Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

§ 59] ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 211

Р е ш е н и е . При максвелловском распределении ско­ ростей (см. задачу 62) распределение проекций скоростей на любое направление является нормальным. Следователь­ но, рассматриваемая гипотеза состоит в том, что функция распределения лучевых скоростей X имеет вид

Как было показано в § 53, в нормальной генеральной совокупности точечная оценка среднего значения аргу­ мента, даваемая принципом наибольшего правдоподобия, равна выборочному среднему, а точечная оценка диспер­ сии статистического коллектива равна выборочной диспер­ сии. Таким образом, точечные оценки

С этими значениями Х 0 и <т0, используя таблицу 1 значе­ ний нормальной функции, можно вычислить по формуле (4.116) вероятности р (. После этого при помощи (4.119) вычисляем:

U = 29,6.

Таблица 8 показывает, что при к = 13—2—1 = 10

примет значение, равное 29,6 или большее, равна 0,001. Таким образом, полученная выборка лучевых скоростей противоречит гипотезе о максвелловском распределении скоростей галактик в скоплениях.

Глава 5

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

§ 60. Понятие случайной функции

Случайной функцией X (t) называется такая функция, которая для любого значения своего аргумента является случайной величиной. Таким образом, если мы выберем какие-то п произвольных значений аргумента

то им будет соответствовать п случайных величин

х г = х (гх), х 2 = х (h), . . . , Хп = X (tn). (5.2)

Каждая из этих случайных величин характеризуется некоторой плотностью вероятности. В общем случае за­ дания плотностей вероятности

случайных величин (5.2) при любом выборе совокупно - стей значений аргумента (5.1) недостаточно для задания случайной функции X (t). Необходимо (и достаточно), чтобы были заданы все многомерные (конечномерные) плотности вероятности

для любых совокупностей (5.1) значений аргумента. Вме­ сто употребления записи (5.1) и (5.4) удобнее многомер­ ную плотность вероятности записывать сразу в виде

Если ге = 1, то соответствующая плотность вероятно­ сти (5.5) называется одномерной, если п = 2, то двумер­ ной и т. д. Случайная функция определяется своими плот­ ностями вероятности всех порядков.

Если пространство заполнено движущимися частица­ ми, то число частиц внутри некоторого фиксированного объема есть случайная функция времени. В каждый мо­ мент времени число частиц в объеме является случа йной

§ GO] ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ф у н к ц и и 213

величиной, подчиняющейся распределению Пуассона. Но эти случайные величины для различных моментов времени взаимно зависимы. Если, например, в некоторый момент времени число частиц в объеме превышает среднее число частиц для этого объема, то через промежуток времени, ма­ лый в сравнении со средним временем пересечения части­ цей объема, условные вероятности больших чисел частиц в объеме больше, чем в том случае, если число частиц в пер­ вый момент было ниже среднего.

Рассматривая в том же примере в некоторый фиксиро­ ванный момент времени число частиц внутри объема, ко­ торый может занимать различные положения вдоль не­ которой координаты, мы получим случайную функцию, аргументом которой является координата центра объема.

В этих примерах аргумент изменяется непрерывно, случайная же функция принимает дискретные, только целочисленные, значения. Последний из приведенных при­ меров показывает, что термин «случайный процесс» не сле­ дует понимать в том смысле, что аргументом случайной функции должно быть обязательно время. Однако в даль­ нейшем для краткости мы будем рассуждать так, как если бы аргументом случайной функции являлось время.

Примером случайной функции может служить видимая величина ярчайшей (или к-й по яркости) звезды в переме­ щаемой площадке неба, как функция координаты.

Случайной функцией является высота точки поверх­ ности моря, как функция координаты в некоторый фикси­ рованный момент времени. Другой случайной функцией, характеризующей волновые явления на море, является высота поверхности моря при фиксированных координа­ тах, как функция времени.

Примером случайной функции также является скорость движения молекулы в газе как функция времени. Скорость молекулы все время изменяется в результате случайных столкновений с другими молекулами. Также и скорость звезды в звездном поле, изменяющаяся при случайных сближениях с другими звездами, есть случайная функция.

Толщина нити, вырабатываемой прядильным станком, также пример случайной функции аргумента — длины

§61. Классификация случаЁных функций

Унекоторых случайных функций аргумент t может принимать лишь дискретные значения. В этом случае слу­ чайная функция называется случайной последователь­ ностью.

Основное значение в физике и астрономии имеют слу­ чайные функции с непрерывно изменяющимся аргумен­ том. Такие случайные функции называются случайными процессами. Все приведенные выше примеры случайных функций есть случайные процессы.

Значения самой случайной функции также могут быть дискретными величинами. В этом случае процесс называ­ ют процессом с дискретным пространством состояний. В приведенных примерах такова случайная функция — число частиц внутри некоторого объема как функция координаты или функция времени. Очевидно, что эта слу­ чайная функция может принимать лишь целые неотри­ цательные значения. Во всех других приведенных приме­ рах случайная функция может принимать любые значения из некоторого промежутка.

Если случайная величина может принимать лишь ди­ скретные значения, то вместо совокупности всех конечно­ мерных плотностей вероятностей она может характери­

(5.6) есть вероятность того, что при значениях аргумен­ та (5.1) случайная функция примет соответственно зна­ чения (5.2). Можно, конечно, в этом случае рассматри­ вать и плотности вероятностей при помощи изложен­ ного в § 19 приема, основанного на использовании дельта­ функции.

Если распределение случайной функции не зависят от начала отсчета аргумента, то она называется стацио­ нарной. Необходимым и достаточным условием стацио­ нарности случайной функции является выполнение ра­ венства

при любом выборе (5.1) и любом t0. Таким образом, много­ мерные плотности вероятности, определяющие случай­ ную функцию, у стационарной случайной функции за­ висят только от разностей значений аргументов tu t2,. . .

. . ., tn, а не от самих значений этих аргументов. Это становится очевидным, если, положив t0 равным —tu мы напишем (5.7) в виде

/п if1) Х\\ Х2, . . ., tn, Хп) =

Одномерная плотность вероятности при этом не зави­ сит от аргумента, так как

Л (*, х) = Л (* — г, ж) = Л (0, ж) = fi (х).

Физически стационарность случайного процесса оз­ начает неизменность условий при изменении аргумента t.

Вупомянутом выше примере с заполняющими простран­ ство движущимися частицами случайные функции будут стационарными, если частицы заполняют пространство равномерно, а за'кон распределения компонентов скоро­ стей сферически-симметричен и во всех точках простран­ ства одинаков.

Видимая величина ярчайшей звезды в перемещающей­ ся площадке является стационарной случайной функцией, если площадка перемещается вдоль параллели галакти­ ческой широты, так как распределение звезд по видимым величинам в площадках с одинаковой галактической ши­ ротой можно считать неизменным. Но если площадка пе­ ремещается так, что ее галактическая широта изменяется, то рассматриваемый случайный процесс будет нестацио­ нарным, условия перестают быть неизменными, с умень­ шением галактической широты число звезд в площадке возрастает и изменяется их распределение по видимым величинам.

Впримере, в котором случайной функцией является высота точки поверхности моря, при аргументе — коор­ динате точки, стационарность будет в том случае, когда вся рассматриваемая область моря находится в одинако­ вых усовиях, она не содержит бухт, где волны слабее, чем

воткрытом море, и не настолько обширна, чтобы условие на периферии из-за иного микроклимата отличались от