Файл: Хомяков Э.Н. Вопросы статистической теории оптимальных измерительных систем. Основание для расчета и проектирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
Обозначив элемент матрицы |
через С, |
р |
за |
пишем вместо-соотношения (1.13) |
l J |
^ ^ P S |
' |
Введем вспомогательную матрицу
где u t , дос , л у ,Л г |
— шаг |
дискретизации |
области наблюдения |
S2'^t t (.0,т)ЛЧ(?\ |
по осям /, х, у, г |
соответственно. При |
|
»том ( I . I ' I ) перепишется в |
виде |
|
|
Кроме toi'o, из определения обратной матрицы следует, что
к
|
|
At US |
ML |
Выполняя |
предельный |
переход при ut—"0, U X - * Q , U IJ~-Q , ьг—Ъ, |
|
N-*.во, вместо |
(1.16) и |
(1.17) |
получим: |
т т
т
OR |
' |
i че |
|
|
|
|
|
К |
t'ii11 |
k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
*t |
- о . |
ы ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
дх |
- 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ДО, |
-' 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(l-c'0',1 |
||||
ClooTiioineiilit |
( 1.18) |
• дскч |
апалп i нчсскyio |
j a i n u |
i, |
ф у н к ц н о н а д : ' |
|||||||||||||||
плотноеin |
Mi'|><)!i i ноет и |
гауссоногп |
поля |
n(t.f) |
при |
к ( t , r |
) |
=• U . |
|||||||||||||
Нормирующий м и о ж и ю л ь и |
(I |
U>) |
iif. |
J i i i i n i H I |
o r |
конкретной |
реа |
||||||||||||||
лизации вектора |
it. '-Jта закономерность |
coxpanvieicsi |
и |
it |
пречедь |
||||||||||||||||
иом |
случае |
бесконечномерною |
upoc i р а н е т а . |
Однако нормирую |
|||||||||||||||||
щий |
множитель |
при |
переходе |
к |
пре.челу |
о б р а щ а е и н |
либо |
п |
пуль, |
||||||||||||
либо п бесконечное!к. В э ю м |
можно убедиться |
на п р о с т м |
|
примере. |
|||||||||||||||||
Рассмотрим |
плотность |
иероя H I O C I и |
ne.viopa |
ij |
гауссоных |
ш-заииси- |
|||||||||||||||
Mbix |
случайных |
величии, порожденною |
белым |
н |
полосе |
частот |
|||||||||||||||
(0,1') шумом |
сп |
спектральной ii.Toi иоегыо |
мощноеI п |
Л',к |
При |
атом |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
[ d e t A - ( 2 F N 0 ) r t |
, |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|||||||
где |
N=<?FT |
|
P'a-t-Aiejinocib |
|
некюрн |
//"; |
|
|
|
|
|
|
I - N • А. |
||||||||
|
|
-у |
|
|
ч.тпчетыюсп, |
ишернал а |
наблюдения |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
причем |
д |
— ~ - |
|
шаг |
дискретизации |
|
отрезка |
|||||||||
|
|
|
|
|
{(>./') |
|
|
2 |
( Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11сноль.|\я |
|
eooi ношения |
|1'21). |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
iKHM |
образом, |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
К |
= |
C u n ( . AlrFNo - ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( I ? / , ) |
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из иослечнего |
соогиоин пня |
г .те.чует; |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Г |
О |
при |
4-ft FN |
> |
1. |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
к |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а а ? П |
||
|
н |
|
|
|
t ^ |
при |
|
V t t F N Q |
< 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1;с,тн рассмотрен, |
подпространства |
векторов |
с |
одинаковой |
кор |
||||||||||||||||
реляционной |
матрицей, |
но |
с |
различными |
средними |
значениями |
|||||||||||||||
Содпо из которых М 0 4 К И . О положить рапным пулю), то отношение пероятпосIпых мер оеташ-тся конечным п п предельном с.т\чае.
