Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

строим эпюры напряжений в упругом основании от сил Х{, при­ ложенных на поверхности упругого основания. В данном случае рассматривается упругопластическнй слой конечной толщины, поэтому используем решение, полученное для одиночной силы Р0 в п. 6.3. Напомним, что решение произведено пока в упругой ста­ дии и можно применить принцип наложения. Например, под­ считаем напряжения:

(ffji = — 13,25 ■0,1 — 7,9 • 0,2 • 2 — 0,92 • 0,25 • 2 = — 4,89Р,Р0І

(<г,)а == — 13,25-0,2 — 7,9 (0,25 + 0 ,1 ) — 0,92-0,2 = — 5,6Р/Р0.

Втаком порядке продолжаем вычисления и находим оѵ, ах

иХху для всех треугольников сетки. По этим напряжениям оп­ ределяем главные напряжения щ и а2 также для всех треуголь­ ников и сравниваем значение полуразности с предельным сдви­ гающим напряжением, характерным для пластического течения.

Для построения границы пластической области на рис. 6 . 1 0 в каждом узле треугольника сетки записана величина разности <7 і— 0 2 главных напряжений. Напряжения на этой схеме даны в относительных единицах. Граница пластической области за­ висит от величины 2 /г, которая характеризует текучесть в дан­

жней балки, т. е. пластическая область в основании сравнитель­ но невелика и занимает участок около 0,25 I в середине проле­ та балки. Перераспределение реакций будет происходить за счет того, что при вычислении матрицы жесткости и решении контактной задачи придется увеличить соответствующие коэф­ фициенты, стоящие при X. Так, например, при подсчете 6 0о вхо­ дящая в эту формулу осадка будет складываться из двух ча­ стей: (уоо)упр — упругое и (г/оо)пл — пластическое:

упр

Увеличение одного столбца матрицы жесткости, как это име­ ет место в настоящем случае, приведет к соответствующему уменьшению силы Хй и увеличению сил Х\ и Х2. Теперь силы будут такие: 2Уо=0,04 Р; Хі = 0,22 Р и Х2=0,26 Р. Эти цифры показывают, что силы, приложенные к упругому основанию с учетом образования в нем пластической области, изменились незначительно, поэтому делать новый расчет нецелесообразно.

Если предел текучести 2 k уменьшить до 16 Р/Ро, то пласти­ ческая область будет увеличиваться в глубину основания; по длине балки пластическая область почти сохраняет свои раз­ меры. Можно предвидеть, что на долю 2 Х0 придется еще мень-

139

шая доля внешней нагрузки. Но равнодействующая реактивных давлений в середине пролета балки составляет всего 4 % внеш­ ней нагрузки, поэтому дальнейшее ее уменьшение существенно не изменит распределение реакций. Снижение предела текуче­ сти основания до 2 k = \ 2 Р/Р0 приведет к тому, что пластичес­ кая область основания займет весь пролет балки; эта область будет вытягиваться.

Для расчета по упругопластической схеме в матрице жест­ кости контактной задачи придется изменить коэффициенты же-

Рис. 6.9

сткости при силах Х0 и Х\ одинаково, так как глубина пласти­ ческой области под этими силами составляет 3Д глубины слоя. Под силой же Х2 глубина слоя составляет xk глубины слоя. По­ этому главный коэффициент матрицы жесткости при Х2 умень­ шится по сравнению с главными коэффициентами при Х\ и Х0 на следующую величину:

И 1 + Ѣ - т Ж 1 + ^ - т Н ' 4 1 -

Это повлечет за собой соответствующее увеличение Х2. Вы­

предела текучести приводит к увеличению концентрации реак­ ций к краю балки.

Дальнейшее уменьшение параметра до 2 /г=10 Р/Р 0 при­ водит к тому, что весь участок основания в пределах пролета балки переходит в пластическую стадию и балка начинает ра­ ботать как бы на основании с пониженным модулем деформа-

140

ции. В результате этого реакции изменяются. Если при этом жесткость самой балки не меняется, то происходит даль­ нейшая концентрация реакций к краю балки. Теперь получим следующие значения X: 2 Хо=0,06 Р/Ро', -Х’і= 0,14 Р/Ро и Х2—

=0 , 3 3 Р/Ро- Для сравнения на рис. 6.9 показано развитие гра­

ницы пластической области в основании при разных значениях параметра 2 k.

