Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8]

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

31

но из событий системы (1.44) должно произойти. Эту пол­ ную систему событий будем обозначать jt33.

Отметим также, что

Pf Bt l A; ) + Р ( В 21А0 + . . . + Р ( 5 ь| Л г) = 1 (1.45)

при любом значении i.

§ 8. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Пусть А и В — события, которые могут происходить нри выполнении некоторого комплекса условий. Рассмот­ рим также события

АВ, АВ, АВ, Кв .

(1.46)

Согласны принятым в § 2 обозначениям, первое из этих событий состоит в том, что произошли оба события, А и В; второе состоит в том, что событие А произошло, а событие В не произошло и т. д.

События (1.46) составляют полную систему событий, так как они несовместимы и при выполнении комплекса условий одно из них обязательно произойдет.

Теперь допустим, что удалось рассмотреть полную систему п равновозможных событий такую, что каждое из событий (1.46) равно объединению некоторых событий системы, причем событию АВ благоприятны п1 событий, событию АВ — п2 событий и т. д. Поскольку (1.46) сос­

тавляет полную систему событий, т. е.

 

АВ + АВ + АВ + АВ = U,

(1.47)

ТО

 

(1.48)

Пх -f- /12 -f- ns -f- Я4= fl.

Соответствующие вероятности

рассмотренных

событий

равны

 

 

Р(АВ) = ^ . ,

(1.49)

Р {АБ) =

,

(1.50)

Р {АВ) =

— ,

(1.51)

Р ( А В ) = ^ .

(1.52)

32

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

[ГЛ. 1

В данной полной системе п равновозможных событий со­ бытию А благоприятны + пг равновозможных собы­ тий (так как А произойдет, если произойдет АВ или Ав), а событию В благоприятны + п3 равновозможных со­ бытий. Следовательно,

Р ( А ) = ^ ± ^ - ,

(1.53)

Р(В) =

(1.54)

Рассмотрим событие А В, состоящее в том, что слу­ чится хотя бы одно из событий А и В. Ему благоприятны ni + п2 + пз равновозможных событий и, следовательно,

Р(А + В)= '"- I

.

(1.55)

Сравнивая (1.52), (1.53), (1.54) и (1.55), находим

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ). (1.56)

Равенство (1.56) выражает теорему сложения вероятно стей.

В частном случае, если события А и В несовместимы, Р (АВ) — 0, (1.56) принимает вид

 

Р (А + В ) = Р (А) +

Р (В).

(1.57)

Справедливо

и

обратное утверждение:

есливыполняетс

(1.57), то события А и В несовместимы.

 

что

Найдем вероятность Р (А |

В).

Если известно,

произошло событие В, значит, произошло одно из nt +

пз

равновозможных событий. Следовательно, число всех

равновозможных событий теперь уже равно

+ п3.

Из

них событию

А

благоприятны /гх событий.Поэтому

Аналогично,

 

в <4 1в > =

^

-

<‘ -58>

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

<1 М >

 

Сравнивая (1.49), (1.53) и (1.59), получим

 

Р (АВ) = Р (А)Р (В | А).

(1.60)

§ 8]

ТЕОРЕМЫ СЛОЖ ЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

33

Равенство (1.60) выражает теорему умножения вероят­ ностей.

В частном случае, если событие В не зависит от собыия А.

Р ( В \ А ) = Р(В),

(1.61)

равенство (1.60) принимает вид

 

Р(АВ) — Р (А) Р (В).

(1.62)

Аналогично, сравнивая (1.49), (1.54) и (1.58), можно на­ писать

Р (АВ) = Р (В)Р (А | В).

(1.63)

Сравнение (1.59) и (1.62)

дает равенство

 

Р (А) Р (В \ А)

= Р (В) Р (А | В),

(1.64)

которое показывает, что

из

равенства (1.62)

следует

Р ( А \ В ) =

Р(А),

(1.65)

т. е. независимость событий есть свойство взаимное, как это уже утверждалось без доказательства в предыдущем параграфе.

Итак, если события А я В независимы, теорема умно­ жения вероятностей принимает вид (1.62). Справедливо и обратное заключение, играющее в дальнейшем важную роль: если выполняется равенство (1.62), то события А я В взаимно независимы.

