Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 0
(5.93), Р. Калман нашел для оценки процесса Дифференциальное
у р а в н е н ие
|
|
|
|
{5.97) |
' d t |
|
|
|
|
г>е |
|
|
|
|
N |
матрица, обратная no |
отношению |
« |
матрице спект |
ральной |
плотности мощности белого |
шумя n(t), |
а |
матрица |
определяется как решение дифференциально-матричного уравне
ния Риккагн:
d t
(.5.49)
Это уравнение, называемое дисперсионным, определяет структуру и потенциальные возможности оптимального физически реализуемого фильтра .
Решение уравнения (5.99) имеет вид
причем |
С5.100) |
0JLt,O) =
блочная переходная матрица системы линейных уравнений
- ц Г " |
~ ~ f |
W a c t t i t . H |
U ) |
N 0 • H(,t) • у (Л) • |
||
|
|
|
|
|
|
C$.102) |
' |
d t |
- |
. • |
- |
• |
• |
a_P0 — |
матрица" начальных |
условий. |
||||
Используя переходную матрицу VV.r) для системы (5.97), удовлетворяющую уравнению
но
при условии
импульсную переходную функцию оптнмального . фильтра (решение интегрального уравнения Винера — Хопфа) можно записать в виде
K t ^ - ^ t ^ P w H ^ i i ' , 1 . |
' А 1(15) |
В рассматриваемом примере имеем
(.5.106)
dt
Бслучае бесконечного времени наблюдения дисперсии ошибок оценок процессов находятся из системы уравнении (5.106) прирав ниванием нулю правой части сцстемы уравнений:
Что совпадает с выражением (5.84), полученным другим способом. Кроме того, из системы уравнений (5.106) следует, что
при |
I + |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Р.. = 0 ; |
|
|
. |
. ^ |
||
|
|
|
Р.. |
=• |
CQavt . |
|
|
|
|
Д л я |
получения решения |
системы |
уравнений (5.106) |
прн |
нуле |
||||
вых |
начальных |
условиях |
необходимо |
найти матрицы 4 |
§„(.t,a) , |
||||
©at ( t , о ) , являющиеся частью |
блочной переходной |
матрицы |
|||||||
(5 101) |
системы |
линейных |
|
уравнений |
|
|
|||
M l
dLt
it |
0 ; |
|
ч5.Ю9)
1 1 ^ . , о ;
At
О.
Собственные числа матриич коэффициентов системы уравнении (Г..109) раины
|
|
|
|
|
|
|
\5.H0) |
11ри этом можнп показать, »по матрицы |
|
94 1 (Л) |
|
и ®г.,<-*) имеют |
|||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
О • |
, |
i |
. |
i |
, . |
. |
,0 |
О |
, |
О |
, |
i |
, . |
. |
, О |
0 |
, |
i |
. |
i " i , . . . , 0 |
0 |
, 0 |
|
|
, i , . . . , o |
• 0 |
, |
0 |
|
» 0 , . . . ,1 J |
И 2
Т ак им образом, используя уравнения (5.100), получим
0 |
, |
1 , . . . |
, 0 |
|
, |
0 , . |
i |
М а т р и ц а , усиления K(t) |
имеет |
вид |
|
О , . - , О
о |
, . |
. , о |
Структура оптимального |
группового фильтра в канонической |
|
ф о р м е К а л м а н а определяется |
уравнением |
|
dt
Рмс. 5.1. Структура алгоритма групповой оценки вннеровского процесса первого порядка.
Структурная схема измерителя приведена на рис. 5.1. Используя уравнение (5.103)> можно показать, что
С учетом уравнении (5.105) цапле м
|
|
|
|
|
|
|
кьмч) |
^ • | f U , t ) = |
0 |
при |
i * L |
|
|
|
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л«й) |
fi.4. |
О П Т И М А Л Ь Н Ы Е А Л Г О Р И Т М Ы |
Г Р У П П О В О Й Л И Н Е Й Н О Й |
|||||
|
.'->МЛ »>А П О Л И Ц И И ГАУССОВОГО |
П Р О Ц Е С С А |
|
||||
Пусть |
колебание |
(5.1) |
наблюдается "на интервале |
времени на |
|||
блюдения |
Т б ( - « , t |
) , а требуется указать |
оценку процесса";? ( f 0 ) |
||||
при i 0 = t * т . _ , |
т „ |
> 0 . |
|
|
|
|
|
Используя соотношение |
(2.19b) при |
\(Л> - |
, ' с учетом |
||||
выражения |
(5.72) |
получим |
|
|
|
||
iде |
-«> k,t*i |
|
(.5.120) |
Функции |
U'.t* ^ 6 , t ) , определяющая структуру и потенциаль |
ные ио.чможности" оптимального грунноного |
зкетраполятора . нахо |
дится из интегрального ураннсния (2. Н)7) |
/ |
А |
|
где |
|
S 11 |
|
\
|
В частности, если справедливо |
соотношение |
(5.73), |
то, |
учиты |
||||
вая |
(5.74) и |
(5.7G), |
перепишем уравнение (5.91) |
в виде |
|
|
|||
|
- -оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ ^ t u 0 |
,<Ю |
UCV + t ^ |
O . |
|
15.^) |
||
Средняя |
квадратпческая |
ошибка |
экстраполяции равна |
|
|||||
|
|
|
*l |
^ |
= L t t u , t J . |
|
|
1А125) |
|
В случае |
наблюдения |
на полуоси |
стационарных процессов |
вмес |
|||||
то уравнения |
(5.93) |
будем |
иметь при условии равенства |
(5.73) |
|||||
|
|
О |
|
|
ft |
0 |
|
|
|
где |
введено |
обозначение |
|
|
|
|
|
||
Оператор |
экстраполяции |
примет |
вид |
|
|
|
|||
|
|
" |
0 0 |
п. |
|
|
|
|
|
где
\ t - 6 |
- ^ = 4"^ L t U - t ) ; |
C5..29) |
*0 |
|
|
0 o |
= ^ A U - ) > . |
ад |
I'.cjiu интервал и|>еменп наблюдения имеет фиксированную д л и т телыюсть, равную У, то оператор физически реализуемой экстрапо ляции пмеег вид (5.89), где в качестве нижнего предела интегри ровании следует положить t — T. Аналогичную замену нижнего предела интегрирования необходимо, выполнить и в интегральных
уравнениях (5.91), (5.93).
