Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

— РЗ

<f2

>

М2 — 1

(6. 26)

wsQcp

6w2 yfQw

Выберем Ц4 так, чтобы

Л0 = 0

при 1y' 1= k,

(6. 27)

P4 — 0

при 1y' 1 < к.

(6. 28)

определения (х4 следующие:

; V Qawa (Ра ~

Р +) при Jf = х а.

(6. 29)

Условия (6.27) и (6.29) определяют р4 на участке DB

(см. рис. 6.2). По­

скольку на участке CD щ =

0, то в точке D может иметь место разрыв мно­

Н4с_=0.

(6.30)

Таким образом, учитывая зависимости

(6.24) — (6.30), соотношение

(6.23)

приведем к виду

ВФ = 2яуау а’ (ра — р+) äxa +

2я V я//й р.4 о+Вг/0+ +

-f“Jt j*

A^bpdx + n

J y4bzdx.

(6. 31)

x c

\y'\—k

W Н-1

СрТ

1*2?!

РзУ2

(6. 32)

f ( w — ws) + ------/ — cBq

C p T w s

w

Q W W S

W s QCp

у4Ьг < 0.

На участке АС у'<(0,

а допустимые вариации öz)>0. На участке DB (/'>

> 0 , а допустимая вариация ö z< 0 .

Поэтому оба случая могут

быть объеди­

нены в одно неравенство

Р4 sign у ’

> 0 при 1 у' I = к.

(6. 33)

Выполнение условий

(6.33) должно проверяться в любой точке краевого

экстремума в процессе построения решения.

Из соотношения

(6.31) следует,

что

поскольку

допустимые

значения

Д*а=£]0, то

Ра > Р +-

(6- 34)

Для экстремального контура из соотношений (6.33) и (6.29) вытекает ус­

ловие (6.34). Это означает, что наибольшей тягой обладает

сопло

с ха = Х.

Если у а< У , то допустима

двусторонняя

вариация

6y D+

и из соотноше­

ния (6.31) следует уравнение,

являющееся

аналогом условия

Буземана [43 и

ПО]

P4D+ =

0.

(6. 35)

При выполнении

условий

(6.32)— (6.35)

контур сопла

является

экстре­

мальным, поскольку любая допустимая вариация 0Ф <0.

Если у а = У, то тогда в точке D+

допустима лишь односторонняя вариа­

ция б(/в+< 0 и из соотношения

(6.31)

следует М-4в +> 0 ,

что является частным

случаем (6.33).

(6.32)

с (6.17) и участками

Таким образом,

уравнение

вместе

краевых

ношений (6.33) — (6.35).

(6.32)’ для экстремального контура Л0 = 0 на всем

На основании (6.27) и

интервале AB. В частности,

при переходе через точку D вследствие непрерыв­

ности всех (кроме р4') входящих в Л0 параметров

из

выражений

(6.26),

(6.27) и (6.32) следует

V-4D+ — °*

Это условие совместно с условием (6.35) удобно

использовать при расче­

те экстремального контура, ибо при его выполнении

условие

(6.32)

в точке

Д удовлетворяется автоматически.

(6.23)

позволяет

найти

Использование вариации öp при Л0 в формуле

решение вариационной задачи без исследования особенностей

в точке, где

М =1; эти особенности возникли бы при использовании 8у

вместо 8р.

„

dQ

. ,

г\ —1 dQ

о

«“ 2 = т - + (еср)

дТ

= —

др

ѵ

р ’

р

Ф

а вместо

(6.19) получим

у ( 1— •М 2) .

f y

, w — w s

1

У' = L_^ п

Р +

T]

I

"

+

w

2qw2

2ws ^

cxj

р '

„

f

(id —

(6. 36)

Т' = .— —

+ W

-

P

s

ec:

CX„W S

Дифференциальные

уравнения, определяющие

множители Лагранжа р.і,

ц2 и

имеют вид

P'

,

И7 ^

да

—---- Pi +

W

,

e (cpT + w2)

CpWs T

P2T1

N '

(QW ) 5^ C p T

Q W W S

' ■

W c

®

1

I P' —

JJ-2 = P i ^ ? ( W S — w ) +

^

~ 2 +

да

ä2

— 1F2 [J4 (да5 — да) /р

/

1

да — да^

(6. 37)

■P2fl

/ W

да5да \

f

__

w c

'

( да

+

w2 j

+ ^

7

P

^

У Q W

Л0 = - \ Г - ^ - ( д а - д а 4 + - ^ ) +

qwws

CpT ws

На участке двустороннего экстремума вместо уравнения

(6.32)

получим

W

да — ws +

Р2?1

= 0.

