Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf

Скачать файл (7,80Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Чтобы лучше уяснить идею операционного исчисления, вспом ним .известный математический прием — логарифмирование чи сел, значительно облегчающее умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня многозначных чисел. Действитель но, находя по таблицам (или с помощью логарифмической ли нейки) логарифмы чисел, можно сложные операции над числами заменить более простыми операциями над их логарифмами (де ление чисел сводится к вычитанию, возведение в степень — к умножению и т. д.) и по найденному значению логарифма, ис пользуя таблицы антилогарифмов, найти искомое число.

Сущность операционного исчисления, часто называемого пре образованием Лапласа, заключается в следующем. Любая функ

ция f(t) действительной переменной	t может быть	однозначно
изображена (поставлена в соответствие) функцией		F{s) комп
лексной переменной s = a + /f3, где а	и [3 — абсцисса	и ордината
комплексного числа соответственно,	а / = ) — 1. При этом функ

ция f(t) называется о р и г и на д о м, а функция F ( s ) —его и з о б р а ж е н и е м (в примере с логарифмированием чисел, рассмот ренным выше, за оригинал можно считать исходное число, а за изображение — логарифмы этого числа).

Изображение F (s) при так называемом прямом преобразова нии Лапласа определяется выражением

со
F( s) = \| / ( 0 е - ^	(3.7)
о

используя которое можно показать ряд его замечательных свойств. Например, интегрированию оригинала f(t) соответству ет операция деления изображения F(s) на комплексную пере менную s, а операции дифференцирования — операция умноже

ния F(s)	на s. Действительно, если f ( t ) = B, где В — постоянное
число, то,	беря интеграл по формуле (3.7), имеем

F{s) = [B<Tsid t = — .

о5

Часто такие соотношения между двумя функциями изобра жаются с помощью знака (символа) соответствия Д. Поэтому

последнее выражение можно записать так:

f { t ) = B = ^ - = F { s ) .	(3.8)
Можно показать, что в общем случае интеграл	оригинала
f(t) имеет следующее изображение по Лапласу:
=	(3.9)
о

При этом должно соблюдаться соответствие f(t)==F(s) при нулевых начальных условиях (t = 0, /(/)=/(0) = 0). Если сохра нить те же начальные условия, то первая производная функции

времени	= f	{t) будет иметь изображение	в виде функции
	dt
комплексиого перемейиого
	оо	/ ' (t) e~st dt ==sF(s) или f ' { t ) =	sF(s).
	Г	/ ' (t) e~st dt ==sF(s) или f ' { t ) =	sF(s).
	S

Аналогично можно показать, что при нулевых начальных зна чениях функции времени и всех ее производных п-я производная функции f(t) имеет следующее изображение:

d“f (f) = f ' n(/) = s nF (s).	(3. 10)
dtn

Эти свойства позволяют дифференциальное уравнение отно сительно оригинала f(t) при известных начальных условиях пре образовывать по Лапласу в алгебраическое относительно изоб ражения F (s). Решением последнего уравнения находится изоб ражение решения исходного дифференциального уравнения.

Для определения искомой функции f(t) проводят обратное преобразование Лапласа, устанавливающее соответствие между изображением F(s) и оригиналом f (t) с помощью определенно го соотношения или таблиц. Такие таблицы называются табли-, цами соответствия «оригинал—изображение». Они широко используются не только при обратном, но и при прямом преобра зовании Лапласа, что позволяет избежать непосредственных вы числений. Некоторые оригиналы и их изображения приведены в табл. 3.2.

Рассмотрим прямое преобразование Лапласа на примере уравнения системы первого порядка при нулевых начальных ус ловиях.

В дифференциальной форме — это уравнение (1.10):

dxв

Тг dt ‘ -А)ых ^чАвх-

Пусть для оригиналов функций найдены их изображения:

А ы х ( 0 — -^вых (s ) > 3 .Хвх(0 ~—X BX(s).

