Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

заключается только в том, что дисперсии компонентов скоростей по трем направлениям различны. Находим

Распределение (3.49) называется распределением Шварцгиилъда. Оно является эллипсоидальным распределением. Это означает, что в пространстве скоростей плотность

ного вектора равновероятны. Функция распределения длины проекции X вектора на произвольное направление,

тором и заданным направлением, то

X = р cos а,

причем О ^ а ^ я . Рассматривая случайные векторы (р,*Х) и (р, а) с плотностями g и glf можно написать

ё (р, х) ф dx = ё г (р, «) ф da =

= /а’(Р)!Ф • y sin a da = /*(р,) ф . у ^ .

142 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [ГЛ. 3

З а д а ч а 66. Ротационной скоростью v звезды назы­ вается линейная скорость точек экватора звезды, вызыва­ емая вращением звезды вокруг своей оси. Измерение расширения линий в спектре звезды, обусловленное ее вращением, дает не истинную ротационную скорость, а ее проекцию на луч зрения — видимую ротационную скорость

где г — угол между осью вращения звезды и лучом зре­ ния. Величина v и у = v sin г у различных звезд различ­ ны и при случайном, выборе звезды могут рассматривать­ ся как случайные величины. Из наблюдений можно определить плотность вероятности видимой ротационной скорости f (у). Требуется, считая ее известной, найти плотность вероятности истинной ротационной скорости fy (v) и найти зависимость между математическими ожида­

где fy (v) — плотность вероятности v. Используя (3.54), перейдем в правой части (3.55) от i к у (при этом v нуж­ но считать фиксированным и все множители брать по

Плотность вероятности / (у) равна интегралу от g (v, у) по всем возможным значениям v. Так как всегда v > у, то

Уравнение (3.56) определяет зависимость между плотно

Использование (3.57) для вычислений неудобно. На практике основной задачей обычно является нахождение средней истинной ротационной скорости и ее дисперсии для звезд различных классов. Найдем поэтому при помо­ щи (3.56) зависимость между математическими ожидания­ ми v и у, а также их квадратов:

ОО 00 оо

ОООС

144 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |Г Л . 3

Рассматривая совокупность звезд, у которых измере­ ны видимые ротационные скорости, как статистический

найдем затем при помощи равенств (3.58) и (3.59) среднее значение и дисперсию истинных ротационных скоростей в этой совокупности звезд.

Аналогично, используя (3.56), можно найти зависи­ мость между моментами любого порядка функций распре­ деления видимой и истин­

соида вращения называется отношение его малой полуоси к большой. Обозначим квадрат истинной сферичности §. Один и тот же сжатый эллипсоид вращения при наблюде­ нии его по различным направлениям представляется в виде эллипса с различной по величине малой полуосью и постоянной большой полуосью. Назовем видимой сферич­ ностью галактики отношение малой полуоси к большой полуоси ее видимого эллипса. Квадрат видимой сферич­ ности обозначим к). Рис. 13 показывает, как зависит ве­

личина малой полуоси видимого эллипса, равная У ц (большая полуось принята за 1), от угла i между направле­ нием луча зрения и плоскостью симметрии галактики.

Найдем зависимость между т), | и г. Уравнение касатель­ ной к эллипсу имеет вид

у = х tg г + У 1 + t g 4 .

Находя расстояние этой касательной от начала коорди­ нат, получаем

Рассмотрим два взаимно однозначно определяющих ДРУГ ДРУга случайных вектора (|, ц) и (|, i). Так как | и г взаимно независимы, на основании (3.32) находим

Это интегральное уравнение относительно функции рас­ пределения истинных квадратов сферичностей галактик принадлежит к типу Абеля и разрешается. Однако удобнее использовать решение в моментах. Помножим обе части (3.63) на г]" и проинтегрируем по всем значениям г], т. е. от 0 до 1: