Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

04 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА £гл. 2

Так как плотность в данном объеме пропорциональна числу молекул в этом объеме, то относительные средне­ квадратичные флуктуации плотности в рассмотренных объ­ емах равны соответственно тем же числам 1,929-10"10 и 0,1929.

З а д а ч а 51. Бесконечное пространство равномерно заполнено непрерывно распределенной светящейся мате­ рией, единица объема которой излучает г) единиц энергии в единичном телесном угле в единицу времени. В этом же пространств равномерно с естественными флуктуациями распределены темные облака с коэффициентом прозрач­ ности q (коэффициентом прозрачности облака называется отношение энергии вышедшего из блока излучения к энергии вошедшего излучения). Вероятность встретить темное облако на пути ds равна и ds. Определить распре­ деление поверхностной яркости X, наблюдаемое из про­

некоторое произвольное направление из точки наблюде­ ния О (рис. 9). Вероятность пронаблюдать в этом направ­ лении поверхностную яркость, не превышающую х, рав­ на F (х). Рассмотрим точку О' , отстоящую от точки О на

As

Рис. 9.

As в направлении наблюдения. Так как физические усло­ вия в точке О' совершенно такие же, как и в точке О, то вероятность пронаблюдать из точки О' в том же направ­ лении поверхностную ^яркость, не превосходящую х, также равна F (х). Наблюдения из точек О я О' не незави­ симы. Для того чтобы поверхностная яркость при наблю­ дении из точки О не превосходила х, необходимо, что­ бы произошло одно их двух следующих не совместных событий.

1) Наблюдаемая поверхностная яркость из точки О' не превосходит х — rjAs, а между точками О и О' нет тем­

умножения вероятность этого события равна

F (х — tjA s) (1 — xAs).

2) Наблюдаемая из точки О' поверхностная яркость не превосходит xfq, а между точками О жО' имеется тем­ ная туманность. Тогда на пути As поверхностная яркость ослабеет в q раз и при наблюдении из точки О не будет пре­ восходить х. Вероятность события 2) равна

г ( т ) * 4 *'

События 1) и 2) несовместны, вероятность, что про­ изойдет одно из них, равна сумме их вероятностей, и это равно вероятности того, что поверхностная яркость, наблюдаемая из точки О, не превзойдет х. Следователь­ но, можно написать уравнение

в ряд Тэйлора и пренебрегая членами второго и более вы­ сокого порядка малости относительно As (мы это уже де­ лали, пренебрегая увеличением излучения за счет светлой материи в вероятности события 2)), находим после элемен­ тарных упрощений уравнение для искомой функции F (х)

Решать это функционально-дифференциальное уравне­ ние сложно. Если продифференцировать его по х, то полу­ чим уравнение для плотности вероятностей / (х),

Г1/' (*) + X/ (х) - - |- / J-y-J == о,

которое решать также сложно. Покажем, что легко найти, используя это уравнение, соотношение между моментами функции распределения F (х). Помножим для этого каж­ дый член уравнения на х" dx и проинтегрируем по всем возможным поверхностным яркостям, т. е. от 0 до -j-oo.

Случайную величину, плотность вероятности которой есть нормальная функция, называют нормально распре­ деленной случайной величиной.

Если плотность вероятности X имеет вид (2.84), а слу­ чайная величина Z есть

Таким образом, плотность вероятности Z также есть нор­ мальная функция со стандартом, равным аа, и средним значением Z = аХ".