Теорему умножения вероятностей (1.59) легко рас­ пространить на случай, когда число событий больше двух.

Например, для трех событий

 

 

Р (АВС) = Р (АВ)

Р (С | АВ) =

 

 

= Р (А)

Р (В | А) Р (С | АВ).

(1.66)

Методом индукции находим

общую формулу для

п со­

бытий:

 

 

 

Р (АгА г . . .Ап) =

Р (AJP (At 1А,)Р (Аа | А , А2) . . .

 

. . . Р ( А п \ А хА г . . . А п.г).

(1.67)

2 Т. А. Агекян

34

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

[ГЛ. 1

Для п независимых событий эта формула упрощается:

ПП

^ (П -4i)

= П

(1-68)

4=1 '

i= i

 

Распространим и теорему сложения (1.56) на случай числа событий, большего двух. Для трех событий находим

Р ( А + В +С) =

= Р (А А-В) + Р { С ) - Р[(А + В)С]. (1.69)

Вследствие выполнения распределительного закона (1.5) после простых преобразований находим

Р ( Л + В А-С) =

= Р( А ) + Р ( В ) А - Р ( С ) ~

- Р (АВ) - Р (ВС) - Р (СА ) + Р (АВС). (1.70)

Применяя метод индукции, можно установить теорему сложения вероятностей для п событий:

Р (A-i + А 2 + • • • -(- А п) —

= \Р (А^) А~ Р (А-г) 4~ • • • + Р (Лп)1 —

— \Р (АгА^) -f- Р (AiA^) + • • • + Р (An-iА п)\ +

+ tP (АхА гА^) + Р (АгА гА 4) - |- ... 4-^>(Л„-аЛп_1Лп)] + •••

. . . + (_!)»-! р (AlA 2 . . .

А п). (1.71)

Часто при больших п вместо равенства (1.71) удобнее использовать равенство

П

П

 

р (Ъ 4

) = i - p ( r U i ) >

(!-72)

справедливость которого очевидна и которое в случае

взаимной независимости событий

А и А 2, . . .,_Ап (тогда

взаимно независимы и события

Ж1гЛ2......... А п)

прини­

мает вид

 

 

 

р ( 2

л,) = 1 _

п

(1.73)

4=1

1

1=1

 

§ 81

ТЕОРЕМЫ СЛОЖ ЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

35

Если же события А ъ Л2, . . Ап несовместимы, то теорема сложения вероятностей (1.71) принимает прос­ тейший вид

ПП

р

( Ъ

р (4)-

(1-74)

 

4=1 '

г—1

 

З а д а ч а 12.

Из двух

колод вынимается наугад по

карте. Определить вероятность того, что: 1) обе карты окажутся масти пик, 2) хотя бы одна из карт окажется масти пик.

Р е ш е н и е . 1) Очевидно, что извлечение карты масти пик из одной колоды (И) не влияет на вероятность извлечения карты масти пик из другой колоды (В), по­ этому согласно теореме умножения вероятностей в форме

(1.62)

Р(АВ) = ± . 4 г

_1_

 

16 ‘

 

2) Согласно теореме сложения (1.56)

 

Р(А + В)

1_

J ____ 1_

_7_

4 +

4

16

16 •

 

З а д а ч а 13. Из двух

перетасованных совместно

колод извлекаются две карты. Определить вероятность того, что 1) обе карты масти пик, 2) хотя бы одна карта масти пик.

Р е ш е н и е . 1) В этой задаче, в отличие от преды­ дущей, появление карты масти пик при извлечении пер­ вой карты изменяет вероятность появления карты масти пик при извлечении второй карты, поэтому нужно при­ менять равенство (1.60):

Р ( А В ) = ±

25

_ _25_

 

103

— 412

‘

 

2) Согласно теореме сложения (1.56)

 

Р ( А + В ) = - 1 + 1

 

25

_

_181_

 

412

— 412 •

 

 

З а д а ч а 14. Найти вероятность выпадения хотя бы раз двух шестерок при 24 бросаниях пары игральных костей («задача шевалье де Мере»),

2*

Смотрите также файлы