Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

те [103] анализируется обтекание клина двумерным двухфазным потоком. Исследуется форма ударной волны и поведение пара­ метров на ней, в зоне релаксации.

Представленные ниже формулы легко обобщаются для поли­ дисперсной среды.

§ 5.1. Основные уравнения

Для большинства важных для инженерной практики задач объемом, занимаемым частицами, можно пренебречь. В этом слу­ чае представленная в предыдущей главе исходная система урав­ нений существенно упрощается, поскольку рг~ е ‘. е/бв~0 ; Qs/Qb^

« 0.

Примем, кроме того, для простоты, что внешние массовые силы и источники тепла отсутствуют, т. е.

P= P s= Q = Q s= 0 ,

адвижение является двумерным и стационарным.

При этом из соотношений (4.5) и (4.6) получим уравнения движения и энергии частиц в форме

диs

I

ди.

• Л = о .

 

 

д у

 

 

 

. . д ѵ *

I

д ѵ *

- Л = о ,

д х

 

д у

 

 

И, d e s

 

d e s

-<7 = 0 .

д х

 

ду

 

Из соотношений (4.9) следуют условия неразрывности газа и частиц

(5.1)

для

е —+е^

д х 1 д у ' д х 1 д у у.

(5.2)

° *дгх і + е*дгу г+ й- дгх г+ г''Гд у г+ ѵ—«/ = о-

Уравнения движения газа вытекают из равенства (4.12)

д и

I

ди

1 д р , Qs

U -----------

\ - ѵ

---------д у

■ / ,= о,

д х

 

д х

дѵ

дѵ

д р

- V

■

 

д х

д у

Q д у

(5. 3)

f y = 0.

И, наконец, уравнение сохранения энергии газа для рассмат­ риваемого случая следует из выражения (4.15)

ді

-V-ді

и

д р

—

^ - + ^ \ ( V s- V ) f + g } = 0. (5.4)

д х

д у

Q

д х

е

ду 6

5**

147

Добавив сюда уравнение состояния и соотношения

для і и es

Q= Q(p,T), es= e s(Ts), i = i(p,T),

(5.5)

получим систему 11 уравнений с 11-ю неизвестными

функция­

ми — и , Us, V, Vs, т, Ts, Q, Qs, es, i И p.

Приращение энтропии газа dS вдоль его линий тока опреде­ ляется из равенства

TdS = d t — Ф = Щ { Ѵ - Ѵ а) У - ч \ dx.

Q QU

Отсюда видно что повышение энтропии газа происходит как вследствие трения, так и вследствие его нагревания (q<cO). Ес­ ли f — q = 0, то течение газа изэнтропическое.

Уравнения характеристик могут быть получены из соотноше­ ния (4.62). Пренебрегая вторым слагаемым в фигурных скоб­ ках, получим, что характеристиками являются линии тока газа, частиц, а также линии, удовлетворяющие уравнению

(1-f y'*)a?=(v — y'uf.

(5.6)

Решая это уравнение относительно у', получим

, uv ± a l' u 2 -f i/2 — a2

y

и2 — a2

Это уравнение выглядит так же, как и аналогичное уравне­ ние характеристик газодинамики однофазной среды, из-за того, что в определитель системы, из которого оно получено, не вхо­ дят диссипативные члены, связанные с присутствием частиц.

Вводя тангенс угла наклона вектора скорости к оси х форму­ лой tgO =t, — v/u и котангенс угла Маха ß = ctga, последнее уравнение после элементарных тригонометрических преобразо­ ваний можно привести к виду

d x ----^ ^S—dy — O

(5.7)

PC ± 1

(5.8)

или y' = tg(9 + а).

Условия совместности, выполняющиеся вдоль характеристик (5.7), следуют из условия совместности (4.64):

р' {а2у’-)- Аи) 4-a2qvu' -f (а?у'* — А2)uv'е + Ava2vQy~x—

—Аа2cpQ-f es(а2у' -f Au) [ f x-f y’f y)= 0 ,

где

4dQMI Q

/ V

a2

A = v — y'a.

148

Исключая из этого соотношения при помощи уравнения (5.6) члены, содержащие у'2, и приводя подобные члены, получим

 

А {up' +

vtfvQy-1 -

a2Qv-f Qsa f x -f Qsv / y)+ аҢр'у' -f

 

 

 

 

~f Qvu' — Quv' -f Qsy ' f x — Qsfy) =

0.

 

 

 

Отсюда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(v —uy') [up' i-va^vQy-1 —cpQsidiJdQ)-^-1 [f (Vs— И )+^]) +

 

 

-l~a2 [p'y'-j-Q(m' — uv')~j-Qs( f xy' — f y)\ = 0.

(5.9)

 

Воспользуемся тождествами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у — иу'

_

_

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

cos (Ѳ ± a)

’

 

 

 

 

 

 

 

vu' — uv'

 

 

Ѳ'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

sin2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

V — uu

 

и

,

,

+

ctg a

 

 

 

 

 

 

 

---------------- Ѵу ■

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

и преобразуем, пользуясь выражением

(5.8), условие совместно­

сти (5.9) к виду

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,п .

 

 

 

 

,

V sin Ѳsin a

,

_

 

 

 

dB ± sin a cos a

—— + ----------------- dy

+

 

 

 

 

 

 

 

 

Qa2

 

у sin (Ѳ ± a)

 

 

 

 

_

 

os sin2 a

 

 

 

 

l [ q + f ( y * - v ) ] d x -

 

 

+

 

 

 

 

öq

 

 

 

 

üq2 cos (Ѳ ± a) \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q s sin2 a

{w/ х■*'У ' - f

y ) d x =

0 .

 

 

(5.10)

 

 

 

 

Qa2

 

 

 

Введем новые обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д = a 2V f 2 + f„ , S =

arctg-

 

 

 

/°=

 

 

 

f y

 

 

 

 

 

 

 

v — vx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом /

{ V s ~ V ) —

— а 4Д2//°>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x U ' -

f y

а2Д sin (Ѳ — 8 ±

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (Ѳ ± а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь уравнение (5.10) преобразуем к виду

 

 

 

 

 

dB +

sin a cos a

dp

 

V sin a sin

■dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qa2

у

sin (a ±

Ѳ)

 

 

 

I

65 sin2 a

 

1

/ діг \ - i

/

дЗДa3A2____

■Д sin (a +

Ѳ+ 8)

dy — 0.

" б

sin (a ±

Ѳ)

Q

\ dQ )

 

\ /0

 

a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.11)

Использование условия совместности в формуле (5 .11) осо­ бенно удобно при анализе случаев, когда скольжение, пропор­ циональное Д, мало.

6

3739

149

При использовании вычислительной техники уравнения ха­ рактеристик целесообразно иметь в форме, не содержащей три­ гонометрических функций.

Используя очевидные тождества (У = | Ѵ\)

 

 

дГѲ _

 

d t:

'

у 2

S i n g

c o s

а

 

 

 

 

 

 

 

1

+

C2

’

 

 

 

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

sin Ѳsin а

_

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (0

± et)

 

ß =F £

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 а

 

__

a уП

+

£2

 

 

 

 

 

cos (6 ±

a)

 

K (P T

£)

 

 

 

 

из соотношения

(5.10)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ß (ß Т 0 dp

 

ѵ£

 

,

_

 

діі \ -1 Qs х

1 + С2

-

 

qV2

 

 

— âlx +

de )

е2

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

Х - ^ ^ [ / ( И , - И ) +

^ ] ^ г - ^ [ Л ( ^ ± l ) - / „ ( ß

+ OW* = 0.

Обозначим

QK+ £2JI /ѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5. 12)

 

q \ ÖQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ —1

 

 

 

 

ф :

6*Ѵі

 

 

д2

 

1

 

Öi',

[ f ( V s~ V ) + q}\.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом из соотношения (5.12)

получим

 

 

 

 

 

 

--- и і/ "т~ I

ѵс ,

 

eißlßTC)

Л - Ф

dx

1 + с2

 

е^2

 

' —г“■“

 

еК2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Csß (ß Т С)

f ydу =0.

 

 

(5.13)

 

 

 

 

 

qV2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дальнейшем условие совместности

 

будет

использовано в

форме (5.13).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остановимся на условиях, выполняющихся вдоль характери­

стических направлений,

совпадающих с линиями

тока газа. Из

соотношений (5.3) и (5.4) следует, что вдоль линий тока газа

vdx —udy = 0 ;

1

d (-у-)+■+ фг C m Y T + V d x=0;

(5. 14)

d i - d^ + ^ W 3- V ) J + q \ V T + V d x = 0 ,

 

e

 

или

 

QVd(i + V*l2) + QsV \ + ¥ ( f V si-q)dx = 0.

(5.15)

Из уравнения (5.15) видно, что при отсутствии взаимодейст­

150

вия между газом и частицами (f = q = 0) вдоль любой линии то­ ка газа энтальпия торможения г0= г+ Ѵ2/2 = const.

Вдоль линий тока частиц vsdx—usdy = 0, также являющихся характеристиками, соотношения (5.1) могут быть представлены в виде

usdus-— f / J x = 0-,

\

usdvs— f y d x — O',

(5. 16)

asdes—qdx = 0.

 

Из уравнения неразрывности для частиц (5.2) следует, что вдоль линий тока частиц

us dQs j vmjS I dus I vs dus I ц і ( І _ о

dx

у

dx

us dy

s dy

где Z= VS/US.

Отсюда, пользуясь первым равенством системы уравнений (5.16), получим соотношение

d Q s + Qs

+ v ± +

\ d x = 0,

(5. 17)

\дУ.

ä

иI J

 

которое также выполняется вдоль линий тока частиц.

Частная производная д%Іду может быть найдена, если из­ вестно распределение I вдоль линии тока частиц и некоторой другой линии Г. Действительно, производная d^/dx по направле­ нию линий тока частиц определяется равенством

D = — =ii~2

dvs

dus

dx

s

dx

dx

и, следовательно, является известной.

Поэтому частная произ­

водная дЦду может быть определена из системы уравнений

dz

f _j л

 

дх

ду

 

дх

= ( — )

ду \d x ; Г \dx

/г

где второе уравнение записано вдоль некоторой линии Г, отлич­ ной от линии тока частиц (например, линии тока газа, характе­ ристики и т. д.), на которой (d%/dx) г известно.

Попутно отметим, что приращение £ вдоль произвольного на­ правления связано с частной производной д^/ду формулой

dZ,= ^ - d x A r ^ - d y = ( h

~

y x — Z^, -\dxA r p - d y .

(5.18)

дх

ду

\

и]

дУ)

дУ

 

6*

 

 

 

 

 

151

Смотрите также файлы