Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 3
188 |
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ |
1ГЛ. 4 |
Равенство (4.50) показывает, что плотность вероятно сти случайного вектора-выборки с подставленными вместо переменных соответствующими значениями этой выборки определяется его средним X и стандартом о. Различные выборки объема п, имеющие одинаковые значения X и а, имеют одинаковые плотности вероятности.
Определим плотность вероятности случайного вектора (? , а). Величина
Д (х, a)dx da
есть вероятность того, что среднее значение и стандарт выборки попадут соответственно в промежутки
[х, X + dx], [а, о + |
da], |
(4.51) |
Д {х, а) dx da = § ... § / (хи ..., |
хп) dxx ... dxn, |
(4.52) |
G |
|
|
где G — область пространства {хх, х2, . . ., х п), содержа щая все точки, для которых определяемые по формулам, соответствующим (4.42) и (4.43), X и а попадают в область
(4.51).
Согласно (4.50) |
плотность |
вероятности / (х1г |
х2, . . . |
||
. . ., х п) постоянна |
в |
области G. Ее можно вынести из- |
|||
под знака интеграла в (4.52) |
|
|
|||
ТТ |
— |
tv |
|
|
|
- — |
|
— Г 0’ |
|
||
Д (X, a) dx do — се 2°° |
|
2°° |
$ • • • $ |
(4.53) |
|
|
|
|
|
в |
|
Интеграл в правой части (4.53) равен объему области G. Чтобы найти его, заметим, что согласно (4.42) и (4.43) для попадания X жа в область (4.51) необходимо, чтобы в «-мерном пространстве точка (хх, х2, . . ., хп) была за ключена между параллельными гиперплоскостями
П |
|
2 * i = пх, |
(4.54) |
г—1 |
|
п
2 xi = п (X + dx), |
(4.55) |
i=l |
|
S Б*] |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО |
189 |
|
и между |
концентрическими |
гиперсферами |
|
|
П |
|
|
|
2 (*г — Я)2 = |
ге°2, |
(4.56) |
г= 1
п
2 |
( x t - x y ^ n i a + daf. |
(4.57) |
|
г = 1 |
|
|
|
Гиперплоскость (4.54) |
проходит через точку (х, |
X, . . . |
|
. . ., X), являющуюся центром гиперсфер (4.56) и (4.57). |
|||
Радиус гиперсферы (4.56) |
равен а"|/ га• Расстояние между |
||
гиперплоскостями |
равно |
га dx, разность радиусов ги |
|
персфер — J^ra da. |
|
|
|
Область G есть кольцо ширины У п dx и толщины
У га da, заключенное между двумя гиперсферами и двумя гиперплоскостями. Сечение га-мерной гиперсферы плоско стью, проходящей через центр, образует (га — 1)-мерную гиперсферу того же радиуса. Объем (га — 1)-мерной ги персферы пропорционален (га — 1)-й степени ее радиуса, а площадь ее поверхности пропорциональна (га — 2)-й степени радиуса. Объем области Gравен произведению пло щади поверхности (га — 1)-мерной гиперсферы (длина ок ружности кольца) на ширину и толщину кольца. Сле довательно, объем
^ . . . § dxx .. . dxn = C1an"2 dx da, |
(4.58) |
G |
|
где все множители, содержащие степени га, включены в коэффициент Сх.
