Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 3
§ 35] |
П О Н Я Т И Е С Л У Ч А Й Н О Г О |
В Е К Т О Р А |
|
131 |
|
примут значения соответственно меньше хх, |
х2, . . . , |
Xi, |
|||
не зависит |
от того, приняли |
ли |
случайные |
величины |
|
|
х м , |
х к |
|
(3.13) |
|
значения, меньшие соответственно ж/+1, х1+2, .. |
., х к, |
или |
|||
нет, то согласно теореме умножения вероятностей
^ ( * i Хх, • • •» X к
^ (-^1 З'Ь • • -, X i F (-^i+ l %i+lt • • • Xfc^^Xji)»
Таким образом, если случайные величины (3.12) неза висимы от случайных величин (3.13), то интегральная функция распределения F f a x , х2, . . . , х к) равна произ ведению двух функций, из которых одна зависит только
от хи |
х2..........Xi, |
а вторая только от ®f+1, xt+2 , |
. . ., х к, |
F f a x , |
Х 2 , . . . , Х к ) |
■ F \ f a i t Х 2 1 •••> X i ) F 2 f a i + l t |
З'г+З) •••» X k ) , |
|
|
|
(3.14) |
Первая из этих функций представляет собой интегральный закон распределения случайных величин (3.12), а вто рая — случайных величин (3.13).
Справедливо и обратное утверждение. Если функцию
F fax,х2, . . ., х к) |
можно представить в виде произведения |
||||
двух |
функций |
(3.14), одной, — зависящей |
только |
от |
|
хг, ..............xi, — |
и другой, |
зависящей |
только |
от |
|
X t + х , |
xi+2, . . . , х к, то случайные величины (3.12) не зави |
||||
сят от случайных величин (3.13). Если при этом постоян ные коэффициенты выбрать так, чтобы
Fl ( + ° ° .+ °о, . . ., + оо) и F2 (+ оо, + о с ..........+оо)
были равны 1, то эти функции будут интегральными за конами распределения случайных величин (3.12) и (3.13) соответственно.
Аналогичные рассуждения приводят к тем же утвер ждениям для плотности вероятности. Если случайные величины (3.12) не зависят от (3.13), то
/ f a i t Х 2 , |
■ ■ |
Х к ) |
|
|
|
= |
fl fait |
X2, • • •» Xi) f2 fai+xt Xi+%, |
• • •* |
Xk)' |
(3.15) |
Если плотность распределения f f a x , |
x2, |
. . . , |
хк) мож |
||
но представить в виде произведения (3.15), |
то случайные |
||||
5*
132 |
С Л У Ч А Й Н Ы Й В Е К Т О Р |
(Г Л . 3 |
величины (3.12) независимы от случайных величин (3.13). При этом, если функции Д и /2 нормированы в смысле (3.7), то они соответственно являются плотностями веро ятности случайных величин (3.12) и (3.13).
Функция F (жь х2, . . ., х к) обладает еще таким свой ством:
F (хи х2, . . ., хг, + ОО, + ОО, . . ., + оо) = |
|
= Ft (жь ж2, . . ., |
xt), (3.16) |
где Fj (хи х2, . . ., xi) есть интегральный закон распреде ления случайных величин (3.12).
Аналогично,
|
оо |
о о |
|
оо |
|
|
dx1dxа. .. dxi |
^ |
^ |
... |
^ |
/ (хъ х2, . . ., х,.) dxVrldxiv2. . .dxk — |
|
— оо |
— Оо |
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
= fi (хи ж2, .. ., Xj) dx! dx2. .. dxu |
(3.17) |
||
где f x (xx, x2, |
. . ., |
xt) |
— плотность вероятности |
случай |
||
ного вектора |
( X lt |
Х 2, |
. . |
., X t). |
|
|
В частности, для двух случайных величин X и У |
||||||
имеем |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/i(* )= |
I f(x, y)dy. |
(3.18) |
||
|
|
|
|
|
— -оо |
|
Пусть случайная величина Y является функцией слу чайной величины X
Y = ч (X).
В этом случае, |
очевидно, |
|
|
|
|
|
||
/ (х, у) dx dy = б [у — т| (ж)] / (ж) dx *=б [у — т] |
(ж)] / (у)dy |
|||||||
т. е. / (ж, у) |
= |
0, |
если |
у |
ф г \ |
(ж), |
и / (ж, у) dx dy = |
|
= h (ж) |
=U |
( у ) d yесли, |
У — |
Л (*)• |
|
|
||
§ 36. |
Функция от случайного вектора |
|
||||||
Допустим, что величины |
|
|
|
|
||||
|
|
|
у |
у |
|
V |
|
|
|
|
|
* 1з •‘ г» • • •» х т |
|
|
|||
являются функциями от случайных величин (3.1): |
||||||||
Yx — ’ll (-Xi, |
Х 2, . |
. ., Хй)> |
Y 2 = ^ 2 (-^i>А г, . . . . |
-Хй), . . . |
||||
|
|
• • |
•» Y m ~ т]т (Хх, Х 2, |
. . ., Х к) |
(3.19) |
|||
§ зв] ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 133
и, следовательно, являются сами случайными величинами. Тогда случайный вектор
Y = (Гг, Г 2, . . . . Y m) |
(3.20) |
является функцией случайного вектора (3.2).
