Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
242 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
{ГЛ. 5 |
§ 68. Комплексная случайная величина. Комплексная случайная функция
В § 28 мы уже рассматривали случайные величины ви да eiiX, принимающие комплексные значения. Оста новимся на некоторых вопросах, относящихся к случай ным величинам
X = |
U + iV, |
(5.94) |
где U и V — обычные |
вещественные |
случайные ве |
личины. |
|
|
По определению M X = MU + iMV, поэтому для то го чтобы комплексная случайная величина X была цент рированной, необходимо и достаточно, чтобы были цент рированными обе вещественные случайные величины U и V.
Две |
комплексные случайные величины Х х = Ur -f |
||
+ iVi, |
Х 2 = U2 + |
iV2, называются некоррелированными, |
|
если |
|
M X t X 2= 0, |
(5.95) |
|
|
||
где Х$ |
— Ui — iVi |
есть сопряженная к |
X! комплексная |
случайная величина.
Смешанный момент второго порядка целесообразно
вводить в форме М Х хХ2с тем, чтобы при Ха = |
Х г началь |
ный момент второго порядка |
|
МХх X t = М (Ui - i V ( U t + iVx) = MU\ + |
MV\ (5.96) |
получался вещественным.
Аналогично вводится понятие случайной функции с
комплексными значениями |
|
|
X (<) = U (<) + |
iV (<), |
(5.97) |
где U (t) и V (t) — обычные вещественные |
случайные |
|
функции. |
|
|
Математическое ожидание для X (t) определяется |
||
обычным образом: |
|
|
X (t) = О (<) + |
iV (<). |
(5.98) |
Корреляционная функция дается выражением
К (<х, h) = М [X* (О - X* (tt)l IX (t2) - X (*,)], (5.99)
5 69] |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ |
СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ |
243 |
где |
|
U (t) - iV (t) |
|
|
X* {t) = |
(5.100) |
ость сопряженная комплексная функция.
Дисперсия случайной функции равна корреляционной
функции |
при значениях h |
= t2 = t |
|
||
ox (t) = |
К (t, |
t) = M IX * |
(t) - |
X* («)] IX (t) - X |
(*)] = |
= lu*(t) |
+ V2 |
(t)J - W « ]2 - |
17 (t)l2 = ab (t) + |
asy (t) |
|
|
|
|
|
|
(5.101) |
и является, следовательно, вещественной функцией. Корреляционная функция (5.89) в общем случае не
является вещественной.
Из (5.93) и (5.94) следует, что комплексная случай ная функция X (t) является центрированной, если цент рированы обе случайные функции U (t) и V (t).
Корреляционная функция комплексной стационарной центрированной случайной функции имеет вид
К 0 (т) = М [X*{t) X (t + т)]. |
(5.102) |
§ 69. Спектральное представление случайной функции
^Спектральным представлением стационарной комплекс ной центрированной случайной функции называется пред ставление ее в виде
|
X{t)= |
П |
[?/)£ cos ((0*0+ |
|
|
|
2 |
7* sill (со**)], |
(5.103) |
||
|
|
k=i |
|
|
|
где (Of. — некоторые |
(неслучайные) |
вещественные |
числа, |
||
а Uki |
(к = 1, |
2,..., п) — центрированные некоррели |
|||
рованные случайные величины с попарно равными дис персиями
DUk = D V k = D k. |
(5.104) |
Представление (5.103) имеет такую физическую интер |
|
претацию. Каждое из слагаемых |
|
th (0 = u h cos (w ft£) + Vhsin (w ht), |
(5.105) |
244 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
[ГЛ. 5 |
также являющееся случайной функцией, можно интер претировать как гармоническое колебание, имеющее опре
деленную частоту (о h, случайную амплитуду]/" и \ + Vl
и для значения аргумента t — случайную фазуагсЬg
4- mkt. В каждой реализации случайной функции (5.105) амплитуда гармонического колебания постоянна и для каждого значения t определена фаза колебания.
Таким образом, (5.103) есть сумма гармонических ко лебаний разных частот со случайными амплитудами и фазами. Для каждой реализации (5.103) есть сумма гар монических колебаний с определенными амплитудами и определенными (зависящими от t) фазами.
