Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 167
Скачиваний: 3
200 |
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ |
1ГЛ. 4 |
функция
п |
т |
|
|
Ф (Zi,-г2>. . хт) = 2 (Zi — 2 aiA' |
= |
min. (4.88) |
|
i=l ' |
j=l |
|
|
Функция (4.88) имеет |
минимум |
при |
значениях |
хх, ха, . . ., хт, обращающих в нуль все ее частные про изводные:
пm
* |
i= l |
4 |
J=1 |
7 |
|
|
n |
|
m |
n |
|
= 1, 2, ..., m. |
|
= 2 fflifcZi — |
2 |
2 ai/Aj = °> |
(4.89) |
|||
i=l |
|
J—X |
i=l |
|
|
|
Если |
обозначить |
|
|
|
||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
C/cj = |
2 |
ij |
(4.90) |
|
|
|
|
i=l |
|
|
и заменить z4 на y t, то система уравнений (4.89) в развер нутом виде запишется так:
|
|
|
|
п |
|
|
Cll^l + Ci2^2 Н" • • • + |
с 1тх т — |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
с21х 1 “Ь С22 ^ 2 |
+ |
• • • 4" |
с2тх т = |
2 |
а 12Уь |
(4.91) |
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
Cmlxl 1" С |
i |
• • • ! |
Сттхт |
2 |
^ *!П ’ |
|
|
|
|
|
4 = 1 |
|
|
Система уравнений (4.91) называется нормальной си стемой избыточной системы (4.81). Матрица ее коэффициен тов, очевидно, квадратная и симметричная.
В высшей алгебре доказывается следующая теорема: если матрица (4.84) имеет ранг пг, то матрица (квадратная) коэффициентов, построенных по правилу (4.90), имеет ранг т.
Раз ранг матрицы || с^ || равен т, то определитель нормальной системы (4.91) отличен от нуля и система
§ 57] СУММА КВАДРАТОВ ОСТАЮЩИХСЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ 201
имеет единственное решение. Согласно формулам Крамера
|
|
щ= |
П |
hm* |
|
|
|
|
2 |
(4.92) |
|||
где |
|
|
|
i= i |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b'ii |
~ |
~jj 2 |
Dfrj, |
(4.93) |
|
|
|
|
|
/С=1 |
|
|
D — определитель |
системы |
(4.91), D hj — алгебраическое |
||||
дополнение элемента |
ск1. |
|
|
|
||
Таким образом, чтобы получить точечные оценки ве |
||||||
личин х1з х2, . . ., |
Хф |
необходимо по |
коэффициентам |
|||
избыточной системы построить нормальную систему (4.91) и решить ее при помощи формул (4.92) и (4.93), где вместо yi подставлены результаты измерений Y t.
Отметим важное свойство найденного решения. Срав нение (4.88) и (4.86) показывает, что сумма квадратов не
вязок |
условных |
уравнений минимальна, |
когда вме |
сто х1з |
х2, . . ., хт |
подставлены их точечные |
оценки. В |
этом случае невязки называются остающимися погреш ностями.
Требование к совокупности неизвестных, чтобы она обращала в минимум сумму квадратов невязок для из быточной системы (4.81), называется принципом наимень ших квадратов или принципом Лежандра. Мы видим,
что совокупность значений хг, х2, . . ., хт, полученных при решении нормальной системы (4.91), отвечает не только принципу максимального правдоподобия, но и принципу наменыних квадратов.
§ 57. Сумма квадратов остающихся погрешностей для точечных оценок неизвестных
Рассмотрим систему равенств (4.86). Помножим каж дое из равенств на aift и полученные равенства просумми руем. После изменения порядка суммирования в двойной сумме и использования (4.90) находим
n |
п |
п |
т |
п |
т |
2 aikei = |
2 |
— 2 |
в» 2 |
auxi = 2 |
— 2 ckjxj- |
1=1 |
1=1 |
1—1 |
i=1 |
1=1 |
;=1 |
(4.94)
202 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ [ГЛ. 4
Так как точечные оценки х1г |
х2, . . ., хт |
удовлетворя |
ют нормальной системе (4.91), |
то из (4.94) |
следуют соот |
ношения |
|
|
2 я г Л = 0, &= |
1, 2, ... , т , |
(4.95) |
1 = 1 |
|
|
которые справедливы для остаточных погрешностей, т. е. когда в условные уравнения подставлены точечные оцен ки неизвестных.
