Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 3
106 СЛУЧАЙЙАЙ ЙЁЛЙЧЙНА t r ji . 2
Сравнивая (2.38) и (2.110), приходим к формальному равенству
|
оо |
|
6 ^ - х') = 4 г |
$ eil(z-x)dt, |
|
т. е. |
|
|
|
ОО |
|
6 (х) |
eilxdt. |
(2.111) |
|
—00 |
|
Выражение (2.111) является интегральным представлением дельта-функции.
Рассмотрим теперь интеграл
а |
|
§ б (ж — x0)dx, |
(2.112) |
который, очевидно, равен 1, если | ж0 1< а , |
и равен 0 в |
противоположном случае. Используя интегральное пред ставление дельта-функции, этот интеграл можно написать в виде
а |
\ eit(x-x,)dt =* |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
tx -f- i sin tx) dx = |
|
|
|
|
|
sin at |
e-itx>d. |
|
|
|
t |
|
Таким образом, интеграл |
|
|
||
|
JL J |
i i l f L e-«*odt |
|
(2.113) |
равен 1, |
если | x0 | < a , |
и равен 0 в |
противоположном |
|
•случае. |
|
|
|
|
§ 30] |
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
107 |
§ 30. Интеграл вероятностей
Определим вероятность того, что нормально распре деленная случайная величина X примет значение, за ключенное между X — а и X 4 -а , где а — некоторая положительная величина,
Х + с с ( х —JT)*
Р ( Х — а < Х < T - f а )= С |
---- \r=-e 2o' Ах. (2.114) |
у |
б у 2я |
X —QL
Перейдем к новой переменной интегрирования
t = х — X
и учтя свойство интеграла от четной функции, напишем
(2.114) в виде
г— а/о |
- — (« |
P ( J - a < X < J + a ) = j / ^ - ^ e |
2 At. (2.115 |
о |
|
Правая часть (2.115) есть функция верхнего предела интеграла. Эта функция
Ф00 = |
(2.116) |
играет важную роль в теории вероятностей и называется
интегралом вероятностей.
Мы видим, что если
* = |
(2-117) |
то ф (z) дает вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от своего среднего значения по модулю не превзойдет а .
Интеграл вероятностей не выражается в конечном виде через элементарные функции. Для него составлены таб лицы (см., например, Л. Н. Б о л ь ш е в , Н. В. С м и р- н о в, Таблицы математической статистики, Москва, Вы числительный центр АН СССР, 1968). Прилагаемая крат
108 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
кая таблица 2 интеграла вероятностей показывает, что вероятность того, что случайная величина, распределен ная нормально, отклонится от своего среднего значения не более чем на о, равна 0,68269; не более чем на 2а — 0,95450; не более чем на За — 0,99730; ге более чем на
Т а б л и ц а 2
Значение интеграла вероятностей
о
2 |
Ф(2) |
г |
Ф(2) |
Z |
Ф(2) |
0,0 |
0,00000 |
1,7 |
0,91087 |
3,4 |
0,р99326 |
0,1 |
0,07966 |
1,8 |
0,92814 |
3,5 |
0,999535 |
0,2 |
0,15852 |
1,9 |
0,94257 |
3,6 |
0,999682 |
0,3 |
0,23582 |
2,0 |
0,95450 |
3,7 |
0,999784 |
0,4 |
0,31084 |
2,1 |
0,96427 |
3,8 |
0,999855 |
0,5 |
0,38292 |
2,2 |
0,97219 |
3,9 |
0,9999038 |
0,6 |
0,45149 |
2,3 |
0,97855 |
4,0 |
0,9999367 |
0,7 |
0,51607 |
2,4 |
0,98360 |
4,1 |
0,9999587 |
0,8 |
0,57629 |
2,5 |
0,98758 |
4,2 |
0,9999733 |
0,9 |
0,63188 |
2,6 |
0,99068 |
4,3 |
0,9999829 |
1,0 |
0,68269 |
2,7 |
0,99307 |
4,4 |
0,9999892 |
1,1 |
0,72867 |
2,8 |
0,99489 |
4,5 |
0,99999320 |
1,2 |
0,76986 |
2,9 |
0,99627 |
4,6 |
0,99999578 |
1,3 |
0,80640 |
3,0 |
0,99730 |
4,7 |
0,99999740 |
1,4 |
0,83849 |
3,1 |
0,99806 |
4,8 |
0,99999841 |
1,5 |
0,86639 |
3,2 |
0,998626 |
4,9 |
0,999999042 |
1,6 |
0,89040 |
3,3 |
0,999033 |
5,0 |
0,999999427 |
4а — 0,9999367. Таким образом, вероятность отклонений, больших 2а, уже сравнительно мала, вероятность отклоне ний, больших За, очень мала, больших 4а — ничтожно мала, порядка 7-10-5.
§ 31. Теорема Муавра — Лапласа
При рассмотрении числа ш появлений события А в п испытаниях обычно бывает нужно найти вероятность того, что это число заключено между некоторыми значе ниями а и Ь. Если п велико и промежуток [а, Ъ] содержит
§ 31] |
ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА |
109 |
большое число единиц, то непосредственное использо вание биномиального распределения.
Рп И = -т\ (АЯЬ ^Г Рт^ т |
<2'118) |
требует громоздких вычислений; нужно суммировать боль шое число определенных по этой формуле вероятностей.
Поэтому целесообразно получить асимптотическое вы ражение для биномиального распределения при условии, что р фиксировано, а п ->■ оо. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция
Используем для доказательства известную в анализе формулу Стирлинга
s! = У 2яssse~sA,
где 0 <) 0S -jt^- . При больших s величина 0Sочень мала, и приближенная формула Стирлинга, записанная в простом
виде, |
__ |
|
s! = |
У 2jtssse_s, |
(2.119) |
дает малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда s - > o o .
Нас будут интересовать значения пг, не очень сильно отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда, при фикси
рованном р, условие п -> оо будет также |
означать, что |
т - > о о , п — т - > оо |
(2 .1 2 0 ) |
(в отличие от распределения Пуассона, где предполага лось, что р -> 0, а т конечно). Поэтому использование формулы Стирлинга (2.119) для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получим
* И “ [ т 5 м Ь = г Г (^ Г (^ Г ' (2Л21)
Используем также введенное ранее ((2.12)) отклонение от носительной частоты от наивероятнейшего значения
*«« = -£-— Р |
(2.122) |
н о |
СЛУЧАЙНАЯ |
ВЕЛИЧИНА |
1ГЛ. 2 |
|
и запишем (2.121) в виде |
|
|
|
|
Рп (т) = (2яп (р -f хт) (q ■ |
|
х |
-n(9-vm) |
|
|
0+хт>( |
\ |
||
X ( ' + ¥ ) |
v |
- f ) |
(2.123) |
|
Предположим, |
что |
|
|
(2.124) |
|
|
|
|
|
и, взяв логарифм произведения второго и третьего множи телей в правой части (2.123), применим разложение в ряд Тэйлора:
хт) In ^1 |
|
+ (<? — |
|
- п {р + хт) ( |
х т |
хт |
|
Р |
2р2 |
хтз |
|
+ (9 |
|
т |
|
|
ч |
3gs |
Расположим члены этого разложения по степеням хт
— п |
Хш |
( |
I |
, |
1 |
(2.125) |
|
2 |
\ |
р |
+ |
q |
|||
|
|
||||||
Предположим теперь, что при |
п —> оо |
||||||
|
|
|
|
|
ш 4 -> 0. |
(2.126) |
|
Это условие означает, как уже было предположено выше, что рассматриваются значения т, не очень далекие от на ивероятнейшего. Очевидно, что (2.126) обеспечивает и вы полнение (2.124), а также (2.120).
Пренебрегая в (2.125) вторым и следующим членами, найдем, что логарифм произведения второго и третьего множителей в (2.123) равен
П2
~~ 2 ^ Хт-
Отбрасывая также малые слагаемые в скобках первого множителя (2.123), получим
(2Л27>