Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 3
§ 31] |
ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА |
111 |
Обозначив
(2.128)
напишем (2.123) в виде
где ср (х) — нормальная функция.
Поскольку в интервале Iт, т + 1) имеется только одно целое число —т, то можно сказать, что рп (т) есть ве роятность того, что tn попадает в промежуток [т, т + 1). Из (2.122) следует, что изменению т на единицу соответ ствует изменение хт на
|
|
|
|
|
(2.130) |
Поэтому вероятность попадания m в интервал |
[m, т -J- 1) |
||||
равна |
вероятности |
попадания |
хт в |
промежуток |
|
1хт, хт + |
Ах): |
|
|
|
|
|
|
Р (хт < хт < |
хт + Дх) = |
ф (хт ) Дх. (2.131) |
|
Когда |
п |
оо, Дх-> 0, |
и равенство |
(2.131) |
показывает, |
что нормальная функция ф (х) является плотностью ве роятности случайной переменной хт.
Итак, если п -*■ оо и пх3—>■0, то для отклонения отно сительной частоты от наивероятнейшего значения спра
ведлива асимптотическая формула |
(2.131), |
в которой |
Ф (х) — нормальная функция с хт = |
0 и о2 = |
. |
Доказанная теорема позволяет решить задачу, упомя нутую в начале этого параграфа. Если требуется опреде лить вероятность того, что при п испытаниях число появ лений tn события А будет заключено между а и Ъ, то на ходим
зс«
Р { а < т < Ь ) = Р( ах < х т < а2) = ^
(2.132)
112 |
СЛУЧАЙНАЯ |
ВЕЛИЧИНА |
|
[ГЛ. 2 |
|||||
где |
|
а |
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
«1 = |
|
а, |
|
|
|
|
||
|
-------Р, |
= -------- р. |
|
||||||
|
1 |
П |
|
z |
|
|
П |
г |
|
В частности, |
если а 2 = — |
= |
а, |
то |
|
|
|||
Р (рп — ап <^va <^рп |
ап) = |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
Р ( — а < £ да < |
+ |
«) = |
’ |
(2-133) |
|||
где г|э (•) — интеграл |
вероятностей. |
|
|
||||||
В заключение раскроем смысл условия (2.126). Оно |
|||||||||
гарантирует, |
что полученное представление (2.127) |
явля |
|||||||
ется достаточно точным, если рассматриваются значения
(2-134)
где а достаточно мало в сравнении с единицей. Разделив
(2.134) на (2.128), |
получим |
|
|
|
||
|
|
^ - < |
4 |
^ я1/.. |
(2.135) |
|
|
|
3 |
У р ч |
|
|
|
Если, например р = |
1 |
|
3 |
, а а — 0,01, то при |
п = 10® |
|
— , q — |
|
|||||
получаем: |
X |
|
|
|
|
(2.134) |
4,97. Это показывает, что условие |
||||||
не выполняется только для тех значений хт, для которых плотность вероятности очень мала.
З а д а ч а 56. Наблюдая Солнце в период 1880— 1896 гг., И. Сикора обнаружил на восточном краю Солн ца 7024 протуберанцев, а на западном краю 6614 проту беранцев. Какова вероятность того, что преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца есть дело случая?
Р е ш е н и е . Предположим, что вероятности появле ния протуберанцев на восточном и западном краях Солн ца равны. Следовательно, вероятность того, что появив шийся протуберанец окажется на восточном краю Солнца, р — 1/2. Общее число наблюденных протуберанцев сле
дует рассматривать как число испытаний, |
а число т = |
= 7024 — как число появлений события |
А. Случайная |
§ 31] |
ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА |
113 |
величины х — отклонение относительной частоты от наи вероятнейшего значения,— оказалась равной
7024 |
1 |
^ 0,0150. |
13638 |
2 |
|
Стандарт случайной величины, определяемой по формуле
(2.128), равен
Следовательно, вероятность того, что преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца над ожидавшим ся числом такое, как наблюдалось, или меньше, согласно (2.133) и таблице 2, равна
А вероятность того, что отклонение будет таким, какое наблюдалось, или большим, равна 1—0,999543 = 0,000457.
Именно эта величина, вероятность того, что отклоне ние, вызванное случайностью, будет равно наблюдаемому или больше его, показывает, имеются ли основания объ яснять наблюдаемое явление как случайное отклонение. В данной задаче малая величина вероятности 0,000457 показывает, что не случайность, а другое обстоятельство вызвало преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца. Как впоследствии выяснилось, причиной была личная ошибка Сикоры, который более уверенно об наруживал протуберанцы на восточном краю диска Солн ца, чем на западном.
