Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

где E = q/us(des/dTs)~l. *

Плотность частиц qs3 может быть найдена двумя путями: либо пользуясь формулой (5.17)

либо формулой (5.19). В последнем случае в качестве контура у целесообразно принять треугольник с вершинами в точках 1, 2 и 3. Заменяя подынтегральные функции их средними значени­ ями на соответствующих отрезках, получим

Qji [и-зі^у\І4— l1 + ѵ) У \ + 052 (1 + ѵ) іУ2^ 2А-Уіз] us^ y \t'‘ — (1 +Ѵ) ( /> м А^12

(5. 39)

Предпочтительнее пользоваться формулой (5.39), так как в этом случае не требуется выполнять операций по определению %у. (Однако в некоторых случаях, например, когда точка 3 ле­ жит на оси или на границе области, пользоваться этой форму­ лой невозможно). Необходимо также отметить, что определение Qs3 по формуле (5.39) производится с точностью до малых пер­ вого порядка, а по формуле (5.38) — до малых второго порядка (Ij,, определяемое с точностью до малых первого порядка, умно­ жается на малую величину Дх). Однако анализ показывает [26], что при последовательном применении формулы (5.38) ее точ­ ность снижается и в конечном счете опредедлѳние qs обоими ме­ тодами оказывается выполненным примерно с одинаковой точно­ стью.

Определение qs с точностью до малых первого порядка не снижает второго порядка точности вычислительного процесса ос­ тальных параметров, так как qs входит лишь множителем при малых приращениях.

Анализ, проведенный как для двухфазных, так и для хими­ чески неравновесных (см. работы [31 и 60]) потоков показывает, что с ростом фі, ф2 и ps/Q сходимость итераций ухудшается. Для сохранения устойчивости расчета приходится уменьшать разме­ ры характеристического четырехугольника, что приводит к большей затрате машинного времени. Для преодоления этих трудностей, как показано в работе [31], следует коэффициенты, стоящие при приращениях параметров в окрестности искомой точки, разлагать в ряды по приращениям данных параметров. При этом достаточно производить разложения тех коэффициен­ тов или их отдельных элементов, которые наиболее сильно зави­ сят от искомых параметров. Если же проведенная модификация не обеспечивает сходимости итераций, то необходимо произво-

» дить разложение по всем переменным.

157

Так, например, исключая и& из /хз,»входящего в коэффици­ ент при Дхз5 первого уравнения (5.37), получим

соотношения [26]. Как показывают расчеты, выполненные в ра­ боте [26], модификация такого рода существенно улучшает схо­

димость итераций.

Теперь рассмотрим особые случаи расположения точек 1, 2

и 3.

2

Рис. 5.2.

Прежде всего отметим, что для расчета областей, свободных от частиц, не нужно производить специальных рассмотрений, В этих областях ps = 0 и соответствующие члены выпадают авто­ матически.

Точка 1 находится на оси симметрии, а х— 1. В этом случае

Расчет точки 3 можно производить в данном случае и иным образом, пользуясь точкой 1' — зеркальным отражением точки 2' относительно оси симметрии (см. рис. 5.2).

параметры в точке 3 можно заменить параметрами в точке 2'. При ѵ = 0 данный случай не является особым.

нии симметрии, а величины х3 и р3 определяются из первых двух соотношений (5.30), выполняющихся вдоль характеристик вто­

причем условие совместности предварительно умножается на у. Специального рассмотрения требует определение плотности

частиц на линии симметрии.

Заменим в уравнении (5.39) индекс 1 на 5, используя то об­ стоятельство, что точки 5 и 5 лежат на линии симметрии, полу­ чим

Как показали расчеты, эта формула не пригодна для вычис­ ления Qs3, так как множитель при qS5—величина порядка едини­ цы, вследствие чего погрешности вычисления qs5 не затухают.

Применим вторую формулу (5. 21) к отрезкам 2' 2 и 2 3 (рис. 5. 3).

Складывая полученные результаты, находим

159

производной д\\ду принимает вид

Рис. 5.4. Рис. 5.5.

В области, занятой частицами, точка 3 попадает на стенку.

При попадании частиц на стенку (рис. 5.4) возможны случаи полного или частичного поглощения или отражения их стенкой.

тому, как это делается при расчетах сверхзвуковых потоков га­ за методом характеристик. Расчет точки 3 начинается с опреде­ ления х3, причем в первом приближении в правой части выраже­ ния (5.43) вместо х3 подставляем х4. Плотность qs3 определяем из соотношения (5.39), в котором индекс «2» заменен индексом

«4».

В остальном расчет точки 3 не отличается от изложенного для общего случая.

160