Файл: Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
|
Если |
окружающая |
среда |
конечна и граничит |
с вакуумом |
|||||||||||
(на практике с воздухом), то для нахождения потока |
нейтро |
|||||||||||||||
нов |
из |
(5.15) необходимо |
использовать |
условие |
на |
границе |
||||||||||
среда — вакуум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
/_„ |
= |
Ф + |
^ |
|
= |
0, |
|
|
|
(5.17) |
|
где |
d = 2D — длина |
линейной |
экстраполяции |
для потока нейт |
||||||||||||
ронов |
на |
границе |
среда — вакуум; |
п — направление |
внешней |
|||||||||||
нормали |
к этой |
границе. |
Условие |
(5.17) |
означает |
физически, |
||||||||||
что |
вылетевшие |
в вакуум |
нейтроны |
не возвращаются |
обратно |
|||||||||||
в среду, так как им не от чего отражаться. Заметим, |
что |
|||||||||||||||
(5.17) |
в |
согласии |
с условием |
применимости |
диффузионного |
|||||||||||
приближения [4] обычно записывается в |
виде |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = |
0 |
|
|
|
|
(5.18) |
||
на |
экстраполированной |
|
границе |
среда — вакуум, |
отстоящей |
|||||||||||
от истинной на расстояние d |
по |
нормали. |
|
|
|
|
||||||||||
|
В |
качестве |
примера |
рассмотрим |
случай |
поверхностного |
||||||||||
сферического нейтронного излучателя радиуса г0, |
располо |
|||||||||||||||
женного |
в бесконечной |
среде. Получим, |
что |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С ^ - ^ ( г - Г о ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ф = |
, |
л , , |
• |
г-- |
|
|
(5-19) |
||||
|
S0 |
|
4к гу0. |
|
|
|
4 я Dr{ 1 + |
у. г0 ) |
|
|
|
у |
' |
|||
где |
= |
При /'0 —О (5.19) |
переходит |
в известное |
вы |
ражение для точечного изотропного источника, расположен ного в бесконечной среде. Заметим, что случаи полусфери ческого и сфероидальных поверхностных нейтронных излуча телей в литературе не рассмотрены.
Проанализируем теперь объемный вариант. Пусть имеется выпуклое тело, находящееся в однородной изотропной среде, которое является объемным излучателем моноэнергетических нейтронов безразлично по каким причинам. При тех же пред
положениях, |
что и в поверхностном |
варианте, |
имеем |
систему |
|||||||
уравнений нейтронной |
диффузии |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Т72 Ф, к2 Ф, 4- — = О |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
и> |
|
|
(5.20) |
|
|
|
ѵ |
1 |
1 |
|
Di |
|
|
||
|
|
|
V2 Ф 2 - у . 2 Ф 2 = 0, |
|
|
|
|
||||
где |
индекс |
1 относится |
к телу, |
индекс 2 — к |
окружающей |
||||||
среде; |
5Х — плотность |
генерации |
моноэнергетических |
нейтро |
|||||||
нов |
в |
теле, |
которая |
должна |
быть |
задана. |
Из |
(5.20) с по |
|||
мощью граничных условий |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Фі = Ф«. Jln |
= - |
D 1 |
^ |
= J2n = - D |
^ |
|
(5.21) |
на поверхности тела можно найти потоки нейтронов, если принять во внимание, что они всюду конечны и поток нейт-
181
ронов |
в среде |
равен |
нулю на |
бесконечности. Если тело |
нахо |
||||||||||
дится |
в |
вакууме, |
то необходимо использовать граничное ус |
||||||||||||
ловие |
(5.17) |
или |
(5.18) на экстраполированной |
границе |
т е л о - |
||||||||||
вакуум, |
а |
если |
среда |
конечна |
и |
граничит |
с вакуумом, то |
||||||||
(5.17) |
или |
(5.18), |
как |
в поверхностном |
варианте. |
В качестве |
|||||||||
примера |
можно рассмотреть |
случай |
объемного |
сферического |
|||||||||||
нейтронного |
излучателя |
радиуса |
г0, |
расположенного в |
беско |
||||||||||
нечной |
среде, |
в |
предположении |
однородной |
плотности |
гене |
|||||||||
рации. Разумеется, |
объемный |
вариант |
является |
более |
слож |
||||||||||
ным для решения, чем поверхностный. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Строго говоря, |
точное решение задач о нейтронном |
излу |
|||||||||||||
чении |
тел |
различной |
формы, как и точное решение |
задач |
|||||||||||
о гамма-излучении тел |
различной формы, |
может быть |
полу |
||||||||||||
чено |
только |
из |
кинетического |
уравнения |
при условии, что |
||||||||||
известны |
все свойства |
нейтронного |
источника |
и |
окружающей |
среды. Однако для решения указанных задач во многих слу чаях достаточно диффузионного приближения или прямого про лета, области применимости которых проанализированы в § 45. В приближении прямого пролета для поверхностных выпук
лых |
моноэнергетических |
нейтронных |
излучателей получим |
|||||
с помощью |
(3.25), что |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.22) |
|
|
|
д s |
|
|
|
|
|
где |
Bj(ï> г) — гомогенный |
фактор накопления по числу частиц |
||||||
для |
точечного изотропного |
источника |
моноэнергетических |
|||||
нейтронов. |
Вопрос о явном |
виде /Зу(Ег) |
остается, по-видимо |
|||||
му, |
открытым |
[49]. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 47. |
Диффузионно-возрастное |
приближение |
|||||
|
|
|
[2, |
4, |
31, |
47, |
48] |
|
Рассмотрим теперь постановку задачи о нейтронном излу чении тела произвольной формы в диффузионно-возрастном приближении. Есть два варианта этой задачи: поверхностный и объемный. Ограничимся анализом только поверхностного варианта.
Пусть имеется выпуклое тело, расположенное в однородной изотропной среде и являющееся поверхностным источником мо ноэнергетических нейтронов с энергией ^ б е з р а з л и ч н о по каким
-причинам. Предположим для простоты, что задача стацио
нарна и среда бесконечна, а также, что нейтронная генерация в среде отсутствует и поведение нейтронов в среде описывается теорией нейтронной диффузии. Наконец, предположим, что за медление нейтронов в среде обусловлено упругим рассеянием и описывается возрастной теорией. Заметим, что рассмотрение
182
нестационарного случая и случая конечной среды гораздо сложнее. Уравнение Ферми имеет вид
Ѵ 2 < 7 о = ^ , |
(5.23) |
где |
q0 = q0{r, т) — |
плотность замедления |
нейтронов |
при отсут |
|||||||
ствии |
поглощения; |
х = |
х(Е) — возраст |
нейтронов |
с энергией |
||||||
Е < Е0, |
определяемый |
формулой |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Е |
° |
Щ |
Е ) а Е |
|
|
(5.24) |
|
|
|
|
|
|
$ ЦЕ)Е ' |
|
||||
|
|
|
|
|
È |
|
|
|
|
|
|
где |
D{E) — коэффициент диффузии |
нейтронов с |
энергией Е; |
||||||||
£(£) |
= |
ZS(E) - f La(E)^I,s(E) |
— полное |
макроскопическое сече |
|||||||
ние |
нейтронов с |
энергией Е; £ — средняя |
логарифмическая |
||||||||
потеря |
энергии |
нейтрона при упругом |
рассеянии. |
Поскольку |
|||||||
уравнение Ферми |
с |
математической |
точки |
зрения |
аналогично |
уравнению теплопроводности, то его решения для случаев плоской, сферической и цилиндрической симметрии хорошо
известны. Однако |
заметим, |
что решения |
(5.23) для случаев |
|||
сфероидальной симметрии в литературе, |
по-видимому, отсут |
|||||
ствуют. Если |
решить (5.23) |
и найти из него д0, то |
|
|||
|
|
|
q = q0P(E), |
|
.(5.25) |
|
где |
q = q(r,x) |
— плотность |
замедления нейтронов |
при нали |
||
чии |
поглощения и |
Р — Р(Е)— вероятность |
нейтрону |
избежать |
поглощения при замедлении от энергии Е0 до энергии Е, причем
|
|
/>=/>( £ ) = ехр |
Е ° |
ТSf l (£)rf£ |
|
(5.26) |
|||
|
|
|
|
|
J |
s S ( £ ) £ |
|
|
|
Если |
g найдено, то из соотношения [2], |
[4], [47] |
|
||||||
|
|
|
2(£) Ф (r, |
E)dE |
= |
ЗЩ- |
|
|
(5.27) |
можно |
найти |
поток |
замедляющихся |
нейтронов |
в |
интервале |
|||
энергий |
от |
Е до |
E-\-dE, |
а с помощью |
(5.16) |
и |
плотность |
потока замедляющихся нейтронов J(r, E)dE в том же интер вале энергий*. В качестве примера рассмотрим случай по верхностного сферического нейтронного излучателя радиуса г0, находящегося в бесконечной среде. Получим, что
<7о=?о(Л т) = С |
4- |
(5.28) |
* Глава вторая, § 20.
183
причем |
постоянная |
интегрирования |
|
определяется из условия |
|||||
|
|
|
|
J?o(r, т)г2 гіг = |
- ^ - , |
|
(5.29) |
||
|
|
|
|
Го |
|
|
|
|
|
где SO = |
4TC/'27'0. |
С помощью (5 . 28) |
получим из (5 . 29), что |
||||||
|
|
С = |
; |
, |
S ü l / T |
• |
г . |
|
(5.30) |
|
|
|
•/.] |
— |
l - e r f H = Y |
|
|
||
|
|
|
8 * W 4 т |
+ V « t |
|
|
|||
При |
г 0 |
= = 0 с |
помощью |
(2.170) получим из |
(5 . 30) |
и (5 .28) |
|||
известный |
результат |
для |
точечного |
изотропного |
источника |
||||
моноэнергетических нейтронов, как |
|
и должно |
быть. |
Условия |
применимости диффузионно-возрастного приближения подроб
но |
изложены, |
например, в [ 3 1 ] или |
[ 4 7 ] . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
§ 48. Элементарное рассмотрение цепной |
|
|
||||||||
|
|
|
самоподдерживающейся реакции деления |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
[2, 4, 15, 31, 47-50] |
|
|
|
|
||||
|
Рассмотрим |
одну |
специальную задачу, |
имеющую |
отноше |
||||||||
ние |
к |
нейтронному |
излучению |
тел различной |
формы. |
|
Пусть |
||||||
имеется |
выпуклое |
тело |
из |
делящегося |
вещества [ U 2 3 3 , U 2 3 5 , |
||||||||
Pu2 3 9 ], |
внутри |
которого происходит цепная реакция- |
деления |
||||||||||
на |
мгновенных |
нейтронах |
деления, |
так |
что это тело |
пред |
|||||||
ставляет |
собой |
объемный |
нейтронный |
излучатель. В § 22 было |
|||||||||
показано, что полиэнергетическая система мгновенных |
нейтро |
||||||||||||
нов |
деления может |
быть |
заменена |
в хорошем |
приближении |
||||||||
моноэнергетической |
системой быстрых нейтронов с Е=2 |
Мэв |
|||||||||||
и •а = |
1,95-109 |
см-сек2. Будем |
считать, что нейтронный |
излу |
|||||||||
чатель |
находится в вакууме |
(на практике — в воздухе). Назо |
|||||||||||
вем |
цепную реакцию деления самоподдерживающейся, если |
||||||||||||
оно |
происходит без внешних |
нейтронных |
источников, |
и неса |
моподдерживающейся, если внешние нейтронные источники
имеются |
[ 4 ] . Следует заметить, |
что |
внешние нейтронные |
||
источники |
могут |
находиться |
и |
внутри |
нейтронного излу |
чателя, но тогда |
они должны |
быть основаны не на реакции |
деления. Обычно рассматриваемый нейтронный излучатель
считается сферическим, |
хотя это совсем необязательно. |
||||
|
Как |
известно [ 2 ] , [ 4 ] , [ 4 7 ] , диффузионное |
приближение |
||
можно |
применять к |
объемному |
нейтронному |
излучателю |
|
только |
при выполнении |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 . 31) |
где |
/ г а І П — минимальные |
линейные |
размеры излучателя; \ — |
||
полная |
средняя длина свободного |
пробега нейтрона в вещест |
|||
ве |
излучателя. |
|
|
|
|
184 |
|
|
|
|
|
I
Согласно § 45 диффузионное приближение |
справедливо |
|||||
при |
Еа <^£у, так что X близка к Хи. Заметим, что |
диффузион |
||||
ное |
приближение |
дает |
правильные |
по |
порядку величины |
|
результатов даже |
в том случае, когда |
/ т І п |
и X сравнимы друг |
|||
С другом [4], [31]. Если |
рассмотреть описанный |
выше сфери |
ческий нейтронный излучатель без внешних нейтронных источников в диффузионном приближении, что не представляет особых затруднений, то получим известное выражение для
критического радиуса |
[4], [31] |
|
|
||||
|
|
|
|
|
У 7| — 1 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
ѵ Е/ |
|
где |
L — диффузионная |
длина; у1 = -у—; ѵ — среднее |
число |
||||
мгновенных нейтронов деления; Е^—макроскопическое |
сече |
||||||
ние |
деления; Еа = Ef -\- Ег — макроскопическое сечение |
погло |
|||||
щения; Ег |
— макроскопическое сечение радиационного захвата; |
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
d = |
-g-X = |
-^-£ |
длина |
линейной |
экстраполяции для |
потока |
|
нейтронов |
на |
границе |
с |
вакуумом; |
Е = Еа -|-Е^ и Е^— макро |
скопическое сечение рассеяния. Все величины берутся для
нейтронов |
с |
Е = |
2 Мэв. |
В рамках |
|
применимости |
диффу |
||||||||||
зионного |
приближения |
формула |
(5.32) |
является |
точной, так |
||||||||||||
что по ней с помощью |
[15] |
можно найти |
R0 |
для |
U 2 |
3 5 |
и |
Pu2 3 0 . |
|||||||||
Заметим, что при выводе (5.32) обратная диффузионная |
длина |
||||||||||||||||
определяется |
из трансцендентного |
уравнения |
[2], [47] |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
-£- = |
t h - ^ - , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.33) |
||
так |
как £ а хотя и меньше |
L s , |
но |
одного |
порядка |
с |
послед |
||||||||||
ним [15]. Кроме того, при выводе (5-32) |
можно |
использовать |
|||||||||||||||
приближение постоянных сечений [48], [15] |
, а упругое и неуп- |
||||||||||||||||
ругое рассеяния можно не различать |
[4], ^ |
15]. |
|
|
|
друг |
|||||||||||
|
Формула |
(5-32) |
показывает, |
что R0 |
и |
L |
сравнимы |
||||||||||
с другом, как и должно быть в диффузионном |
приближении. |
||||||||||||||||
Однако для делящихся веществ по |
(5.33) |
с помощью |
[15] |
||||||||||||||
получим, |
что |
L сравнима с X. Таким |
образом, R0 тоже срав |
||||||||||||||
нимо с X, а это уже предел |
применимости |
диффузионного |
|||||||||||||||
приближения. Если |
взять критическое |
|
уравнение |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
К=К«Р=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.34) |
|||
где |
К— коэффициент |
размножения; |
/^„ — коэффициент |
раз |
|||||||||||||
множения |
для бесконечной |
делящейся |
|
среды; Р — вероятность |
|||||||||||||
нейтрону |
избежать |
утечки, |
зависящая |
|
от линейных |
|
размеров |
||||||||||
и формы |
излучателя, |
то |
для |
диффузионного |
приближения |
||||||||||||
[2], |
[4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р= і + д ц " |
В = |
%Ѵ-п-\. |
|
|
|
|
|
(5.35) |
185