Подставляя (4.58) в (4.53), находим |
|
|
— ; т (х- х«)— т " |
dx da. (4.59) |
|
/х (х, a) dx da = С2оп-ае 2 0 |
2 0 |
|
Правая часть (4.59) разбивается |
на два |
множителя, |
из которых один зависит только от X, а второй только от а. |
||
Из этого следует, что случайные переменные X и о не |
||
зависят друг от друга. Выборочное |
среднее и стандарт |
|
190 |
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ |
[ГЛ. 1 |
нормальной генеральной совокупности взаимно незави симы. Плотности вероятностей этих случайных величии имеют вид
|
|
|
|
|
---(ж—Х0)2 |
|
|
||
|
|
|
U(z) = C3e |
2°0 |
п |
Qt |
(4.60) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/3(з) = С4з ^ е |
2°2 |
, |
(4.61) |
|||
|
|
|
|
С3С, |
= С2. |
|
(4.62) |
||
Таким образом X распредлено по нормальному закону |
|||||||||
с дисперсией, равной alln, |
и средним, равным х 0. Соглас |
||||||||
но нормировке |
нормальной |
функции |
|
||||||
|
|
|
|
|
Уп |
|
|
(4.63) |
|
|
|
|
|
|
Оо |
У2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так |
как |
а может |
принимать значения |
в промежутке |
|||||
[О, |
оо 1, |
нормировка |
С4 дает |
|
|
|
|
||
|
|
ОО |
Пет* |
|
|
п—3 |
оо |
п — 3 |
|
|
|
|
|
|
---------- |
|
|||
|
С4 ^ ап~2е |
20» |
йз |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
о |
|
|
|
„ 2 |
О |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
П—1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п—3 |
л 2 |
|
|
(4.64) |
|
|
|
|
|
|
п — 1 |
_П-1 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 2 |
Г |
|
|||
|
|
|
|
~ Т ~ |
|
|
|||
Подставляя (4.63) и (4.64) в (4.59), окончательно по |
|||||||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
п(х—У0)*+ПОа |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h (S, о)= |
|
|
|
-71—2 |
|
0(т2 |
|||
п—2 |
|
|
Vао е |
• (4-65) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
У п2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 55] |
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА |
191 |
§ 55. Распределение Стьюдента. Оценивание параметров при помощи доверительного интервала
Рассмотрим новую случайную величину
гг It — хО
(4.66)
характеризующую случайную выборку, и найдем плот ность вероятности случайного вектора (Z, о):
/ (z, a) dz da — Д (х , a) dz da =
|
„п- l |
- т - т (1+г!) |
п— 2 |
п — 1 |
dz da. (4.67) |
У я 2 ~ Г |
|
|
|
|
Чтобы найти плотность вероятности Z, проинтегри руем (4.67) по всем возможным значениям а:
р |
_И |
<4-68> |
/.(*)-■ - |
» - , ' (*+ *•) *• |
Распределение (4.68), называемое распределением Стьюдента, примечательно тем, что оно не зависит от параметров х0 и <з0 нормальной генеральной совокупности.
Введем случайную величину
U = Z ] / ^ l = -~ хп У 7 ^ 1 ; |
(4.69) |
ее распределение определяется плотностью
S (и) = |
1 + |
(4.70) |
У я (п— 1) Г (—
Вероятность того, что U по абсолютной величине не
192 |
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ |
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ |
[ГЛ. 4 |
|
превзойдет некоторого числа х > 0 , |
равна |
|
||
|
Р (— |
X |
s(u)du. |
|
|
§ |
(4-71) |
||
|
|
—X |
|
|
Подставив вместо U его выражение (4.69) в неравенства
—и < U < х,
получим равносильные им неравенства
J - х - |
< хп< |
J |
• |
(4.72) |
у п — 1 |
|
У п — 1 |
|
|
Следовательно, (4.71) можно записать в виде |
|
|||
Р (X - хТ < |
х 0 < X |
+ хТ) |
= S (х, п), |
(4.73) |
где Т согласно (4.28) есть приведенный несмещенный вы борочный стандарт,
Т = |
о |
|
|
|
У т ^ Ь i f ! < * < - ■ * ? . (« 4 ) |
||
И |
|
|
|
<5 (х, л) |
|
|
(4.75) |
Равенство (4.74) дает оценку параметра распределения |
|||
х 0 при помощи |
доверительного интервала. Доверитель |
||
ным интервалом является |
[Х — х7\ |
X -f- хТ\. Середина |
|
доверительного |
интервала |
совпадает |
с точечной оценкой |
параметра х 0. Длина доверительного интервала, равная 2хТ, может быть сделана любой, так как х произвольно. При этом соответственно изменяется надежность S (х, п). Значения этой функции приведены в таблице 6. Мож но, очевидно, решать и обратную задачу — задавать на дежность (часто ее задают равной 0,95, 0,99 или 0,999) и находить доверительный интервал, в котором с данной надежностью заключен параметр распределения.
Для оценки параметра о0 нормальной генеральной совокупности используем распределение (4.61). Для