Используя выражение (3.10), имеем:

d-F^L = sX BX(s).

ах

Заменяя в исходном дифференциальном уравнении оригина лы их изображениями (с учетом изображения производной), мо-

			Т а б л и ц а 3 .2
	Н екоторы е оригиналы	и их изображ ения
Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
1 (0	1	tne~~at		71 I
	s		(s + a )"+1

О—at	I	t sin оit		CO
	s + a		(S +	to)2 + 0)2

sin bit	(0	t COS bit	S2 — 0)2
	«2 +		(S2 + o)2)2

COS bit	5	sin bit		CO
	$2 -J- o)2	t	arctg —
				5
tn	n I	1 (ta)	—	e - as
	sn+ l
			s
t e ~ at	1	ta		i
				s n+1
	(s + a )-	n !

жем получить алгебраическое уравнение, являющееся				лапласо-
вым изображением исходного уравнения:
или	ТisXBbIX(s) + XBBjX(s) — k\XBX(s)
	( 7 > + 1 ) * вых ( s ) = k LXBX(s).
				( 3 . 1 1 )

Подобным методом можно получить алгебраическое уравнение относительно изображения функции времени для системы высше го порядка с дифференциальным уравнением (3.6):

fan8" ~Гan-lsn 1-f" •••		~ Ьа 15 " Ь а о )^ 8 ы х (5 ) =
	= (bmsm+ bm- 1sm- i+	■. • + b lS + b0) X M			(3. 12)
где XBBIX(s)	и XBX( s ) — изображения оригиналов				функций
•^вых ( t ) n x BX(t).
3.3.	СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ
	СИСТЕМ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Статической характеристикой называется связь между значе
ниями управляемой величины		и входным	воздействием (их
изображениями в дифференциальной или интегральной					форме)
в установившемся состоянии, т.		е. функция	вида	xBUX= f(x BX).
В автоматике статические характеристики обычно				выражаются

тремя способами: аналитическим, графическим и табличным.

Статическая характеристика в аналитической форме легко получается из дифференциального уравнения движения системы

или ее элемента. Для этого все производные в системе						необхо
димо положить равными нулю. В результате				получается алгеб
раическое уравнение.							(3.6)
Так, общее уравнение движения системы п-го порядка
при подстановке производных, равных			нулю,	превращается				в
уравнение статики аоХвых= Ь0хвх. Аналогичным				образом		получе
ны и уравнения статики для установившихся				режимов		работы
ротора ТРД	(3.3) и его камеры сгорания (3.4).
Если уравнение движения дано в форме уравнения (3.12),								то
к уравнению статики можно перейти,			приняв	s тождественным
нулю.					статическая
В гл. I рассмотрена система нулевого порядка,
характеристика которой выражена		аналитическим			уравнением
(1.3) и графически — прямой (см. рис.			1.4).
Еще одним примером, раскрывающим сущность статических
характеристик, может служить чувствительный элемент						регуля
тора числа	оборотов двигателя	(см.	рис.	1.19,	1.18	и	рис.

1.17, ж) — центробежный тахометр.	Центробежная сила Рц, воз
никающая при вращении грузиков	чувствительного	элемента,
прямо пропорциональна квадрату	числа оборотов л,	т.	е. Рц=
= o p . В этом элементе входным воздействием является			число

оборотов п, а выходным ■— центробежная сила Рц. Значит, урав нение, связывающее эти воздействия в установившемся состоя нии, будет статической характеристикой элемента в аналитиче ской форме.

Для центробежного регулятора табличная форма записи ста тической характеристики может быть применена при экспери ментальном определении последней.. Действительно, задавая каждый раз определенное число оборотов /г, можно на натурном элементе определить центробежную силу Дц в установившемся состоянии и все значения п и Р ц свести в табл. 3.3.

Т а б л и ц а 3 .3

Форма стати ч еской хар актер и сти ки

№эксперимента