
||||
dV*[l) (g, z)!d\ и самосопряженность |
оператора L, находим |
|
||||
Ска |
= |
|
|
|
|
(2.49) |
Поступая аналогичным |
образом |
с уравнением |
Z3 |
(Vf*) |
= О, |
|
получаем интегральное выражение для групповой скорости волн Лява:
CkL = |
(2.50) |
Аналогичные формулы нетрудно найти и для сферического
41
случая:
с™ = А ш H + G«s + " Ж ^ + » < 2 - 5 1 >
C " = |
• |
|
(2-52) |
|
Формулы (2.45) — (2.52) определяют vkQ И CkQ как функции |
вол |
|||
нового числа £ или сферического значка |
ѵ. Для определения |
vkQt^ |
||
CkQ как функций частоты со мы должны |
подставлять в (2.45) — |
|||
(2.52) вместо | и ѵ величины |F C Q (со), |
V/CQ (СО), |
являющиеся, |
как |
|
уже отмечалось, корнями уравнений |
со2 |
= co2Q |
(£), со2 = co2Q (ѵ). |
|
Возмущения ft kQ, вызванные возмущениями разреза. Рассмот рим, как влияют на akQ малые возмущения скоростей упругих воли и плотности. Обозначим возмущение какого-либо из этих параметров ôx (z) (где % = а, Ъ или р), a вызванное им возмущение собственной частоты при данном £ соответственно ô x азкд (£). Из формул (2.37), (2.39) следует, что с точностью до малых второго порядка:
»*н = ... |
^п і |
№ (G& + С и ) + 2Sôx(Gfö |
+ с $ ) + |
|
|||
|
|
|
+ (С й + |
G[% - (DÎB ôx6?À], |
(2.53) |
||
|
- |
Т - Т 7 5 Г |
[E^SxGfö + |
ôxGiS - |
|
cokôxGffi]. |
(2.54) |
|
|
|
|
|
с» |
|
|
Интегралы |
G(K1Q В плоском случае имеют вид ^ |
(Z)T$Q (z)dz, где |
|||||
/ Q ( Z ) равно р (z), |
|
|
|
о |
|
|
|
a2(z)p (z), |
ft2(z)p(z), |
ai|)j^ — различные |
элементы |
||||
квадратичной формы от собственных функций Ѵ[г) и их производ
ных по z. Поэтому их вариации |
ô x Gkg можно представить в виде |
|
сумм: |
|
|
охСЙ = о<х%й + б ( А |
|
|
WGk% = $ (охЛ1^) № |
dz = J ( т М Ь ) ÔX dz, |
(2.55) |
О |
о |
|
ос
ô x 2 ) G ( ^ = J / A ô x ^ d z ,
о
где функции Y X Q , зависящие только от параметров разреза, опре делены табл. 4.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
X |
|
Q |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
я |
|
R |
|
0 |
0 |
|
2<zp |
|
|
0 |
2ap |
|
0 |
|
2ap |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
— |
— |
|
— |
|
— |
|
Ь |
|
R |
|
0 |
2bp |
|
0 |
|
2bp |
0 |
|
2bp |
0 |
||
|
L |
|
0 |
2bp |
|
2bp |
|
|
— |
— |
|
— |
— |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
R |
|
1 |
b* |
|
a* |
|
|
b* |
a» |
|
|
|
a8 |
Р |
|
L |
|
1 |
6» |
|
b» |
|
|
— |
— |
|
— |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m ' |
( б й |
+ |
СЙ) + |
2£ô1?> (G$ |
+ |
fîfâ) |
+ |
6f> <G$ |
+ |
Gft) |
- |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
u>*RÔMfc = |
0. |
|
(2.56) |
||
Для этого нужно умножить уравнение |
Z, {Vp) |
= |
0 на ô x |
Vkl\ |
урав |
||||||||||
нение l% |
(Ѵкг)) |
— 0 |
на ô x F( f c 2 ) , проинтегрировать |
по z в интервале |
|||||||||||
(0, оо) и сложить друг с другом. При |
этом следует учесть, что ва |
||||||||||||||
риации ô x |
Ѵкг) |
подчиняются |
тем же |
граничным |
условиям, |
что и |
|||||||||
Аналогично, умножением |
