Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Г л а в а VI

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Значительный практический интерес представляет собой за­ дача определения формы канала (сопла), обеспечивающей наи­ большую тягу при двухфазном течении с отставанием частиц. Оптимизации сверхзвуковой части осесимметричного сопла при движении в нем потока газа посвящен ряд работ [43, 135, 161, ПО, 111, 42, 71, 70], однако, решение такой вариационной за­ дачи с учетом сужающейся части сопла и двумерности течения, даже при движении газа без частиц, в настоящее время отсутст­ вует. Естественно, что и при движении газа с частицами в такой постановке вариационная задача не решена. Однако, если отка­ заться от учета двумерности течения или формы дозвуковой час­ ти сопла, то требуемые решения могут быть найдены.

Простейший случай — одномерные линеаризованные тече­ ния — был рассмотрен в работах [89 и 112]. Ф. Марбл [89] опре­ делял контур сопла, обеспечивающий максимальную скорость истечения, а Л. Е. Стернин [112] — максимальную тягу. Анало­ гичная задача для нелинеаризованного одномерного потока ре­ шена А. Н. Крайко и др. [74].

В работах {89, 112, 74] наряду со сверхзвуковой частью сопла определялась и дозвуковая, сужающаяся часть. Поскольку в ра­ ботах [89 и 112]) потери из-за рассеяния (непараллельности и не­ равномерности потока) не учитывались, то полученные экстре­ мальные контуры имели весьма большие углы конусности сопел

ввыходных сечениях. Пути уменьшения этих углов рассмотрены

вработах [112 и 74].

Учет двумерности принципиально дает возможность постро­ ить экстремальные контуры сопел с приемлемыми углами конус­ ности в выходном сечении, однако, нахождение соответствующе­ го решения вариационной задачи и построение контура являет­ ся весьма трудоемкой работой.

Первая попытка получения необходимых условий, определя­ ющих форму экстремального контура при двумерном течении двухфазного потока, была предпринята в работе [39]. В этой ра­ боте приведены уравнения Эйлера в характеристическом тре­ угольнике, ограничивающем варьируемую часть контура сопла.

178

[75] были исследованы более общие конфигурации экстремаль­ ных сопел, в частности, имеющие внутренние точки излома. Сле­ дует, однако, отметить, что в работах [39 и 75] из-за чрезмерной сложности вычислений результаты исследований до числовых значений не доведены.

Ниже приведено изложение результатов исследований, вы­ полненных в работах [112, 74, 75].

§ 6. 1. Линеаризованное одномерное течение

Рассмотрим решение вариационной задачи определения контура сопла, обеспечивающего наибольшую тягу. Течение будем считать одномерным, а отставания — малыми, что позволяет воспользоваться разложениями, полу­ ченными в § 1.4 для линеаризованных одномерных течений.

Сила, действующая на внутренний контур сопла, или тяга, создаваемая соплом в пустоте,

(6 . 1)

где давление р определяется формулой (1.46).

Будем искать контур сопла при условии, что его максимально допустимая длина ограничена, т. е. при у — у а, где X — заранее заданная величина. Поскольку в соотношение (1.46) х явно не входит, то за независимое перемен­ ное удобно принять у, а х считать искомой функцией.

Составим функционал, пропорциональный тяге Р

Первая вариация функционала Ф после интегрирования по частям полу­ чает вид

179

180

Определим тягу, создаваемую экстремальным соплом. Безразмерный па­

раметр Р, пропорциональный тяге Р, создаваемой соплом, после интегрирова­ ния и преобразований может быть представлен в форме

Р

Р =

Первые члены этой формулы, заключенные в круглые скобки, характери­ зуют изменение импульса равновесного течения, и остальные — влияние от­

ставания частиц. Обычно величина Р является отрицательной, так как состав­ ляющая тяги сужающейся части сопла обычно больше, чем расширяющейся.

В работе [112] показано, что если контур сопла представить в виде

Для иллюстрации в табл. 6.1 и на рис. 6.1 представлены результаты рас­ четов параметров сопел и их контуров, определенных по изложенной выше ме­

Из рассмотрения табл. 6.1 следует, что отличие первого приближения от равновесного течения невелико. Это свидетельствует о целесообразности ис­ пользования линеаризованной модели для многих интересных в практике за­ дач.

182