Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Р е ш е н и е . Вероятность выпадения двух шестерок при одном бросании равна 1/36. Вероятность, что это событие не случится ни разу при 24 бросаниях, равна

Следовательно, вероятность, что две шестерки выпадут хотя бы один раз

лицу правильно предсказать погоду не зависит от того, правильно ли ее предсказал первый. Так как предсказа­ ния погоды двумя лицами разошлись, то случилось со­

Хорошая погода будет, если случилось событие АВ. Сле­ довательно, вероятность наступления хорошей погоды равна

pi (1 — pi)

pi (1 — pi) + (1 —pi) pi

З а д а ч а 16. В игре покер каждому играющему сда­ ется пять карт. Различают различные комбинации из пяти карт. Эти комбинации в порядке убывания их зна­ чения следующие А: пять карт последовательных значе­ ний одной масти, начиная от туза; В: пять карт последо­ вательных значений одной масти, начиная не от туза; С: четыре карты одинаковых значений и пятая произволь­ ная карта; D: три карты одинаковых значений и две карты одинаковых значений; Е : пять карт не последова­ тельных значений одной масти; F: пять карт последова­ тельных значений, но произвольных мастей; G: три карты

§ 81 ТЕОРЕМЫ СЛОЖ ЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 37

одинаковых значений и две неодинаковых значений; Я: две нары карт одинаковых значений и одна произволь­ ная; I: одна пара карт одинаковых значений и три нерав­ ных значений; J: случай, когда сочетание карт не явля­ ется ни одной из девяти перечисленных комбинаций.

Найти вероятность каждой из комбинаций. (Разум­ ность последовательности комбинаций должна состоять в том, что с уменьшением значения комбинации ее вероят­ ность должна возрастать.)

Р е ш е н и е . Общее число всех равновозможных со­ четаний карт у одного игрока равно Cl- Для комбинации

Аимеется всего четыре благоприятных случая, поэтому

еевероятность

Р (4) = 4 / С\г 0,000001539.

У комбинации Я 32 благоприятных случая, поэтому

Р (В) = 32 / Cl ^5 0,00001231.

Найдем вероятность при последовательном извлече­ нии карт из колоды извлечения сначала четырех одинако­ вых, а затем произвольной карты. Первая карта может быть любой. Вероятность, что вторая будет того же зна­ чения, что и первая, равна 3/51. Если это событие про­ изошло, то вероятность, что и третья карта будет того же значения, равна 2/50. Вероятность того, что и четвер­ тая карта будет того же значения, равна 1/49. Пятая карта произвольная из оставшихся. Поэтому вероятность данной последовательности карт согласно теореме умно­ жения вероятностей равна

Могут быть пять различных последовательностей (произ­ вольная карта на любом из пяти мест), при которых четыре карты окажутся одинаковых значений, а пятая карта иная. Все эти пять последовательностей имеют одинако­ вую вероятность, и они несовместимы. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей

38 С Л У ЧА Й Н 0Е1С 0БЫ ТИ Е 1ГЛ. 1

Рассуждая, как в предыдущем случае, найдем веро­ ятность одной последовательности, дающей комбинацию/):

Число различных последовательностей, дающих событие D, равно Cl. Поэтому

“ 1 • тг ■Ж ■1 ' °-ООШ1-

Число равновозможных случаев, когда все пять карт

одной масти, равно 4. Это событие подразделяется на частные случаи — события А, В и Е. Поэтому

Р (Е) = 4-С?3/С52 - Р (А) - Р (В) ^ 0,001967.

Число равновозможных случаев пяти карт последо­ вательных значений равно 9-45. Это событие подразделя­ ется на частные случаи — события А, В и F. Поэтому

Р (F) = 9-46 / Cl2— Р (Л) - Р (В) s= 0,003701.

Вероятности комбинаций G, Н, I определяются спо­ собом, использованным для комбинаций С и D:

1 суммы вероятностей всех предыдущих комбинаций:

Р (/) ,55 1 - 0,5439 = 0,4561.