Если / (х) = / (хъ х2..........xh) есть плотность веро ятности случайного вектора (3.2), то вероятность того,
что случайный |
вектор (3.20) окажется внутри |
области |
|
G, равна |
|
|
|
Р = |
^ |
^/ (жи • • •>хч) dxi■• • dxk> |
(3.21) |
|
|
Q |
|
где область Q охватывает все точки (жь . |
. ., xk) /с-мерного |
||||
пространства такие, |
что |
(уъ . .., |
ут ) |
принадлежит G, |
|
где у} = т|у (хх, . . ., |
x h)- |
|
|
|
|
Из (3.21) следует, что интегральный закон распреде |
|||||
ления случайного вектора |
(3.20) |
находится при помощи |
|||
равенства |
|
|
|
|
|
Ei(z/i, J/2j • • ч Ут) = |
$ • • • |
§ / (^i* • |
• •> хк) dx-i- •• |
(3.22) |
|
|
Q |
|
|
|
|
где область ^-мерного пространства Q определяется не равенствами
’ll («1» х2» • • •> x h) <У), / = 1, 2, . . ., т . (3.23)
В самом деле, сопоставление равенств (3.19) и нера венств (3.23) показывает, что попадание случайного век тора (3.2) в область Q эквивалентно выполнению нера венств
Гг < уг, Г 2 <Ly2, ■• |
Г т <С ут. |
(3.24) |
Поэтому правая часть равенства (3.22), равная вероят ности попадания случайного вектора (3.2) в область Q, равна левой части этого равенства, представляющей ве роятность выполнения условий (3.24).
Точно так же плотность вероятности случайного век тора (3.20) находится при помощи равенства
fl (Ult •• •» Ут) dyi' • • dym ^ |
^ / (^1» • • ч хк) d-£i . . . |
d-Ek, |
Q
(3.25)
134 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
ITЛ. 3 |
где «область» /е-мерного пространства Q определяется не равенствами
J /j< Tlj(^i. х2, . . ., хл) < ^ 4- dyh |
7= 1, 2, . . т. |
Рассмотрим простейший случай, |
(3.26) |
когда |
У = X , + Xа.
Найдем функцию распределения Y, если плотность веро ятности / (хи х2) задана.
Согласно (3.22)
оо V — X j
F3 (у) = |
5S / О*1»жг) dxv dx%= |
dxx |
\ f (хъ |
х2) dx2. |
Л 1 + 5 С2 < У |
— 01 0 |
— ОО |
|
|
Введем вместо х2переменную интегрирования и = |
жх -\-х2. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
оо |
у |
у |
оо |
|
F3(y) = $ |
^ f(xi , u — Xi)d u = ^ du ^ f (хг, и—Х]) dxx. |
|||
— во |
— оо |
— ОО |
— оо |
(3.27) |
|
|
|
|
|
Продифференцировав это равенство по у, найдем плот ность вероятности
оо
fail/) = |
\ |
f (хи у — хг) dxx. |
(3.28) |
|
— оо |
|
|
Если Х г и Х 2 взаимно независимы, так что |
|
||
/ (%1, |
Xi) |
= fi (xi) U (x2), |
|
то равенство (3.28) принимает вид |
|
||
/з { у ) = |
оо |
|
|
$ |
h(x!)h{y — xjdxx. |
(3.29) |
|
— оо
Равенство (3.29) можно трактовать как определенную операцию, выполняемую с функциями / х и /2, в результате чего получается функция / 3. Эту операцию называют сверткой двух функций.
Рассмотрим важный частный случай общей задачи, когда т = к и случайные векторы X и У взаимно одно-
§ 36] |
ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА |
135 |
значно определяют друг друга, так что наряду с равенст вами (3.19) мы можем написать
•Xi |
— |
Si (Уi, |
Y 2, . . |
У&), |
|
X2 |
= |
£2(Ylt |
У 2, . . |
Y ft), |
(3.30) |
|
|
|
|
|
|
Xft= |
l k (Yu |
У2, . . ., |
У ft). |
|
|
Тогда на основании (3.21) вероятность того, что случай ный вектор Y = (Уь У2, . . ., У ft) попадает внутрь па раллелепипеда
lyu |
2/i+ <*2/il, hi, |
Уг + dy2], . . . , |
[т/ft, y h + <%hl, |
||
определится равенством |
|
|
(3.31) |
||
|
|
|
|||
/х (Уи 2/2. • • •. Уk) dyi |
dy2 • |
• -аУк = |
|
|
|
|
= / (®i, |
жа, • • |
•. »ft) dajj dx%. . . dxh, |
(3.32) |
|
где |
— плотность вероятности вектора Y, (а^, ж2, . |
. ., х ft) |
|||
и (г/i, |
у2, . . ., уft) |
связаны с помощью функций |
а |
||
dxi, dx2, ... , dxk также определяются |
этими функциями |
||||
(когда заданы dyu dy2, . . ., dyk), но берутся со знаком плюс.
Подставляя в правую часть (3.32) выражения хг, . . .
. . ., x h через уъ |
. . |
., yh и используя якобиан для пере |
||
хода к дифференциалам новых переменных, находим |
||||
h (2/1, 2/г, •• Ук) dyi &уг. .. dyK— |
|
|
||
= f l h (2/i, 2/г, • • |
Ук), £г {Уи 2/г, • • |
2/л)> • • •, (2/i, 2/г, • • |
2/л)! X |
|
|
X |
5 ( п , Га, . . . , |
г^.) |
(3.33) |
|
3(У1,г/а, . . .,у4) dyidl/a- • -Йг/ft. |
|||
Якобиан должен быть взят по абсолютной величине, так как все множители в обеих частях равенства (3.37) положительны.
Равенство (3.33) позволяет найти плотность вероят ности случайного вектора Y, если заданы плотность ве роятности случайного вектора X и взаимно однозначная зависимость X и Y.