3 а д а ч а 57. Частица совершает случайные блужда ния в одном измерении. С вероятностью р она совершает шаг в положительном направлении и с вероятностью q — 1 — р — шаг в отрицательном направлении. Найти вероятность того, что после п шагов (я^> 1) частица будет
обнаружена в промежутке [у, у |
dy]. |
Длина каждого |
шага равна I. |
что |
частица сделает |
Р е ш е н и е . Вероятность того, |
т шагов в положительном направлении, дается выраже нием (2.118). Так как п велико, для отклонения относи-
114 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
и |
111 |
|
тельной частоты хт = —----р можно использовать нормаль
ное распределение. Величина V (положение частицы после п шагов) определяется равенством
Y = (2ш — п) I
и
Поэтому находим
р {У<*У < о/ + dy)= } (у) dy = f (х) dx =
dy,
З а д а ч а 58. Электростанция дает ток эаводу и ис пользуется для электрификации села. Если при работаю щем конвейере завода в селе окажутся зажженными 350 стандартных электролампочек, то напряжение настолько понизится, что конвейер остановится. Эмпирически уста новлено, что в наиболее загруженные вечерние часы в сред нем за много дней каждая лампочка горит 0,7 всего вре мени, при значительной длительности одного горения. Сколько стандартных электролампочек можно подключить в домах, чтобы вероятность остановки завода в течение одного вечера не превосходила 10~4?
Р е ш е н и е . Обозначим искомую величину — число стандартных лампочек, которые можно подключить,— через п. Тогда, поскольку одновременное горение 350 лампочек уже не допускается, границей допустимого по ложительного отклонения относительной частоты от наи вероятнейшего значения является
(2.136)
Необходимо, чтобы вероятность такого или ббльшего по ложительного отклонения не превосходила 10-4. Это будет выполнено, если вероятность того, что модуль отклоне ния больше или равен а, будет равна 2-10-4. Следова
§ 32] МЕРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИСТЕМЫ СОБЫТИЙ 115
тельно, г]) |
j =0,9998. В таблице 2 отсюда находим, что |
-^- = 3,72 |
С другой стороны, согласно (2.128) |
Получаем квадратное относительно |
уравнение: |
|
350и-1 — 0,7 |
q |
|
^ 0,21 jV. |
— |
|
Решение его п = 449. Итак, можно подключить 449 лампочек.
§32. Мера неопределенности полной системы событий
Пусть задана полная система событий Л |
|
||
А и А 2, . . ., А п. |
(2.137) |
||
Соответствующие этим событиям вероятности |
|
||
Р (4,), |
Р (А2), . . ., |
Р (4„). |
(2.138) |
Полагая, что п^> 2, |
рассмотрим |
три частных |
случая: |
1)Р (At) = 0,99 и, следовательно, вероятность каждо го из остальных событий мала.
2)Р (^j) = 0,49, Р (Л2) = 0,49 и, следовательно, ве роятность каждого из остальных событий мала.
3)Вероятности всех событий сравнимы между собой. В случае 1) можно достаточно уверенно предсказать,
что, по-видимому, произойдет |
событие А±. В случае |
2) предсказание будет менее |
определенным — произой |
дет, по-видимому, либо событие А х либо событие А 2. В слу чае 3) предсказать что-либо трудно.
Можно сказать, что в случае 2) система событий более неопределенна, чем в случае 1), а в случае 3) более не определенна, чем в случае 2).
Чтобы ввести количественную меру неопределенности полной системы событий, естественно считать, что каждое событие вносит вклад в эту величину; при этом событие, вероятность которого близка к единице, должно вносить
116 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
малый вклад в меру неопределенности системы, так как относительно этого события с большой степенью уверен ности можно считать, что оно случится. Точно' так же малый вклад^в меру неопределенности должно вносить событие, вероятность которого очень мала, так как с боль шой степенью уверенности можно предсказать, что это событие не случится. Наоборот, вклад в меру неопреде ленности события, вероятность которого заметно отлична и от 0 и от 1, существенна, так как трудно предвидеть, произойдет это событие или не произойдет.
Основываясь на этих соображениях, уместно за меру неопределенности системы событий ,Л принять величину
П
(2.139)
(о выборе основания логарифма будет сказано чуть позд нее). Тогда г'-е событие системы вносит в меру неопреде ленности вклад, равный члену
- Р {А г) log Р (Аг). |
(2.140) |
Этот член всегда положителен. Он стремится к нулю,
когда |
Р (Ai) |
1 |
и когда Р (At) |
0. Следовательно, |
равна |
нулю |
мера |
неопределенности |
системы событий, |
у которой вероятность какого-то события равна 1, а ве роятности всех остальных событий равны 0. Только при таком распределении вероятностей событий мера неопре деленности системы событий равна нулю. И это есть ми нимальное значение меры неопределенности, так как при любом ином распределении вероятностей событий мера неопределенности, складывающаяся из положительных слагаемых, положительна.
Выясним, при каком распределении вероятностей ме ра неопределенности полной системы событий, состоящей из п событий, максимальна.
Необходимо найти максимум выражения (2.139) при очевидном условии
2 Р ( А ) = 1. |
(2.141) |