Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл (8,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 187

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

100

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

[ГЛ. 2

Близость к нулю нечетных центральных моментов мож но рассматривать как критерий симметричности распре деления. Обычно используют центральный момент третьего порядка как самый низкий (простой) из нечетных моментов (не считая р,х, который равен нулю для любых распреде лений). Чтобы величина, являющаяся критерием асим метрии, была безразмерной, рассматривают отношение

ц3 к |4 г:

A s = i ^ ' .	(2.89)
к

Чем больше As по абсолютной величине, тем более несим метричным можно считать распределение. Однако этот

критерий не является строгим, так как равенство нулю As является необходимым для симметричности распреде ления, но не является достаточным условием.

Значение Хт , при котором плотность вероятности X имеет максимум, называется модой случайной величины X. Основное значение для практики имеют случайные ве личины с одной модой. Такие распределения случайных величин называются одновершинными.

§ 271 АСИММЕТРИЙ И ЭКСЦЕСС РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 101

Если плотность вероятности случайной величины сим метрична относительно некоторого значения случайной величины, то это значение случайной величины совпадает с ее математическим ожиданием и, у одновершинного рас

пределения,		с модой.	Если же распределение не симмет
рично, то	в	общем	случае мода	Х,п и математическое
ожидание	X	случайной величины		различны (рис. 11 и

рис. 12). Если асимметрия распределения случайной

величины	(и, следовательно, центральный момент
третьего	порядка)	положительна, то мода случайной
величины	меньше	ее^ математического ожидания (см.

рис. И). При отрицательной асимметрии мода случайной величины больше ее математического ожидания. Мерой асимметрии может также служить отношение

	а	*
Если к является четным числом, то, применяя формулу
(2.88) к/2 раз, получим	для	нормального	распределения
соотношение	(к -
р* =	(к -	1)!! о*.	(2.90)

В частности,

3,	О о
	• со II

(2.91)

Следовательно, безразмерная величина
Ех = — 3	(2.92)
К

для нормального распределения равна нулю. В общем же случае эта величина, называемая эксцессом, отлична от нуля.

Нормальная функция в теории вероятностей и мате матической статистике играет роль некоторой стандартной функции, с которой уместно сравнивать другие функции распределения, определять, насколько эти функции отли чаются от нормальной функции. Асимметрия (2.89) и эк сцесс (2.92) являются двумя важнейшими показателями стличия функции распределения от нормальной.

З а д а ч а 52. Определить асимметрию и эксцесс рас пределения Пуассона.

10 2

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

1ГЛ. 2

Р е ш е н и е . Напишем полученное для распределения Пуассона равенство (2.69) при значениях s = 1, 2, 3, 4:

Мха =	а,
М (m2— т ) =	а2,	(2.93)

М (т 3— З т 3+ 2т) = а®,»

М (т4— 6т 3+ 11т2— 6т) = а4,

Используя обозначение vft = Мхак для начальных мо ментов и решая систему (2.93) относительно них, получаем

у1 =		к,
v2	=	а 2+	«,
v3	=	а 3+	За2-р а ,	(2.94)

v* = 0С4-J- 6а 3-J- 7а2-J- сс.

Применяя теперь формулы (2.65) — (2.67) связи между моментами относительно разных начал (которые, разумеется, верны и для начальных моментов), получаем

р 2 =	а ,	(2.95)
Из =	а ,	(2.96)
=	а + За2.	(2.97)

Выражение (2.95) было уже получено ранее. Равенство (2.96) позволяет получить асимметрию распределения Пуассона

а	а	1		(2.98)
As 3	V* —	лГ~ ’		(2.98)
	а'*	У	а

а равенство (2.97) — его эксцесс

Е х ^ а+23а2	3 = 1 .	(2.99)
а2	а

Таким образом, если математическое ожидание случайной величины, распределенной согласно закону Пуассона, мало, то асимметрия и эксцесс распределения велики, рас пределение сильно отличается от нормального. Если ма тематическое ожидание случайной величины велико, то асимметрия и эксцесс распределения Пуассона малы, оно

§ 28]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И Ч Е С К А Я Ф У Н К Ц И Я

103

близко к нормальному распределению. Так как асиммет рия положительна, то в распределении Пуассона мода случайной величины всегда меньше ее математического ожидания.

§ 28. Характеристическая функция случайной величины

Характеристической функцией случайной	величины
X называется математическое ожидание случайной ве
личины eiiX:
Ф (t) = Meltx = ^ eitxf(p)dx.	(2.100)

Выполняемая согласно (2.100) операция с функцией / (х)г в результате чего получается функция Ф (t), называется

преобразованием Фурье функции / (х). Таким образом, ха рактеристическая функция есть результат преобразова ния Фурье плотности вероятности случайной величины.

В теории функций комплексного переменного доказы вается, что функция Ф (t) также однозначно определяет функцию / (х) при помощи преобразования

( 2. 101)

—во

которое называется обратным преобразованием Фурье.

Рассмотрим к-ю производную характеристической функции

оо
Фw (t) = ik 5 xkel,xf(x) dx.	(2.102)

Для того чтобы выполненное дифференцирование к раз интеграла по параметру t было законным, достаточно, что бы несобственный интеграл в (2.102) был ограничен. А для этого достаточно, чтобы у случайной величины су ществовал абсолютный начальный момент к-то порядка:

оо

Л / | Х * | = J \ x\ *f{r)dx.

(2.103)

104 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1ГЛ. 2

В самом деле, тогда

оо	ос
§ xkeitxf (х) dx \| ^	§ \| х \|к / (х) dx,
— ОО	— Оо

и интеграл (2.102) ограничен.

Положим теперь в равенстве (2.102) t — 0:

	о о
ф (ю(0) =	i* \ xkf ( x ) d x = i kvk.	(2.104)
Таким образом,	—оо
Таким образом,
\ h =	MX* = Г*Ф») (0).	(2.105)

Чтобы получить начальный момент к-то порядка случай ной величины, достаточно помножить на Гк к-ю произ водную характеристической функции при значении аргу

мента, равном нулю.			• !		Гм
З а д а ч а 53.	Найти		характеристическую*" функцию
нормально распределенной случайной величины.
Р е ш е н и е .	Согласно		определению		характеристиче
ская функция равна
		1	(х—Х)2
Ф(*) =			еifx—	2а*	dx.
		а У 2л
Выполняя подстановку z =			х — Х
			—------- its и используя инте
грал Пуассона, получаем
		Ф(0 =	Ш—i аЧ*	.	(2.106)
			е

Согласно правилу (2.105) найдем, например, начальный момент третьего порядка: g

_	iXt—— оЧ*
v3 =	- 0 4 ) s - 3 ( i X -вЧ)а*]е	2	}г=0 =
		=	X (За2 + J 2).

Это соотношение можно получить и непосредственным вычислением момента.

З а д а ч а 54. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона,

§ 291 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЛЬТА -ФУНКЦИЙ 105

Р е ш е н и е .	Находим
е “ат
Ф (i) = 2 eitm	т\
т=0
	о о
= e-“e“ei< 2 -^r(aeiT e~*eit = e“(elLl)		(2.107)
	Ш=0

Определим начальный момент второго порядка, для чего используем (2.105):


v2 =	Г2 [— aeif (aeil + 1) еа(е1'_1)]г=0 =		и2 +	а.
Этот результат уже встречался ((2.94)).				функцию
З а д а ч а	55. Найти характеристическую			функцию
биномиального		распределения.
Р е ш е н и е .		Согласно определению
П
Ф (*) = 2	ei‘m тЦ п - т ) Г		+ ?)"	(2Л08)