Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

тонными междуэтажными перекрытиями и ленточными фунда­ ментами; нагрузка и реакции упругого основания равномерно распределены по длине пролета.

Для большей ясности рассуждений пренебрежем влиянием изгибающих моментов в колоннах. Попробуем представить иг­ ру сил в этой упругой системе и выяснить, будет ли иметь мес­

цией грунта); опорами этой балки являются колонны. Таким об­ разом, нагрузка на балку действует снизу вверх, а опорные ре­ акции — сверху вниз.

Осадка опор этой балки будет одинаковой, если реакции ее опор равны соответствующим реакциям неразрезиой балки па жестких опорах. В этом случае сооружение деформируется так, что у подошв колонн нижнего этажа будут обязательно одина­ ковые осадки.

На рис. 7.2 изображен ленточный фундамент, отделенный от колонн. Для того чтобы осадка фундамента была равномерной,

изгибающие моменты. Если эти условия не соблюдены, то фун­ дамент представляет собой балку на упругих опорах и осадка фундамента является неравномерной.

Определим силы R0, Ri и Д2 как реакции, возникающие в ко­ лоннах каркаса от внешней нагрузки. Для этого рассмотрим сначала верхний этаж, затем следующий книзу и так дойдем до фундамента.

Перекрытие верхнего этажа представляет собой неразрезную балку с заданной равномерной нагрузкой. Значит, реакции в колоннах, которые легко определить, не будут одинаковыми. Как известно, наибольшие реакции наблюдаются в средних ко­ лоннах, наименьшие — в крайних. Реакции будут одинаковыми, если колонны получат разные осадки, причем наибольшую осад­ ку получит средняя опора, а наименьшую — крайние.

150

Для промежуточных этажей схема останется такой же, но кроме нагрузки, расположенной в пределах перекрытия, доба­ вятся реакции от колонн верхнего этажа. Из схемы распределе­ ния сил для промежуточного этажа видно, что абсолютная ве­ личина разности реакций при переходе от этажа к этажу на­ капливается н, следовательно, наибольшая разность реакций будет в нижнем этаже.

Если в результате изгиба перекрытия верхнего этажа реак­ ции в колоннах одинаковые, то для промежуточного этажа полу­ чим схему нагрузки, представ­ ленную на рпс. 7.2. Поскольку все реакции верхних колонн оди­ наковы, то изгиб промежуточного этажа будет вызван только той нагрузкой, которая к нему прило­ жена. Если жесткости, а также нагрузка всех этажей одинаковы, то упругие линии всех этажей бу­

дут иметь одинаковую форму.

Таким образом, верхняя часть здания при одинаковых зна­ чениях реакций колонн До, Ді и Д2 должна изогнуться так, что­ бы крайние колонны поднялись, а средниё опустились. Это яв-

ление можно объяснить еще следующим образом. Предполо­ жим, что междуэтажные перекрытия по длине здания представ­ ляют собой неразрезные балки, лежащие на жестких опорах, а опорные реакции, приходящиеся на колонны, различны. Эпюру опорных реакций (рис. 7.3, а) можно разложить на две, из ко­ торых одна (рис. 7.3, б) имеет одинаковые ординаты, а другая (рис. 7.3, б) представляет собой уравновешенную систему сил. Следовательно, чтобы перейти к равным реакциям колонн, сле­ дует к заданной нагрузке добавить с обратным знаком уравно­

151

вешенную систему сил, показанную на рис. 7.3, в. Эти силы, хотя и представляют уравновешенную систему сил, главный век­ тор которой равен нулю, однако вызывают изгиб здания -в про­ дольном направлении. Поэтому часть здания выше фундаментов будет после деформации иметь вид, схематически изображенный па рис. 7.4.

Фундаменты же при хорошо подобранных консолях. имеют одинаковые реакции колонн п одинаковые осадки, поэтому в пределах нижнего этажа условия неразрывности деформаций при данной системе сил не будут удовлетворяться. Этот вывод мо­ жно, конечно, было предвидеть заранее, так как противоречие вытекает непосредственно из того приближенного приема, с помо­ щью которого на практике под­ считывают нагрузки для фунда­

ментов, принимая все пролеты перекрытия за балки, свободно лежащие на двух опорах.

Для того чтобы удовлетворить условиям неразрывности, сле­ дует к рассмотренной системе сил добавить дополнительную уравновешенную нагрузку, которая должна, с одной стороны, несколько выпрямить изогнутый каркас здания, а с другой — изогнуть фундамент.

О неравномерности осадок фундамента можно судить, если сделать его расчет от нагрузки, указанной на рис. 7.5. В простей­ шем случае осадки фундамента не будут одинаковыми по дли­ не здания. Наибольшая разница в осадках наблюдается у край­ них колонн. Для средних пролетов разница в осадках невелика, так что при большой длине здания дополнительная нагрузка, изгибающая здание, будет возникать вблизи крайних колонн, средние же колонны будут испытывать лишь незначительные до­ полнительные усилия.

Интенсивность нагрузки q определяется так, чтобы соблю­ дались условия равновесия.

Полученное решение будет, однако, лишь первым прибли­ жением, так как даже после приложения к фундаменту и к верх­ ней части здания уравновешенной системы сил мы не получим полного совпадения вертикальных смещений здания и фунда­ мента, т. е. неразрывность деформаций в полной мере не будет соблюдена, хотя величина ошибки будет все же значительно меньше, чем при обычном расчете.