(6. 38)

qW

Поскольку на участке CD р,4 =

0, то , пользуясь уравнением

(6.38),

получа­

ем из первого соотношения

(6.37)

простое

выражение

для рі, справедливое

на участке CD

рцр — const.

(6. 39)

Цл/ = const.

(6. 40)

w s

/2

1 +

(да —

w s )

= const,

(6. 41)

Tws

для определения шести неизвестных — р, q, Т, w, ws и ра пользуемся

двумя

уравнениями (6.36), четвертым соотношением

(6.17)

и тремя

равенствами

(6.18). Затем, из произвольной точки контура

С, применяя

формулу

(6.41),

получаем

участок с двусторонним

экстремумом

CD

(см.

рис.

6.2).

Он обрывается в произвольной точке D, где MD> 1 .

DB ( y '= k ) ,

Из точки D проводим второй участок краевого экстремума

заканчивающийся при х = Х , а расчет параметров течения здесь

определяется

по тем же формулам, что и на участке АС.

В производим интегрирование

После определения параметров

в точке

системы

(6.37) в направлении против течения при граничных условиях

(6.25)

Подбором точек С и D осуществляется удовлетворение условий

р.4в+ =

=р,/4в+= 0.

Затем

производим

интегрирование

вдоль

экстремума СА и

проверяем условия

(6 .3 3 )(6 .3 4 ),

а также

ограничения y a^ Y .

Если послед­

нее неравенство

не

выполняется,

то следует

принять

y a=

Y и

производить

подбор точки

С

из условия удовлетворения только одного равенства:

p-4D+ = 0

(в этом

случае p4D+> 0 ),

а

точка

D

определяется

встречей

участка двустороннего экстремума с прямолинейным

участком

образующей,

проведенной через точку В под углом y' = k.

если давление р+ не задается, а

Процесс подбора несколько упрощается,

получается

в процессе решения, т. е.,

если решается

обратная по р+ задача.

принято wH=

w SH= 0,07 yfRT н; x = l,2 ;

св//? = 0,715; p+ = 0;

фі =

5 y f R T j X y

а допустимый

наклон стенки (\y'\max =

k)

принимался равным

3,68 и

10.

Результаты расчетов представлены на рис.

6.3, 6.4 и в табл.

6.2.

На рис.

6.3

Таблица 6.2

Сравнение

эффективности экстремальных и конических сопел

Экстремальные

сопла

Конические сопла

W

Уа

Уа

Рк !іРе

Л >КС

1 + W

Ун

Ре

Н

1-й ТИП

2-й тип

У

0,25

3,30

0,969

3,35

0,969

0,969

0,50

3,14

0,947

3,38

0,945

0,940

0,60

3,14

0,940

3,39

0,936

0,930

0,65

3,15

0,938

3,40

0,934

—

0,70

3,16

0,936

2,94

0,918

—

0,75

3,21

0,935

0,95

0,749

—

лом, обеспечивающим течение со скоростью

звука

в минимальном сечении

(</'<£), а тангенс угла наклона второй £ =

3,68. Как видно из расположения

кривых, увеличение

импульса

аВ

экстремальных сопел

обеспечи­

вается

сдвигом

отставаний

в

дозвуковую

область.

сравнения

В

табл.

6. 2

для

при £=3,68 представлены отно­

сительные

тяги,

получаемые

при

сравнении экстремального

сопла

(/^экс!Рс>

где

Ре тяга

при

отсутствии

отставания

в