Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

Форма контура, рассчитанного по соотношению (6.10), представленная на

рис. 6.1 (кривая /), весьма своеобразна:

область горловины очень пологая,

а

выходная часть контура наклонена к оси под большим углом.

Для уменьшения угла Ѳа наклона образующей к оси сопла в его выход­

ном сечении в работе [112] был предложен метод введения под интеграл

(в

выражении для тяги) функции влияния

:

Р — 2л j pyf ^y,

Уп

где

зависит от у

и dy/dx и выбирается в результате решения задачи о дви­

жении газа в сопле.

Введение / 0 позволяет уменьшить угол Ѳа, однако, при

/— экстрем альны й контур сопла д л я д в ух ф а зн ы х

течений, /g = 1 ; 2— течение

газа

g

без частиц, I q ~ c o s 2— ; 3 — экстрем альны й контур

сопла д л я д вухф а зн ы х

тече-

* j У с (ур)2/3— 1 dy,

(6.16)

где С — постоянная интегрирования, определяемая условием х = Х при у =

у а-

Зависимость (6.16) графически представлена на рис. 6.1 (кривая 3).

что

Из рассмотрения взаимного расположения кривых 1, 2 и 3 следует,

Li

= QWW' + Qswsw's + p' — 0;

L2 = w 's— f / w s =

0,

Lz = T's — q/ws =

0;

(6. 17)

и/2

2cpT + \V {w^s +

2cBTs) = 2£g;

P =

qRT,

где / = ф 4(йг—) ш3) ;

q=q>2(T—7",),

а штрихом обозначены производные

по х.

Три дифференциальных и четыре конечных уравнения

(6.17) при заданной

форме канала, т. е.

зависимости х = х ( у ) ,

определяют семь неизвестных w, ws,

Т, Та, Q, Qa

И р . Три ИЗ НИХ ----

Q,

p s И W

МОГуТ быть ВЫрЭЖеНЫ Через Та,

Ws , Р

и Г из конечных уравнений, из которых

предварительно

исключена

ордина­

та у:

Р

ew

е = — ;

= w —

RT

w s

I

(6.18)

W= V2E0

■2cpT- ■IT (®2 + 2cBTs).

Подставляя равенства (6.18) в уравнения (6.17) и выполняя преобразова­

ния, получим

У (1 -

М2)

U f

CpT ( w — ws) + \

yeBq

2qw2

p' + W 2WWa

■W 2cpTws

(6.19)

V = _£l

W

-------- [ f ( w — Ws) — cBq],

QCp

CpWs

где число Маха

(M) определено по скорости звука в газе.

Справедливость применения одномерной модели течения обусловлена от­

сутствием резких изменений поперечного сечения, что эквивалентно

наличию

ограничений на угол наклона контура сопла:

l-4 = z — 2у’ У п/т = 0.

(6. 20)

ра сопла сводится к определению девяти

допустимых функций w ( x ) ; w s( x ) ; q ( x ) ;

Qs(x),

T(x); Ts(x)\ p(x)\

z{x)

и

y(x),

'J

удовлетворяющих

восьми

уравнениям

лк

(6. 17)

и (6.20)

(т. е.

восьми

конечным

А 1

и дифференциальным

связям)

и ограни­

к

чениям,

налагаемым

на

z(|z|< & < o o ),

Х а И у а

( Х а < Х ,

y a< Y ) .

При ДЭННЫХ УС­

—

с

V

ЛОВИЯХ

требуется

найти

такие

значения

этих девяти параметров, при которых

обеспечивается

максимальная

величи­

на Р.

связи

в

Рис.

6.2. К построению контура

Введем дифференциальные

функционал, а остальные, сравнительно

экстремального сопла:

простые, могут быть использованы непо­

А С

и D B —краевы е

экстремум ы ;

средственно. При этом функционал пред­

C D —двусторонний

экстремум

ставляется в виде

ха

^

Ф = Р +

j1

2

H L i d x ,

>н

1=1

где pij — множители Лагранжа, зависящие от х.

