Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 0
ма имеем |
теперь |
уравнение |
Вольтерра. |
|
на^-ос.) по |
||||||
Заменяя |
нижний |
предел |
в соотношении (5.19) |
||||||||
ручим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
* * — |
|
|
<•"» |
При этом функция |
Q ^ i o - ) , как и |
Нд'ца) |
имеет полюсы только в |
||||||||
верхней |
полуплоскости ш. |
|
|
|
|
|
|||||
Таким |
образом, |
|
соотношения (5.20), (5.17), (5.15),. (5.12) |
дают |
|||||||
решение |
задачи синтеза |
физически реализуемой системы |
оценки |
||||||||
процесса |
|
при т — =-э : |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г |
- |
|
Т |
п |
|
|
'• |
|
|
Оценка |
процесса |
k(t) |
характеризуется |
дисперсией |
коррелиро |
||||||
ванной |
составляющей |
|
|
|
|
|
|
||||
^ » |
|
— |
j |
— = ~ |
t i m . |
\о |
|
5 — |
|
V.J*C^ |
|
AW |
|
Нг 0 |
|
|
|
\\\ |
|
|
|||
и спектральной плотностью мощности остаточного белого шума:
Н
В случае единственной реализации
j
имеем тривиальный результат;
W ) = ^ o o ;
. |
Г / \ a t - t ) = K V 4 i - t ) + r 4 , . - B ^ - t \ i * * ; |
Эффективность совместной оценки процесса можно характери зовать как по уменьшению дисперсии регулярной составляющей погрешности измерения,1 так и по ослаблению спектральной плот ности мощности составляющей типа белого шума.
Введем коэффициенты эффективности многоканальной обра ботки соотношениями
130'
Set)
Рассмотрим некоторые |
частные случаи. |
6.8. ОПТИМАЛЬНЫЕ |
АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ПРОЦЕССА |
Д Л Я НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЕВ КОНКРЕТИЗАЦИИ |
|
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ |
ФУНКЦИИ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ |
Рассмотрим вначале часто встречающийся на практике случай, когда шумы n(t) некоррелнрованы во времени. При этом
Обработка входных колебаний сводится к взвешенному усред нению:
SKI**,- |
- ^ |
" |
° |
( |
• |
Если шумы в каждом канале взаимно некоррелнрованы, то матриц» V днагоналъна;
^ 0
так что
п. |
- г |
. |
И |
в-.' |
|
kz.\ |
k |
|
131
|
|
|
|
(5.33) |
•При |
^ - |
- • • • = <з\г = |
<r |
|
имеем |
среднее |
арифметическое; |
|
|
|
|
. |
S e t - * } • |
CS.'lO |
|
|
h. |
|
|
Д л я |
коэффициента эффективности в случае (5.31) имеем вы |
|||
ражение |
|
|
|
|
Пусть теперь коррелированная составляющая |
шумов |
представ |
|
л я е т |
собой n-мерный стационарный процесс с |
полной |
.корреля |
цией, |
когда |
|
|
К СО) = |
- |
|
|
|
|
(5.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
V |
^ |
" |
г- 2 |
|
|
|
||||
Используя |
соотношения (5.12) и |
(5.13), |
получим |
|||
|
|
|
|
г |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.Ь8) |
|
к,е=ч |
w.e |
|
|
|
|
. Функция Н\Ц—т), необходимая |
при решении |
уравнения (5.19). |
||||
имеет следующее изображение |
по |
Фурье: |
|
|
||
|
Н1 t i w ) = |
|
2 < С 0 |
£ |
|
|
|
С1+ a") ( a * |
j c o f 0 |
) |
|||
причем 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(5АО)
кд,)Л=г *1 |
и |
В соответствии |
с |
(5.20) получим |
|
|
|||
|
|
|
Не |
|
С5.М) |
||
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2б |
|
|
|
Если компоненты |
процесса |
n(t) |
некоррелнрованы м е ж д у |
cow |
|||
Сой и |
|
|
|
|
. |
|
' |
то |
|
|
|
|
|
ч5ЛЭ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 u»t,vт |
1 ; |
1.5 Л V) |
||
|
|
|
|
|
|
||
Прй~этом |
|
|
|
Ко |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим также случай, |
когда "v/О — |
многомерный |
вине- |
||||
ровский |
процесс |
первого порядки |
с-полной |
корреляцией |
|
||
Такой процесс получается при идеальноминтегрировании вектор ного белого шума с корреляционной мйтринеб вида
> | 1 Л ; ...
3
Ч5А7).
- - • »
Соотношения метода неопределенны* коэффициентов приво* дят к следующему результату:
15Л&)
J . 1 3 3
Д а л е е имеем
d
|
|
-4 |
|
d = S |
К |
> Г а Т к / ( о • |
15.50 |
d
Если положить, что белые шумы, формирующие винеровский процесс, независимы и имеют одинаковую спектральную плотность
мощности, то при |
К |
= ~=— § |
получим |
- \ l - 7 ~ , d = — - , <3\
Величина Я?, |
зависи . от времени, поскольку |
дисперсия |
вине- |
||
ровского процесс? первого порядка, определяющая |
погрешность |
||||
оценки процесса |
при |
единственной реализации, |
равна |
В • t. |
|
В рассмотренных |
з а д а ч а х при групповой оценке процесса |
основ |
|||
ную роль играют операции взвешенного усреднения по а н с а м б л ю
реализаций . Л и н е й н а я . фильтрация |
учитывает |
корреляционные, |
свойства помете. Представляет интерес |
обсудить |
вопросы, связан |
ные с использованием априорной информации относительно оцени ваемого процесса.
6.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ _ПРИ_ХРуППОВОЙ ОЦЕНКЕ ПРОЦЕССА
П р и конечных интервалах времени наблюдения," как правило, допустима аппроксимация оцениваемого процесса полиномом
ы' •
1 - 0
134
Л о г а р и ф м |
функции правдоподобия векторного |
параметра |
^ + |
• • • •> л w "\ ' при наблюдении аддитивной смеси |
|
(5,0 имеет |
вид |
|
Дифференцируя по параметрам A-v , получим систему уравнений максимального правдоподобия:
N
где
<*.. - U £ b ' . U ^ t V dt dt ;
J |
1 |
0 |
"l |
I,к.енPH |
|
6 |
|
||
|
|
т т |
rt |
|
a a
Вводя матрицу Ф, состоящую из элементов ^ t ] , н ей о б р а т н у о , допишем соотношение для вектора искомых оценок:
|
|
X = ф " 1 |
• V . |
1.5.58) |
|
В простейшем случае, когда |
допустимо полагать |
>,(Д)v x „ струк |
|||
тура обработки |
определится |
соотношением" |
|
||
|
\ \ |
£' к |
U , t ) 1 W d t d t |
|
|
|
Т Т |
п- |
|
|
15.S9) |
0 |
|
|
|
||
Дисперсия |
оценки |
среднегоравна |
|
||
В частных случаях (5.28), (5.31) и (5.34) имеем соответственно
ч |
J t 4 |
« H ^ d t |
|
-г |
« |
|
|
^ о = - " 1 - ^ |
Г 5 — ^ |
J |
\ |
- Т |
S N ; |
^ |
|
|
|
у ' 1 |
|
|
• цен |
|
|
"кС