13 (Ѵ[3)) |
= 0 на ô x |
Vks) |
и |
интегриро |
||||||||||
ванием по z в тех же пределах можно получить |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ê * ô № + ô |
M |
- |
c o L ô M . = 0. |
|
|
(2.57) |
|||||
Из |
этого |
следует, |
что в формулах |
(2.53), (2.54) |
можно |
заменить |
|||||||||
вариации ô x GkQ на |
G^Q, |
Т. е. вместо ô x G% в них будут входить |
|||||||||||||
интегралы |
типа |
^ (ÏXQ^/CQ) ÔX dz. |
|
|
Для |
|
непосредственной |
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оценки возмущений собственной частоты колебания с заданным волновым числом £ удобнее пользоваться частными производными
дсощ/дх (z', |
I ) ; мы определим |
их |
как |
значения |
6Х CÛ^Q, соответ |
|||||
ствующие |
возмущению |
параметра |
% |
вида |
дельта-функции |
|||||
eô (z — z') (здесь |
е, — единичный |
множитель |
размерности %/z). |
|||||||
Формулы для дсоед/дх (z\ |
£) получим, заменив в (2.53), (2.54) |
|||||||||
вариации |
GkQ значениями |
множителей |
(YXQ T|$Q) |
в подынтег |
||||||
ральных выражениях для |
6^GklQ, |
которые |
могут быть вычислены |
|||||||
одновременно с |
расчетом |
|
Зная d(ùkQ/dx |
(z) |
для |
данного | ( |
||||
A3
нетрудно найти возмущение ôx соk Q для произвольного, но малого
ÖX (2):
(2.58')
Разбивая отрезок (О, Z) на ряд интервалов (Zj, zi + 1 ), определяемых характером разреза, и считая возмущения 6%j в пределах /-го интервала постоянными (или подчиняющимися заданным зако нам), можно заменить функции da^Q (z)/d% дискретными наборами чисел diù^q/dlj, характеризующих возмущение собственной часто ты при заданном виде возмущения ÔXj в каждом интервале (слое). Эти числа называют обычно частными производными соб ственной частоты по параметрам слоев Xj. Очевидно, что
dû)kQ |
dû)kQ à%j(z)dz.' |
(2.58) |
Аналогичные формулы для сферического случая, описывающие эффект возмущения собственной частоты сфероидальных и кру тильных колебаний негравитирующего шара при возмущениях скорости и плотности, получим, заменив в (2.53), (2.54) индексы R и L на S я Т, £ на Л7, интегралы G%Q ИЗ (2.38), (2.40) на соответ ствующие интегралы из (2.43), (2.44). Вывод формул проводится тем же способом, что и для плоского случая.
Частные производные фазовой скорости. Пользуясь формула ми (2.53). (2.54), можно получить выражения для возмущения фа зовой скорости на заданной частоте со при возмущении парамет ров среды % [а, b или р). В самом деле,
VkQ (С») = |
|
0) |
(2.59) |
|
- £из H ' |
||||
|
||||
ày.VkQ (со) г = |
— |
WÔAQ (С°) |
S|Q (со) CKQ (со) |
|
|
|
ZkQ И |
||
Отсюда, пользуясь (2.53), (2.54), находим следующие формулы
дѵ kQ |
( о, z): |
|
|
|
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
дѵkR |
|
Vf |
|
dVf |
|
dVf |
|
|
|
|
dz |
+ •'JfR |
Vf |
||
db |
^kRlkR |
|
|
dz |
|||
dv kR |
ар |
Vf |
|
dvf |
- |
|
|
да |
^kR1kR |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dvkR |
dv kR |
|
dv kR |
|
vkR |
l(iY)2 |
• (iT)2 i, (2.<i)) |
dp |
2p db |
2p |
da |
2 C /cR^/cR |
|||
44