Полученные результаты имеют практическое значение при определении предельной нагрузки на балки, так как до некото­ рой степени опровергают довольно распространенное мнение о том, что возникновение пластических деформаций в основа­ нии приводит к снижению концентрации реакции к краю балки и к выравниванию эпюры реакции. Предельную нагрузку на балку можно определить из условия перехода в пластическую

т. е. получили бы преувеличенное значение РПр:

6.6. Использование балочных конечных элементов

Для расчета массивных сооружений, определения реакций упругого основания и их предельной несущей способности це­ лесообразно в качестве основного конечного элемента исполь­ зовать балку-консоль. В этом случае преимущества имеет спо­ соб сил. Применим балочные конечные элементы для расчета треугольного клина, который обычно рассчитывают способом плоской задачи теории упругости, применяя функцию напряже­ ний. Задача в этом случае сводится к интегрированию бпгармонического уравнения при заданных граничных условиях.

Для практических случаев переходят к конечным разностям и заменяют дифференциальное уравнение системой совместных линейных уравнений. Решение этойзадачи представляет значи­ тельные трудности, поэтому приходится применять один из приближенных способов строительной механики.

141

Сначала рассматриваем деформацию профиля плотины, предполагая, что по всей длине подошвы имеется полная задел­ ка. Затем учитываем перемещения профиля как жесткого дис­ ка, обусловленные податливостью упругого основания.

Для вычисления деформаций профиля выбираем такую рас­ четную схему, в которой профиль рассечен на несколько поло­ сок-балок. Взаимодействие между этими балками осуществля­ ется за счет касательных и нормальных напряжений.

Рис. 6.10

Если заменить криволинейную эпюру распределения напря­ жений ступенчатой и обеспечить условия контакта в отдельных точках разреза, то расчетная схема будет иметь вид, указанный на рис. 6 .1 0 , а.

При решении этой задачи способом сил получим основнуюсистему, приведенную на рис. 6.10,6. За неизвестные приняты силы Хі — равнодействующие нормальных и касательных на­ пряжений в точках контакта. Основным элементом каждогоединичного состояния является балка, заделанная одним кон­ цом.

Для подсчета коэффициентов 6 ,-й применяется общая фор­ мула, известная из строительной механики:

Здесь придется учесть некоторые особенности, присущие данной задаче; для этого каждый интеграл разобьем на два интеграла по длине балки. Первый интеграл вычислим при по­ стоянном сечении балки, второй — с учетом изменения жестко­ сти балки.

В пределах участка с переменной высотой сечения интеграл

142

G F ,

Учет влияния Ni можно распространить на обжатие вдоль , волокон балки.

Для определения неизвестных усилий Хі составляем обыч­ ную систему канонических уравнений метода сил:

моментов и продольных сил, пользуясь обычной формулой ме­ тода сил:

После этого можно перейти к вычислению перемещений то­ чек клина от единичных сил, приложенных как вне, так и внут­ ри его контура. Для этого можно использовать общую форму­

данной внешней силе. Как известно, единичное виртуальное со­ стояние можно взять в любой статически определимой системе. В данном случае такой системой будет балка, заделанная од­ ним концом. Следовательно, перемножение эпюр нужно распро­ странить только на одну полоску-балку, выделенную из клина.

Приведенные рассуждения показывают, что объем вычисле-

143 •

ний получается довольно большой. Поэтому в конце желательно проверить полученный результат. Хорошей проверкой будет со­ блюдение условий взаимности перемещений, так как взаимно равные перемещения öik— Ski могут быть вычислены двумя разными путями. Это служит дополнительной проверкой пра­ вильности расчета.

Для примера выбираем несложную расчетную схему, разбив профиль плотины на три полоски (рис. 6.11,а). Число неизвест-

Ч

•ных сил равно шести. Это решение будет приближенное, кото­

Все коэффициенты и свободные члены увеличены в - ^ ^ ораз.

d3-