Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf

и по фазовой характеристике (рис. 3.4, б) находят соответствую­ щее значение фазы фз. С помощью луча ОВ строят угол фз, ведя отсчет от оси абсцисс по часовой стрелке (так как фг-< 0 ). На дуче ОВ в принятом масштабе откладывают величину амплиту­ ды Аз, значение которой определяется по амплитудной характе­ ристике (рис. 3.4, а). Получают точку 3. Повторяют эту опера­ цию для ряда частот (ищ сог, • . сою) и находят точки 1, 2 ,..., 10,...

Расстояние каждой точки от начала координат показывает величину амплитуды (в масштабе), а угол — фазу. Соединяя эти точки плавной кривой, получают амплитудно-фазовую частот­ ную характеристику (рис. 3.4, в).

В реальных системах амплитуда сигнала на входе редко со­ храняется постоянной, что затрудняет анализ системы. Поэтому иногда частотные характеристики выполняют по относительным изменениям параметров, например, по отношению амплитуды колебаний на выходе к амплитуде на входе от частоты для амп­ литудной частотной характеристики. В этом случае по отноше­ нию амплитуд можно судить о том, как система пропускает сиг­ налы различной частоты.

Частотные характеристики систем могут определяться и рас­ четным путем, если известна передаточная функция U7(s) систе­ мы или ее дифференциальное уравнение. Обычно для этой цели используют символический метод, основанный на изображении синусоидально изменяющихся функций времени показательными функциями с чисто мнимым аргументом.

При изучении математики было показано, что комплексное число, выраженное в тригонометрической форме, может быть пе­ реведено в показательную на основании выражения:

cos a t + j sin (L)t= ejat.

На этом свойстве и основано применение символического ме­ тода, позволяющего заменить сложные математические выклад­ ки, связанные с дифференцированием и интегрированием функ­ ций в тригонометрической форме, на те же операции, но с изображениями функций, представленных в показательной (ал­ гебраической) форме.

Пусть на линейную систему (элемент) первого порядка дейст­ вует входной синусоидальный сигнал с амплитудой, равной еди­ нице, т. е. хвх(0 = 1 -sin Выходной сигнал при этом будет иметь вид:

^ з ы х ( 0 = Л вы х51П (со^ + ф ).

Перевод входного и выходного сигналов из тригонометриче­ ской в показательную форму может быть осуществлен по сле­ дующим формулам соответствия:

xBX( l ) = sin vf= = eJu,/;

■*вых(*)=Аи« sin (^+ср) = Л,ыхе '(“' + *>.

69

В специальных курсах высшей математики доказывается, что при интегрировании функций в тригонометрической форме и их изображений в показательной форме соблюдаются следующие соответствия:

а при их дифференцировании:

Проводя в исходном дифференциальном уравнении первого порядка (1 .1 0 )

dt

замену синусоидальных функций и их производных соответствую­ щими изображениями с учетом выражения (3.23), имеем:

Сократим обе части последнего уравнения на е*01:

{ T J * + 1 ) Л выхе/9 - ^

и окончательно получим

Л

Т \ju> + 1 '

Последнее отношение представляет собой передаточную функ­ цию [см. (3.19)], в которой сделана подстановка s = j со. Ее обоз­ начают W(jсо) и называют частотной характеристикой (иногда W(jсо) называют комплексным коэффициентом передачи или комплексной частотной функцией).

Если входной сигнал имеет амплитуду ЛВх, то частотная ха­ рактеристика будет выражаться так:

Последнее соотношение можно представить в геометрическом изображении на плоскости (комплексное число в некоторой фор­ ме) подобно тому, как это делалось в примере на рис. 3.4, в. В результате получится амплитудно-фазовая частотная харак­ теристика.

По частотным характеристикам одновременно оценивают и статические и динамические свойства систем. При постоянном значении частоты они дают соотношения параметров в устано­

70

вившемся режиме. В то же время характеристика показывает со­ вокупность этих соотношений для различных частот, т. е. при различных скоростях изменения сигаала на входе (переходный процесс).

3.6.ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.6.1.Общие сведения о звеньях

Вначале настоящей главы было отмечено, что в технике на­ шло применение огромное количество автоматических систем, имеющих различную природу, принципы действия и конструктив­ ное оформление. Уравнения, описывающие свойства таких сис­ тем, обычно сложны и громоздки. Анализ системы значительно упрощается, если условно расчленить ее на элементарные зве­ нья, каждое из которых будет характеризо­

не отражаются явно динамические свойства элементов.

Поскольку одним из способов выражения динамических ха­ рактеристик являются дифференциальные уравнения, советский ученый А. В. Михайлов в 1938 г. предложил расчленить системы

тип звена не зависит от его конструктивного оформления и-фи- зической природы процессов, протекающих в нем.

Два любых элемента можно считать относящимися к одному звену, если их дифференциальные уравнения однотипны. Для доказательства этого положения сравним процессы, протекаю­ щие в механической и электрической системах первого порядка.

* В дальнейшем такой элемент будем называть просто звеном.

71

Электрической системой первого порядка будет, например, цепь, состоящая из активного сопротивления R и индуктивности L, включенных последовательно (рис. 3.5). За величину входно­ го сигнала цепи будем считать напряжение и, подводимое из се­ ти, а выходного — ток в цепи I.

По закону Кирхгофа

dt

Раскрывая в последнем выражении значения uR и uL, имеем

Вводя для каждой из рассмотренных выше систем постоян­ ную времени Ti и коэффициент усиления k u можно законы дви­ жения обеих систем выразить одним уравнением ( 1 .1 0 ):

где для механической системы хвх— Р, хвых = у, 7\=r|/S, k i= \ /S ;

для электрической — xBX = w, хвых = 1, Ti = L/R\ k^=\/R.

Таким образом, уравнения динамики механической и элект­ рической систем однотипны. При одинаковых начальных услови­ ях и одинаковых законах, описывающих входные воздействия на системы, выходные воздействия будут также одинаковы.

В автоматике ГТД нашли наибольшее распространение сле­ дующие типы звеньев: пропорциональное, апериодическое, коле­ бательное, интегрирующее и дифференцирующее.

Динамические свойства каждого звена имеют свои особенно­ сти. Поэтому переходные процессы в них зависят не только от начального соотношения между входным и выходным сигналами, но и от внутренних свойств самого звена. На рис. 3.6 показаны свойства различных типов идеальных динамических звеньев. При этом в первоначальный момент звенья находились в состо: янии покоя, а входные воздействия — мгновенные и скачкооб­ разные.

Рассмотрим простейшие типовые звенья.

3.6.2. Пропорциональное звено

Пропорциональным называется звено, в котором сигнал на выходе прямо пропорционален сигналу на входе, т. е. свойства звена описываются уравнением нулевого порядка

72

СО