Более точное решение можно получить, если сравнить сме­ щения верхней части здания н фундамента и добавить новую уравновешенную нагрузку, пропорциональную разнице получен­ ных смещений соответствующих точек. Эта нагрузка даст вто­ рое приближение, более отвечающее действительному распреде­ лению усилий и деформаций в системе. Но и после, второго

152

приближения мы не получим полного соблюдения условий не­ разрывности. За вторым приближением в случае необходимости может последовать третье, четвертое и т. д.

Для практических подсчетов нет необходимости вычислять много приближений, так как обычно уже первое приближение дает хорошее совпадение перемещений.

7.2. Метод решения задачи и составление общих уравнений

Для решения поставленной задачи используем приближен­ ный метод. Идея его состоит в том, что сооружение отделяется разрезом от фундамента и по плоскости разреза прикладыва­ ются силы, заменяющие взаимное действие фундамента и зда­ ния. Эти силы пока еще неизвестны, а потому сначала примем произвольный закон их распределения по линии разреза; на­ пример, при симметричной нагрузке можно принять, что эти силы распределены равномерно по линии разреза.

Случайно выбранная система сил должна, конечно, нахо­ диться в равновесии как с заданной нагрузкой, приложенной к зданию, так и с давлением на фундамент. Если пренебречь влиянием изгибающих моментов, возникающих в головах ко­ лонн, и предположить, что колонны шарнирно связаны с пере­ крытиями, то взаимодействие между зданием и фундаментом будет представляться только нормальными силами, направлен­ ными вдоль колонн. Принимая для этих сил постоянную вели­ чину, мы тем самым допускаем независимый изгиб здания и

линии разреза между зданием и фундаментом получится зазор вследствие неравномерного распределения истинных напряже­ ний, возникающих по линии контакта.

Для улучшения контакта приложим по линии разреза допол­ нительную уравновешенную систему сил, распределенную по длине здания по закону косинуса пли синуса; наибольшая ор­ дината этой нагрузки будет неизвестна. От этой нагрузки най­ дем перемещения соответствующих точек здания и фундамента

Второе слагаемое, т. е. перемещение точки от уравновешен­ ной нагрузки, следует при этом умножить на произвольный па­ раметр, характеризующий интенсивность дополнительной на­ грузки. Для определения этого параметра необходимо сравнить эпюры перемещений здания и фундамента по линии контакта. При сравнении следует потребовать, чтобы разница между эти­ ми эпюрами была минимальной, т. е. в данном случае возника­

153

ет задача определения величины параметра из условия обра­ щения функции в минимум. Для решения такой задачи умест­ но применить способ наименьших квадратов. Таким образом, схема решения общей задачи определения осадок каркасного

нием и фундаментом. Первые две задачи решаются независимо одна от другой; задача контактная связывает в одно целое зда­ ние и фундамент и дает окончательные величины перемещении и осадок фундамента здания.

Изложим сначала принципиальную схему решения контакт­ ной задачи. Для этого отделим фундамент от каркаса здания и приложим по линии разреза вдоль осей всех колонн те реакции, которые получены из элементарного расчета без учета неразрезности. Подсчитаем вертикальные смещения, которые полу­

Приложим теперь по линии разреза дополнительную урав­ новешенную вертикальную нагрузку, которую представим в ви­ де ряда Фурье:

Р = S Апcos ах -f ЪВп sin ß,..

Каждый член этого ряда может рассматриваться как само­ стоятельная группа сил. Масштабом для такой группы будет служить коэффициент Ап. Дадим этому коэффициенту значение, равное единице, и займемся одним членом ряда.

ремещение точек здания на линии разреза от всех сил будет:

полное перемещение соответствующих точек фундамента:

°Ф = °Ф + 2 Л ,^ Л).

Если дополнительная нагрузка подобрана точно, то переме­ щения соответствующих точек Оф и ѵэп должны быть между со­ бой равны. Это будет точным решением задачи, но для этого надо взять бесчисленное число членов ряда, отвечающего допол­ нительной нагрузке. При практических подсчетах приходится ог­ раничиться только несколькими членами ряда, поэтому абсо­ лютно точного совпадения эпюр перемещений здания и фунда­ мента не будет; следует, однако, потребовать, чтобы разница

154

между эпюрами перемещений была минимальной. С математи­ ческой точки зрения, в данном случае получаем задачу о приб­ лижении функции.

Такого рода задачи рассматриваются в теории интерполиро­ вания, и наиболее распространенным способом их решения яв­ ляется способ наименьших квадратов. Существо этого метода состоит в том, что для получения минимальной разницы в эпю­ рах перемещений обращают в минимум интеграл Стплтьеса:

ь

J = [ [Р (х) — f (.ѵ)]2 dty (х) = min,

а

где Р{х) и f(x) — приближаемые функции;

ф(,ѵ) — интегральный вес, который в нашем случае име­ ет постоянную производную, поэтому гіф(х) = = pdx и интеграл принимает такой вид:

ь

J = j [Р {х) — f (x)\2dx = min.

а

Заменяем:

Р (Х) = Изд = Узд

f(x) = -VQ = - [ b l + Z A avp].

Тогда получим:

Для того чтобы интеграл такого вида имел минимум, необходи­ мо подобрать параметры Ап с таким расчетом, чтобы частные производные подынтегрального выражения по этим параметрам обращались в нуль, т. е.

Для вычисления этих производных преобразуем подынтеграль­ ное выражение так:

L

155