,18
Допстпичсльно iii/iio.'ii,)\я соотношения (I КО. помучим при фиксп рованпоп величине m.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m , |
т |
|
i пк 'iго |
|
|
|
|
|
|
Г |
т г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.87)' |
При фиксированной реаличацин //(/J соотношение |
(1.27) явля |
|||||
ется функционалом |
относительно |
my (,f> |
и |
называется |
функцио |
|
налом отношения |
правдоподобия |
|
|
|
|
|
Функционалы типа (1.27) находит широкие применение в ча- |
||||||
дачах синтеза измерительных систем, когда |
|
наблюдаемся |
регуляр |
|||
ные сигналы на фоне i ауссопыч |
помех. Так, |
если |
|
|
||
то при |
|
с к а , р |
- о . |
|
|
|
|
|
(.(.29-) |
При |
ч г о м |
ф \ i l K m i o i K K i |
о н ю н п п п н п р а в д о п о д о б и я |
П р и м е т в и д , |
aiia/ioi |
II ч 111tiii |
(\'J7) |
г т |
|
~~ Л и н е й н ы м о г п о с п т е ч Ь П о |
tilt,?) ф у п к и п о П а л ' p H n d { y ( t ! F ) U r t i F ) \ |
п р е д с т а в л я е т с о б о й с л \ ч а Г т \ 1 о в е л и ч и н у , д л и к о т о р о й |
|
t T |
-1 |
0 0 R Щ. т т |
|
0 0RR |
И) |
а
1 I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
Последнее |
слагаемое |
в формуле |
(1.31 )• носит |
название |
(рунк |
||||||
•цин неопределенности. Она обычно обозначается |
через |
|
|
|||||||||
где |
Лис-tit,"^) |
истинное значение обобщенного параметра, со |
||||||||||
отвегствующее |
фиксированной |
реализации |
y(t,"r). |
|
|
|
|
|||||
вых |
Рассмотрим |
геперь два подпространства |
У, и V a |
о |
М4 |
из |
гауссо |
|||||
случайных |
векторов. Пусть |
пространство i \ |
состоит |
векто |
||||||||
ров |
~у, характеризуемых |
пулевым |
средним |
значением |
п |
корреля |
||||||
ционной матрицей Л]. Положим |
также, что векторы |
из У а |
.характе |
|||||||||
ризуются средним значением |
т . |
и |
корреляционной |
|
матрицей |
|||||||
В работе [13| показано, что отношение гауссовых мер типа
будет конечным и в предельном случае контниуальпых пространен!, причем
Ы -*-<х> v Т Г
0 о к . о r |
(.1.35) |
а о
если |
|
|
|
|
|
|
.Функционалы типа (1.34) используются |
при |
"решении |
широкого |
|||
класса задач измерения параметров |
флуктуирующих |
с и г н а л о в , |
||||
наблюдаемых па фоне белого гауссового |
шума. |
При этом часто" |
||||
оказывается, что |
от |
параметра X0(t,7) |
зависит |
корреляционная |
||
функция |
|
|
|
|
|
|
3 ряде случаев |
(например, при оценке |
энергетических |
парамет |
|||
ров флуктуирующих |
сигналов) это влечет |
за собой зависимость от |
||||
параметра величины f .
При измерении случайных процессов для решения задач опти мизации могут быть использованы отношения вероятностных мер,
определенных как двумерные функционалы |
плотности вероят |
ности: |
|
^ Ь ( Л , г ) а и , г ) ) |
- |
as*?)
Функционал (1.37) представляет собой произведение двух функционалов отношении правдоподобия. Первый из них является
функционалом типа |
(1.27). Конечность функционала отношения |
правдоподобия |
- |
обуслов.'нпа тем |
обстоятельством, |
что нормирующий |
множитель в |
||||||
выражении |
для |
P { A t t , r ) } |
совпадает |
со |
знаменателем |
(1,38). |
|||
Конкретные задачи |
синтеза |
оптимальных |
измерительных |
сис |
|||||
тем, приводимые |
ниже, |
используют |
вероятностные |
функционалы |
|||||
отношения |
правдоподобия (1.30), |
(1.34), (1.37),' их частные ва |
|||||||
рианты, а |
также |
обобщения на случай |
многомерного (многока |
||||||
нального) |
наблюдения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При синтезе, измерительной |
системы |
с использованием соотно |
|||||||
шений теории статистических решений, приведенных а и. 1.2, и ве
роятностных функционалов (п. 1.3) не |
делается |
никаких допуще |
ний относительно структуры системы, |
оптимум |
определяется в |
классе всех возможных операторов. |
|
|
|
|
еч |