Использовав формулы Эйлера, перепишем (5.103) в
виде |
П |
|
|
X(t) = |
|
|
|
2 |
Ф*е{“/£г, |
(5.106) |
|
где |
к = —п |
|
|
|
|
|
|
ф*г = у [ £ Д |
|
к — 1 , 2 , . |
. . , п, |
Ф /г — у № к 4~ iVk]i |
к — |
— 1) 2, |
, П. |
При этом случайные величины Фь также обладают свойствами центрированности и некоррелированности. В частности, благодаря условию (5.104) некоррелированы Ф* и Ф ^:
МФьФ-ъ = М [4 {Uk + iVk)• у (Uk + iVk)] =
= i (MUl - MV2k) + у iMUkVk = 4 (DUк - DVk) = 0.
Корреляционная функция случайной функции (5.106)
равна |
П |
П |
/ |
К (1ъ и) = м [ 2 ф !-^ '12
\ |С=—п |
п |
= |
2 2 е ' ^ - ^ М Ф к Ф у (5.107) |
|
k——n j =—п |
§ 69] |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ |
245 |
Так как при к ф / |
|
|
|
МФ^Ф, = 0, |
(5.108) |
а при к = j |
|
|
|
МФ*кФк = ol = S k, |
(5.109) |
причем все S h вещественны и положительны, то получаем
П |
|
|
К (h,h) = 2 |
= К 0 {tt - h). |
(5.110) |
- П |
|
|
Таким образом, корреляционная функция зависит от разности аргументов.
Дисперсия случайной функции
ПП
о2* = |
Я 0(0) = 2 |
Sk = 2 МФ\Фк |
(5.111) |
|
к=—п |
к——п |
|
от аргумента t не зависит, а математическое ожидание слу |
|||
чайной функции равно нулю: |
|
||
|
П |
П |
|
MX(t) = M |
2 |
2 е1 «‘МФк= |
О,(5.11 |
|
к—~ п |
Je= —п |
|
так как ФА— центрированные случайные величины и, ■следовательно, также от аргумента не зависят. Соотно шения (5.110) — (5.112) показывают, что если справедли во представление (5.103), то X (t) есть стационарная (в широком смысле) случайная функция.
Энергия гармонического колебания, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Сле довательно, для некоторой реализации случайной вели чины
£*(0 = Фке*“к'
энергия колебания пропорциональна значению, которое
приняла случайная величина Ф^Ф^.. А величина (5.109), следовательно, пропорциональна математическому ожи данию энергии случайного колебания.
Таким образом, |
согласно (5.96) дисперсия случай |
ной функции X (t) |
пропорциональна математическому |
246 СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ ГЛ. 5
ожиданию суммарной энергии случайных гармонических колебаний, на которые функция X (t) разложена.
Совокупность частот coft гармонических колебаний, на которыеJ разложена случайная функция X (t), причем каждой частоте соответствует некоторая ненулевая сред няя энергия, образует как бы спектр, характеризующий случайную функцию. Отсюда выражение — спектральное представление случайной функции.
Предположим теперь, что в представлении (5.91) ну мерация выполнена в соответствии с возрастанием со k (с учетом знака). Кроме того, предположим, что га -> оо, так что при этом наибольшее из | со^+1 — со h | ->- 0. Для того чтобы энергия суммы случайных гармонических ко лебаний при га -у оо оставалась конечной, потребуем, чтобы каждое слагаемое в сумме (5.111) стремилось при этом к нулю. Совершая в сумме (5.106) при га —>- оо фор мальный предельный переход, получим стохастический интеграл Стилтьеса
<30 |
|
X ( t ) = J « Ф (с о ). |
(5.113) |
—со
Вэтом интеграле d<t>(со) обозначает «случайную вели чину», определяющую амплитуду и фазу колебания, со ответствующие «интервалу» частот dco.
Условию центрированности случайных величин Фй в сумме (5.106) соответствует в стохастическом интегра ле (5.113) условие центрированности «случайных вели чин» йФ (со) при любом значении со. Можно показать, что из этого следует условие центрированности и самой слу чайной функции Ф (со)
М Ф (со) = 0. |
(5.114) |
Условию некоррелированности случайных |
величин Фк |
и Ф7- в сумме (5.106) соответствует в интеграле (5.113) условие некоррелированности приращений функции Ф (со), которое можно при помощи дельта-функции запи сать так:
М [dФ* (со)-с£Ф (сох)] = S (со) б (со 1 — со) da Аох. (5.115)
S (со) называется спектральной плотностью случай ной функции X (t). Так как ДФ* (со) ДФ (со) веществен