Таким образом, действительно, с уменьшением зна­ чений комбинаций их вероятность возрастает.

З а д а ч а 17. Из многолетних наблюдений известна статистическая вероятность того, что в районе обсерва­ тории ночь будет ясной. В феврале она равна Р (А) = 0,18, в марте Р (В) — 0,24 и в апреле Р (С) = 0,36. Наблюда­ тель будет иметь в своем распоряжении телескоп в ночь с 5-го на 6-е и с 20-го на 21-е каждого из этих месяцев. Найти вероятность того, что программа наблюдений

будет выполнена, если для ее выполнения требуется:

1)одна ясная ночь, 2) две ясные ночи.

Ре ш е н и е . Так как представленные астроному ночи наблюдений отделены друг от друга значительным перио­ дом — 15 дней, можно считать, что вероятность следую­ щей ночи быть ясной не зависит от того, была ли ясной предыдущая ночь наблюдений. Рассматриваемые события взаимно независимы.

1)Удобно использовать равенство (1.73); искомая вероятность равна

1- (0,82)2’(0,76)2(0,64)2 == 0,84.

2)И в этом случае искомую вероятность удобнее сос­ читать, вычтя из единицы вероятность того, что ни одна

ночь не будет ясной, и вероятность’того, что только одна ночь будет ясной:

Р= 1—0,16—2-0,18.0,82-(0,76)2-(0,64)2 -

-2 • (0,82)2>0,24 -0,76 • (0,64)2 -

- 2 • (0,82)2 • (0,76)2 -0,36 • 0,64 ^ 0,49.

3 а д а ч а 18. В некоторой местности вероятность того, что погода в данный день будет такой же, как и в преды­

день дождливый и п-й день также дождливый, имеет ве­ роятность p n-ip. Вероятность события, состоящего в том, что (п — 1)-й день не дождливый, а п-й — дождливый, равна (1 — pn-i)(l — ч)- Событие {п-й день дождливый} состоится, если произойдет одно из этих двух несовмести­ мых событий. Следовательно,

Рп = Pn-lP + ( 1 — />n-i)(l — Ч) =

= Pn-i(P + 9 — 1) + (1 ~ 9).

Применяя эту рекуррентную формулу п — 1 раз, получим

Рп — (р + 9 l)71*1Pi +11 + {р + 9 — 1) +

+ (р + ? - 1 ) * + . . . +(р + д - 1 Г 11(1 - д ) , (1.75)

что и дает решение задачи.

3 а д а ч а 20. В условии задачи 7 найти вероятность того, что ровно тп зрителей (т п) будут сидеть на своих местах.

Р е ш е н и е . Вероятность того, что определенные т зрителей будут сидеть на своих местах, равна

(га — т)\

га! *

Вероятность того, что остальные п — т зрителей при этом окажутся сидящими не на своих местах, согласно

вадаче 7 равна

п~m

По теореме умножения вероятность того, что определен­ ные тп зрителей окажутся на своих местах, а остальные зрители — не на своих местах, равна

Но из п зрителей определенные тп зрителей могут быть

выбраны Сп различными способами. Как бы ни были выбраны эти тп зрителей, вероятность того, что они ока­ жутся на своих местах, а остальные зрители — не на своих местах, определяется выражением (1.76). Все эти случаи несовместимы. Поэтому вероятность того, что какие-то тп зрителей окажутся на своих местах, а осталь­ ные п — тп зрителей — не на своих местах, равна, согла­

сно теореме сложения вероятностей, произведению (1.76) w r*m

ИС п

—m

атома за время dt равна %dt. Вероятность распада атома не зависит от того, как долго атом уже существует, не распадаясь. Поэтому X не зависит от времени. Какова вероятность распада атома за время t? Найти зависимость между коэффициентом X и временем полураспада Т.