Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл (8,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 178

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

136

СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР

1ГЛ. 3

§37. Математическое ожидание

идисперсия суммы случайных величин

Найдем математическое ожидание Y, если Y = X х + + Х 2 и плотность вероятности / (xlt х2) произвольна. Воспользуемся для этого равенством (3.29):

оо ос

M Y =	^	ydy ^		/ (i, У— 0 dx! =
оо	— оо	оо	— оо	оо	оо
оо		оо		оо	оо
= 5 dxx		5	{Xi + х2) f (хъ х2)dx2 = §		x\dxx ^ f (хъ x2)dx2+
— оо	— оо			— оо	— оо
			оо	оо

§ dxi § x2f(x1,x^)dx2 = M X 1-\-MX2. (3.34)

Таким образом, математическое ожидание суммы двух произвольных случайных величин равно сумме матема тических ожиданий этих случайных величин.

Определим дисперсию Y, если Х± и Х 2взаимно незави

симы:

ОО

5(y — Y?h(y)dy =

ООоо

= 5 (.V — Yfdy	5 h(xi)U{y — x1)dxi.
— о о	— оо

Далее, меняя порядок интегрирования и используя (3.34), получаем

ОООо

<32 = ^	/х (#i) dxx 5 1(^1 — -^l) "f" 0^2— -^г)]2/2 (#з) ^2 =
—оо	—оо
	оо	оо
	= 5 (^1 — ^l)2/l Ы dxi 5 / iW * 2 4-
	— оо	— оо
	о о	оо
4-2	^ (*1 — X\)fi{xi)dxi	^ (х2— Х 2) f2(x2) dx2
	<->оо	—оо
	о о	оо

^ /1 (^i) dxi	^ (xg	2)^/2(*^2) dx%.
—00	—09

i 37] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ	137
Второе слагаемое справа равно нулю, поэтому
о2 = а! + o l	(3.35)

т. е. дисперсия суммы двух независимых случайных ве личин равна сумме дисперсий этих величин.

По индукции получаем, что если
то	У = Х г +		Х 2 +		. . . +			Х п,	(3.36)
	У =	+	Х 2	+	•	• •	+	Х п.	(3.37)

Если при	этом	Xi, Х 2, •		•	•,	Х п		взаимно	независи
мы, то	о2	= oj -(- о\		-f-	. . .		-f-	о*-	(3.38)

З а д а ч а	61.	Найти	плотность				вероятности суммы

двух независимых нормально распределенных случайных

величин.

По условию плотности вероятности слу

Р е ш е н и е .

чайных

величин

Х 2 имеют вид

(ЭС1-ЭС1 0 )2

( * г - * 2,0>*

2а2

W x ‘) =

» 7 7 s f e

’

h {Xi) =

Согласно

(3.29)

функция

распределения

величины У =

= Х г +

Х 2 равна

<*‘-*1.0)*

( у —

X , — * 2 0 )а

2<з2

dxi.

/ з ( »

) =

Ci У 2я

<32>^2лГ

Введем обозначения

2/ о =

х 1,0 +

2i 0’ °3

СГа

и преобразуем показатель экспоненты:

(X I —

Ж ] , п )2 [ ( У —

Уп)

( x i

—

Ж ] , о )]2

2°

2о 1

( у

г/«)2

С1

с 2

(Ж1—

# i , o )

------------------(

У —

У о )

а з

138 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3

Вынося из-под знака интеграла множитель, не зависящий от Хх и вычисляя интеграл, получим

(У—Уо)2

2°3

Таким образом, сумма двух независимых нормально рас пределенных случайных величин есть также нормально распределенная случайная величина. Ее среднее и дис персия равны суммам соответствующих характеристик этих случайных величин, что следовало из общих соот ношений (3.34) и (3.35).

Применяя индукцию, можно доказать, что сумма лю бого числа независимых нормально распределенных слу чайных величин есть нормально распределенная случай ная величина.