При составлении

вариации Ф следует учитывать, что контур сопла мо­

множителей Лагранжа в точках излома примем рі+ = рг-_ для і' < 4,

а для р4

на данном этапе допустим возможность его разрыва.

При

составлении вариации

функционала

воспользуемся равенствами

(6.18) и исключим вариации dq, dqs и dw. Кроме

того,

используем

условие,

следующее из первого соотношения

(6.17)

bw

+ 2 '

—

Ьу = 0,

(6. 21)

е3/2да1/2 Т

еѴ2даЗ/2

m

а также тождество

м

I ( х ) а ' (x ) d x

I (xQ) a ’ (xQ) 8x q

+

l (xQ) ba (xQ) +

\

Jü

Lx,

(6. 22)

J

[а'

(лг) Ы— l'b a}dx,

где l(x)

и

a(x) — варьируемые функции,

Q — точка,

в которой

6x^=0, а

6х„ = 0.

Ввиду того, что L{ — 0 ( t= l; 2;

3; 4), внеинтегральные члены в выраже­

нии для 6Ф, отвечающие первым двум слагаемым в формуле

(6.22),

исчезают.

Вследствие введенных выше ограничений на наклон образующей ( |у ' |<

< £ ) контур, как будет показано ниже, состоит

из

трех

участков:

среднего,

где y ' < k , начального, где у ' = —k и конечного,

где y' =

k.

Точки

стыковки

С и D (см. рис. 6.2) являются точками излома образующей.

Итак, первая вариация

8Ф = mbwa + m ß w sa + 2яуа (ра — р+)

+

я у аЪра2

+

+ (МаП (QWbW + Qswsbws +

Ьр)а + Р2a^Wsa +

—

— 2 я у Гя/т [(щ8й)с——(р-4Ъ у ) с +

+ (р4®1/)о—— (р4Ъ у ) о +

+

Р4(filial

+

Т Jt

I (AqSjC?-Г А \ЬТ -р А2Йда^ -Г А3ВГ$ -Г ^S^) d x ,

(6. 23)

где A j(i= 0 ; 1; 2;

3 ) — известные функции параметров течения,

множителей

Лагранжа и их производных; Ауа=

Уа'Аха+ буа — изменение ординаты

кон­

ном X и из изменения у вследствие изменения х при перемещении

последней

точки контура вдоль линии

\ y ' \ = k (при х ^ А ).

Выберем Ці, (Гг и р3 таким образом,

чтобы на всем контуре сопла Лі =

— Лг -

Аз=

0.

После преобразований эти условия примут вид

Р’

W

Г

UpT

Рі =

— Рі + Рі

/ ( w — w s) +

W

Р

СрТw s L

_

Р 2Т1

Р3?2

__

- Q (СрТ +

ау2)

QWWS

QCpWs

(qw)5/2cpT

’

t

t

I Wt- — w

1

\

P2 =

Pi^Q

— ®) + PiW' (-----—-----+ —

J P’ —

[ajW2 (ws — w) Q

_f_

j ® — ®s) f

— cBq

(6. 24)

W's

W

CpT

W

w

1^3"

•+ P‘4^

Ws

nß y/~Q?)

W's

Рз =

^ Q C b p J +

^ P i

cBP

Pi^2cB

CpT [f ( w — ws) — cBq] +

a2

+

, е / 1 ,

W b ,

? 2

,

'

r -----

,

} + P 2 * ^

+ P3

,

+ P

4

W )

W W s

w s

I S L ^ y Q W

где а —- скорость звука.

Для граничных условий в уравнениях (6.24)

примем

Р іа

=

^У^а’

I

(6. 25)

а

== Рза =

0.

После

ряда преобразований,

выполненных

с

учетом

условий

(6.19) и

Л0 в виде

J

(6.24),- получим выражение длям-2

Ап

_Р1

+

СрТ

?l

w f — cBq

— W cp Tws |Ѵ(®—

■P2 QW WS