Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 0
З а м е т им т а к ж е , что для решения интегрального уравнения (5.96) используют метод неопределенных коэффициентов, однако,
наличие |
в правой части параметра упреждения т а накладывает на |
||
функцию |
Ч У ( / ( 1 ) ) дополнительные условия |
[95]. В общем |
случае для |
решения |
этих интегральных уравнении |
необходимо |
использовать |
Ц В М . |
|
|
|
Если решение задачи оптимальной фильтрации найдено в кано
нической форме |
Калмана, то алгоритм экстраполяции имеет |
вид |
|
где Ф < Л + t u ,1} |
— |
переходная функция, удовлетворяющая |
од |
нородному уравнению |
|
|
|
dt
Положим для примера, что ?:(0 описывается уравнением
d X l t l |
X ^ t |
«п^О •, ^ ) т ^ > * 6 ^ t t - t ) . (5.fti) |
d t |
|
|
При этом вместо |
(5.132) |
имеем |
ФСЛ,*) - е э с р ^ - р ( * - т ) ^ . |
(5.134) |
Таким образом .
|
5.5. |
О П Т И М А Л Ь Н Ы Е О Ц Е Н К И П А Р А М Е Т Р О В |
|
|||
|
К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н О Й Ф У Н К Ц И И П Р О Ц Е С С А |
|
||||
|
Л Р И М Н О Г О К А Н А Л Ь Н О М Н А Б Л Ю Д Е Н И И |
|
||||
Рассмотрим з а д а ч у оценки параметров .корреляционной |
функ |
|||||
ции. W(г, т) процесса Я(/) |
при |
многоканальном |
наблюдении |
(5.1) |
||
П о л о ж и м |
для |
простоты, |
что |
< у ^ 0 > ="5 , а |
аддитивные |
Шумы |
белые с |
корреляционной |
матрицей |
|
|
||
Мб'
< n (ЛЛ " r l \ t ) ) = У К Ь ^ . |
(5.1 Л ) |
rijiji этом корреляционная матричная «функции,'характеризующая процесс (5.1), имеет пил
Конкретизируем задачу, подожни
Необходимо по |
рса.'инацпп |
процесса |
'(5.1) д а г ь оптимальные |
оценки параметрам |
<згх и |т |
и указать |
их дисперсии. Оператор |
обработки данных |
формирует |
функцию |
|
тт
ядисперсии пси .in готически несмещенных оценок максимального
прандоподо7)Т|й~определиютси соотношениями
|
|
|
s - 2 |
= & |
и 1 |
<??' = |
& |
, |
tf^O |
|
|
|
|
б" |
|
. |
9> |
|
гг - ' |
|
|
где |
& u ? |
о"гг |
- диагональные |
элементы матрицы Z = Ф |
, при |
|||||
чем для |
элемента матрицы |
Ф имеем |
ныпаженне |
|
||||||
о 0
Здесь
Обрагио - корреляцнопиую матричную функцию находим'n ниде
R ^r4 i,Tr,xV = - |
l ' ®(Л,<с,1у\Г 4 |
\ f 1 |
S (,т.-<0 |
, CJ5. |
|
п р и н т о м для 11спомог:1тел- .нои'фуи.чцнн |
Н(/, т, А.) |
имеем |
интеграль |
||
ное урчннспне |
|
|
|
|
|
Т |
-< |
- |
|
' |
• |
\ ( S K t ^ ' X ^ V |
-E.-Vl(.«c,G',X, )dt |
+ 9 ( . , t , f f . ^ |
- |
||
о.
Б у д е м . и н т е р е с о в а т ь ся случаем, когда интервал времени наблю дения значительно превышает радиус корреляции стационарного процесса т. е. когда р т *•=>• i .
Вводя преобразование по Фурье функции №(ш), в ( ы ) , получим
Если процесс X(t) имеет корреляционную функцию (5.139), то
?+ w
Выполняя вычисления а соответствии с соотношениями (5.145), (5.146). получим
Э,о) = |
г - |
Обозначив |
k » e |
* > ы |
'перепишем соотношение (5.147)
так что
|
.2 |
|
|
|
|
®Cfc-0 = — |
* |
L . |
(5.150) |
Таким |
образом . |
|
|
|
о " 1 , |
2 \ , r - V , f - i |
|
- a ^ u i t p ' l t - T l |
|
|
|
|
|
|
|
|
C5-I50 |
Соотношения |
(5.140), (5.141), |
(5.142), |
(5.138) и |
(5.151). ре |
|||
шают |
поставленную |
задачу. |
Вычислим |
соотношение |
(5.142) i п> |
||
предположении, |
что |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
C5.I52) |
При |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
- j M t - * l |
Ы„ |
|
|
(.5.153) |
|
|
|
- |
г |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ 1 |
JJN |
|
к н . , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П О С К О Л Ь К У
то
f Р - j i l t ' " * ! - p ^ j u k £ l i - ^ | 2 ?
н* - L jb4 л +
15.154)
Полагая, что |
(Д -v >fl + к ^ ) I ^ > 1 , получим прибли |
женно |
|
2 к 2 Т |
к _ - 2 > l i + к , ' ) |
к Е |
п Т |
к -с* L ; |
|
при |
A N ,
15,155)
при |
к > > L - |
Вычисляя выражения |
f |
2 |
' |
а |
и |
f |
* ' |
составим |
матрицу |
|||
Ф и шеоар |
|
|
|
° \ |
&х |
|
У' |
|
|
|||
|
Т - |
к . |
|
|
|
k z |
а Т |
|
|
|
|
|
|
|
16 ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к £ - |
л Т |
|
|
|
2 л |
Т |
|
при.к |
|
||
|
|
4N_ р> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф . - |
Ч к £ Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5. «56) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 к |
Т |
|
при к^=-^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2N, |
~~ |
|
|
|
2 |
. |
э/г |
|
|
|
|
|
|
• o f ^ l k j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионная |
матрица |
2 |
= |
|
Ф |
|
имеет |
вид |
при к т |
<•<• I ' |
||
|
|
|
|
32 Ji . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
к 2 Т п г |
|
|
кТ, |
|
|
||||
|
X |
- |
4 1ч,р |
|
|
|
|
|
(5.157) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
к Т а г |
|
|
h . 2 T |
|
|
|
||
При ^ £ ^ > 1 , к а к |
и прежде, |
совместная оценка |
параметров |
|||||||||
иР невозможна, поскольку дисперсии ошибок бесконечно велики. 'Положим теперь, что процесс K(t) — нинеровскпй первого по
рядка, корреляционная функция которого имеет вид
|
|
VTCh,*) = В - mi-h. |
(t . t) |
05.158) |
||||
Д л я |
оценки параметра |
В |
вновь |
определим функцию |
В(со), |
|||
#мея в |
виду, |
что |
|
|
|
|
" |
|
|
|
^ < . " ) = |
- ^ г |
• |
|
(5.(59) |
||
Используя |
соотношения |
(5.145) |
и |
(5.159), получим |
|
|||
|
9 ( Л 0 ) = |
|
S^ |
|
|
|
(5.160) |
|
|
|
и г + В |
V |
- L |
|
|
||
|
|
|
к.Ы |
|
^ |
|
|
|
'150;