Справедлива также обратная теорема, доказанная в 1936 г. Крамером: если сумма конечного числа незави симых случайных величин есть нормально распределен ная случайная величина, то каждое из слагаемых явля

ется нормально	распределенной случайной величиной.
З а д а ч а 62.	Плотность вероятности	для каждого
из прямоугольных компонентов X, Y, Z скорости молекул
есть нормальная	функция со средним,	равным нулю,

и дисперсией, равной а2. Компоненты скорости по трем направлениям независимы друг от друга. Найти плот ность вероятности модуля скорости молекул. Определить среднюю величину, среднюю величину квадрата и стан дарт модуля скорости.

Р е ш е н и е . Согласно условию плотность вероятности компонента X скорости имеет вид

2 а*

Таковы же распределения и компонентов Y и Z. Так как эти три распределения взаимно независимы, то плотность вероятности вектора скорости равна произведению плот ностей вероятности каждого из компонентов:

. (3.39)

§ 37]

М АТЕМ АТИЧЕСЖ ОЕ О Ж И Д А Н И Е И ДИ СП ЕРС И Я

139

Распределение (3.39) называется максвелловским распре делением скоростей. Оно является сферическим распре делением. Это означает, что в пространстве скоростей плотность вероятности в точках сферы

х2 + У2 + z2 — с2

(3.40)

произвольного радиуса с постоянна (как это видно из (3.39)). Общий вид сферического распределения таков:

	/ (х, у, z) = у) {х2 +		у2	+ z2).	(3.41)
Модуль	скорости р = ]/Х 2		+	Y 2 + Z2.	Дополним
эту случайную		величину двумя — широтой 0 =
= arctg	Z	и азимутомф ==	arctg-уу. Прямоугольные

координаты х, у и z и сферические координаты р, 0, ср вза имно однозначно определяют друг друга. Согласно (3.32)

/(1) (р, 0, ср)dp dQdср = / (х, у, z)dx dy dz —

1	2az	dx dy dz.
(з У 2я)3		dx dy dz.
(з У 2я)3

Так как якобиан перехода от прямоугольных координат к сферическим равен р2 sin 0, получаем

—1L

/(1) (р, 0, ср) dp dOdcp = ----*■=_. е 2aZр2 sin 0 <dp <d0 dcp.	(3.42)
(зУ 2jt)3

После интегрирования (3.42) по всем возможным значе ниям 0 и ср определится плотность вероятности модуля скорости

2« Я	__р*
h (Р) = 55 /(1) (Р, 0, ф) Ж d9 =	J Q L р2е 2"\ (3.43)
0 0	'

Найдем математическое ожидание р:

Р = 5P/i (Р)dp = 2 j / " - \| о	(3.44)
О

140	СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР	[ГЛ. 3
и	математическое ожидание р2:
	Р2 = $ P2/i (р) Ф = За2.	(3.45)
	О

Последнее равенство позволяет выразить f x (р) через сред нее квадратическое модуля скорости:

		Ш		- ' &		2р*	(3.46)
					т к
					V я	(р2Ф
Дисперсия р находится по формуле (2.68),
	ol =	Р2 -	(Р)2 = f3 -			~ ) a2 S 0,454а2,	(3.47)
так что	стандарт — среднее					квадратическое отклонение
модуля	скорости от			своего		среднего значения — равен
		бр=		\| / ' з - - \| а = 0,674а.			(3.48)
З а д а ч а		63. Найти плотность вероятности					видимой

величины к-й по яркости звезды.

Р е ш е н и е . Для того чтобы найти плотность вероят ности видимой величины второй по яркости звезды, най дем сначала, применяя теорему умножения вероятностей, вероятность того, что видимая величина ярчайшей звезды

находится	в промежутке [тх, тх +		dmx], в	промежутке
[mi, т] звезд нет,		а в промежутке	[т, т Ч~	dm] звезда
есть [см.	задачу	48]: