Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Уравнение неразрывности частиц, записанное в дивергентном виде

с помощью формулы Грина можно преобразовать к интегралу

т

где у — произвольный замкнутый контур в области течения. Введем в рассмотрение функции тока газа и частиц, опреде­

ляемые соответственно уравнениями

di} = cywq (adу — vdx);

(5. 20)

= csy'‘Qs{“sdy — v/lx),

где постоянные множители с и cs определяются, например, из условия равенства единице величин ф и ф8 на одной из гранич­ ных линий тока газа и частиц.

Систему (5.20) можно представить и в форме

(5.21)

CsQsH-s dy1+' — csy'Qsv/lx .

1 + V

Отсчет ф и ф8 удобно вести от линии 1 симметрии, где функ­ ции тока газа и частиц равны нулю. При этом соотношения (5.22) позволяют определить ошибки вычислений по ф и ф«.

Представим уравнения движения и энергии смеси в дивер­ гентной форме.

Из соотношений (5.1) и (5.3) следует

1 Ниже под линией симметрии понимается либо ось симметрии — для случая ѵ=1, либо пересечение плоскости симметрии с плоскостью чертежа — для случая ѵ= 0.

152

На основании уравнений неразрывности для газа и для час­ тиц последнее равенство можно записать в дивергентной форме

Помножим первые два соотношения (5. 1) на Qs y 4, а соот­ ношения (5.3) —на Q2/v, исключим из этих уравнений f x и f y и, воспользовавшись уравнениями неразрывности, внесем произведе­ ния Qyu,s y ', \ Qsv s y v; Q u y 1 и Q v y под знаки частных производных. Получим

153

Интегралами (5.19), (5.25), (5.28) и (5.29) можно пользо­ ваться для контроля вычислений.

§5.2. Уравнения в конечно-разностном виде

ирешение элементарных задач

по прямой схеме метода характеристик

Для численного решения конкретных задач необходимо диф­ ференциальные уравнения, представленные в предыдущем пара­ графе, записать в конечно-разностной форме. Кроме того, всю область течения можно разбить на подобласти нескольких ти­ пов. В пределах каждой такой подобласти расчеты выполняются

dty— ldyl+',—ldx-,

dbs= М у1+’— kdx,

где верхний знак в первых двух равенствах соответствует харак­ теристикам первого семейства, а нижний — второго.

154

Записывая соотношения (5.30) в конечно-разностном виде на отрезках 1—3 и 2—3 и решая уравнения относительно неизвест­ ных параметров в точке 3, получим

Если характеристика второго семейства становится более близкой к горизонтальному направлению, чем к вертикальному (то есть I ߣ— 1 1< I ß - K |), то вместо первого соотношения (5.31) лучше пользоваться равенством

Аі/21—Ах21 (т 23) 1

Уз — Ух

1

Аналогичные замены целесообразно производить и примени­ тельно к характеристикам первого семейства.

Входящие в формулы (5.31—5.34) коэффициенты при прира­

оказывается достаточно для определения параметров в точке 3 с высокой точностью2.

1 N ij — любой из параметров Li}, Rij и т. д.

2 Изложенным способом после выполнения итераций параметры определя­ ются с точностью до второго порядка включительно. Действительно, рассмот­ рим модельное уравнение dy=f(x, y)dx. Значение у с точностью до Ах2 вклю­

+ h'Ax, то различие между записанными выражениями для у, с точностью до малых второго порядка, отсутствует.

155

После того, как х, у, р, £, -ф и -фв в точке 3 определены, мож­ но найти точки 4 и 5, являющиеся соответственно точками пере­ сечения линий тока газа и частиц, приходящих в точку 3, с ха­ рактеристикой второго семейства 1"—1. Параметры газа и частиц в точках 4 и 5 по известным значениям ф4= ф3 и ijiS5= могут быть найдены интерполяцией вдоль отрезка \"—1, причем, чтобы не потерять точность второго порядка, интерполяция дол­ жна быть квадратичной. (Точки, в которых параметры опреде­ лены интерполяцией, на рис. 5.1 и других обозначены светлыми кружками).

Воспользуемся теперь выполняющимися вдоль линий тока га­ за соотношением (5.15) и вторым равенством (5.14), в котором дифференциал энтальпии выражен через дифференциалы тем­ пературы и давления {di = iTdT + iPdT, где іт^ді/дТ, ір= ді/др).

Получим

156