Помножим каждое из равенств (4.86) на ег; полученные равенства просуммируем и изменим порядок суммирова
ния в |
двойной |
сумме: |
|
|
|
|
п |
п |
п |
т |
|
|
|
2 Ej — |
2 ^1®1 |
2 2 |
®i3^j ~ |
|
|
|
= 1 |
i = l |
i = l |
3 = 1 |
m |
n |
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
= 2 Y & - |
2 ^ з |
2 |
(4-96) |
|
|
|
i = l |
3 = 1 |
1 = 1 |
|
Согласно (4.95) двойная сумма в (4.96) равна нулю и, следовательно,
ПП
2 |
ef = 2 Y&. |
(4.97) |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
Помножим каждое из равенств (4.86) |
на Y t и просумми |
||||
руем: |
|
|
|
|
|
n |
n |
п |
т |
|
|
2 |
= 2 и - |
2 |
^ |
2 w |
(4.98) |
1 = 1 |
1 = 1 |
1 = 1 |
3 = 1 |
|
|
Изменив порядок суммирования в двойной сумме и исполь зовав (4.97), находим
n |
п |
т |
п |
|
2 « ? = |
2 |
y ? - 2 * i |
2 «1з^1. |
(4.99) |
1 = 1 |
1 = 1 |
3 = 1 |
1 = 1 |
|
Равенства (4.97) и (4.99) справедливы, если в них фигури руют точечные оценки xlt х2, . . хт и соответствующие им остающиеся погрешности.
§ 58] |
ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ |
203 |
§58. Оценивание неизвестных в способе наименьших квадратов при помощи доверительного интервала
Когда система уравнений избыточная, условные урав нения вследствие случайных ошибок в измерениях y t противоречат друг другу, и сумма квадратов остаточных погрешностей отлична от нуля.
Используя (4.92), напишем равенство (4.99) в виде
n n m п п
2 в? = 2 у? - |
2 |
2 w |
2 <Mi, |
(4.Ю0) |
|
1=1 |
1=1 |
3=1 |
8=1 |
1=1 |
|
где коэффициенты bsj определяются выражениями (4.93). В равенстве (4.100) правая часть представлена непосред ственно через измеренные величины Y, и коэффициенты избыточной системы.
Измерения Y t являются случайными величинами, по этому определяемая ими сумма квадратов остающихся погрешностей также является случайной величиной. Под
ставим в (4.100) |
равенства |
(4.82) и выполним простейшие |
||||
преобразования: |
|
|
|
|
|
|
2 Vi + 2 2 У$1 + 2 а» — |
|
|
||||
1=1 |
|
1=1 |
1=1 |
|
|
|
т |
п |
n |
т |
п |
п |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
®i3^i |
3=1 |
8=1 |
1=1 |
3=1 |
8=1 |
1=1 |
|
т |
п |
п |
т |
n |
п |
|
2 2 Ms 2 аиУ1 —2 2 м* 2 Мп (4.Ю1) |
||||||
3 = 1 8 = 1 |
1 = 1 |
3 = 1 8 = 1 |
1 = 1 |
|
||
Как уже отмечалось выше, если бы в измерениях величин Di случайные ошибки были равны нулю, то избыточная система (4.81) с Y t вместо yt решалась бы точно, сумма квадратов остающихся погрешностей была бы равна нулю.
Правая часть равенства (4.100) при 6*=0 равна нулю. Следовательно, первый и четвертый члены правой части (4.101) взаимно уничтожаются.