Файл: Юсупбеков Н.Р. Автоматизация технологических процессов производства растительных масел.pdf

где т и п — любые целые положительные числа (обыч­ но т •< л); ап, . . ., а0; Ьт, .. ., Ь0— постоянные коэф­ фициенты, определяемые параметрами системы.

Данное дифференциальное уравнение описывает движение системы во времени в неустановившемся ре­ жиме. Для установившегося режима функционирова­ ния системы характерно, что производные в уравнении (2 ) обращаются в нуль, так как выходной параметр хВЬ1Х. не изменяется. При этом дифференциальное уравнение (2 ) обращается в алгебраическое:

(3)

Это уравнение (3), связывающее выходную и входную переменные системы в стационарном режиме, является статической характеристикой линейной системы.

альное уравнение (2 ) при известном характере входно­

Для того, чтобы решить линейное дифференциаль­ ное уравнение, необходимо найти общее и частное ре­ шения однородного уравнения, получить общее реше­ ние неоднородного уравнения и наконец, собственно решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Для линейных систем справедлив принцип супер­ позиции, состоящий в том, что реакция линейной сис­ темы на сумму входных сигналов равна сумме ее реакций на каждый из входных воздействий в отдельности.

Поскольку линейная система подчиняется принципу суперпозиции, нет необходимости рассматривать эф­ фект одновременного воздействия нескольких возму­ щающих воздействий в уравнениях, характеризующих поведение системы, а достаточно оставить одно из воздействий. Нас обычно интересует изменение во времени регулируемой величины, поэтому достаточно

одного дифференциального уравнения процесса регули­ рования (2 ), в котором бы фигурировали входная и выходная переменные системы.

На практике получили распространение типовые внеш­ ние воздействия: однократный мгновенный скачок, мгновенный импульс или синусоидальное входное воз­ действие. Типовые воздействия в виде мгновенных скачка или импульса обычно берут единичными, руко­ водствуясь соображением, что полученное таким об­ разом решение достаточно затем просто умножить на величину фактического скачка или импульса, чтобы

В соответствии с тем, что к моменту t — 0 можно приб­

Она отличается тем, что ее площадь при любом И. (и в том случае, когда h -> 0) равна единице. Таким обра­ зом, если перейти к пределу (8), получаем импульс с

бесконечно большим значением х вх., но с нулевой дли­ тельностью. При этом величина импульса (или ее пло­

34

Они определяют состояние системы в момент t — 0, с которого, собственно, начинается изучение процесса

врассматриваемой системе [4].

Вслучаях, когда при t — 0 происходит мгновенное воздействие (в виде скачка, импульса или другой фор­ мы), есть определенный физический смысл различать моменты времени t — — 0 (начало скачка) и t — + 0 (ко­ нец скачка). Эти моменты соответствуют двум различ­ ным состояниям системы, в действительности весьма близким друг к другу по времени, но которые, однако, отличаются друг от друга значениями координат, ско­ ростей и прочих переменных величин.

Таким образом, важно четко различать, что именно мы понимаем в данном случае под начальными усло­ виями — состояние системы в момент, предшествующий скачку, или же в момент времени, следующий сразу

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ ЛИНЕЙНЫХ САР

Анализ систем автоматического регулирования воз­ можен для действующих систем. Задачи синтеза САР возникают на стадии проектирования новых систем регулирования.

35

Анализ САР состоит в составлении дифференциаль­ ного уравнения по уравнениям составных элементов и связей, решении этого уравнения и построении графи­ ков переходного процесса. Последние служат материа­ лом для оценки качества действующей системы.

Синтез САР состоит в определении структуры системы, обеспечивающей наилучшие показатели качества регу­ лирования, и в составлении соответствующих уравне­ ний.

При анализе и синтезе САР чаще пользуются не дифференциальными уравнениями, а так называемыми передаточными функциями. Обращение с передаточ­ ными функциями значительно проще, чем с дифферен­ циальными уравнениями или интегральными уравнени­ ями типа свертки. В связи с этим большинство методов анализа и синтеза систем регулирования основывается на математическом аппарате преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа—функциональное преобра­ зование, при котором функция вещественного пере­ менного (в том числе и функция времени) преобра­ зуется в функцию комплексного переменного.

Преобразование Лапласа позволяет вместо дифферен­ циальных и интегральных уравнений пользоваться алгебраическими — операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умножения и деления. Кроме того, операторная форма записи диф­ ференциальных уравнений облегчает переход из временной области в частотную. В инженерной же практике расчета САР распространены частотные методы.

Для некоторой функции времени f ( t ) преобразо­ вание Лапласа записывается в следующем виде:

разованию Лапласа и называемую оригиналом, накла­ дывается ограничение

36

Полученную в результате преобразования Лапласа функцию называют изображением.

Таким образом, оригиналу f ( t ) соответствует изоб­ ражение F (Р).

Операция отыскания оригинала по его изображению называется обратным преобразованием Лапласа.

вещественного переменного в соответствующую функ­ цию комплексного переменного, к поискам решения в области комплексного переменного и, наконец, к обратному преобразованию полученного решения из области комплексного переменного в вещественную область.

Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Преобразование Лапласа является операцией линейной, поэтому сумма оригиналов при любом

2. В силу того же свойства линейности изображе­ ние, соответствующее оригиналу, умноженному на посто­ янную величину, равно изображению оригинала, умно­ женному на эту величину:

L \Kf(t)\ = KF(P),

37