Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

вания, направленных снизу вверх. Момент в верхней балке бу­

близок к нулю, так как он возникает только за счет концентра­ ции реакций к краю балки, которая имеет место в упругом полу­ пространстве. Если же следовать элементарной теории, то мо­ менты в обеих балках будут одинаковые, т. е. на каждую балку приходится половина внешнего момента. Приведенные выше

рассуждения показывают, что упругость прокладки значительно изменяет распределение сил в трехслойной балке, причем основ­ ная доля нагрузки передается на верхнюю балку, поэтому если предельные моменты обеих балок одинаковы или незначительно отличаются, то первый пластический шарнир появляется в верх­ ней балке. После образования первого пластического шарнира происходит перераспределение реакций в упругой прокладке, за­ тем большая часть силы Р передается нижней балке. До тех пор пока в нижней балке не образуется пластический шарнир, за­ метного увеличения прогибов не наблюдается. После образова­ ния пластического шарнира в нижней балке прогибы всей си­ стемы быстро нарастают, и практически можно считать, что не­ сущая способность трехслойной балки будет исчерпана.

Реакции в упругой прокладке после образования пластиче­ ского шарнира в верхней балке будут распределяться почти по линейному закону, поэтому их можно будет определить из усло­ вий равновесия, если отделить верхнюю балку. Тогда получим схему сил, указанную на рис. 2.10, г. Составим два уравнения равновесия:

откуда

Теперь можно перейти к расчету нижней балки, принимая для нее за нагрузку р, как это показано на рис. 2.10,0. Из фор­ мул для р\ видно, что эта реакция будет отрицательной, если пролет будет слишком большим. Условия отсутствия отрица­ тельных реакций запишем так:

При возникновении отрицательных реакций может произой­ ти выключение связей между упругой прокладкой и верхней балкой, если собственный вес верхней балки недостаточен.

Для определения нагрузки Р2, при которой образуется пла­ стический шарнир в нижней балке, необходимо сделать расчет этой балки по упругой стадии, затем найти эпюру реакций меж­ ду балкой и упругим основанием, как это сделано на рис. 2.10, д, подсчитать расстояние до ее центра тяжести с0, вычислить мо­ мент относительно середины пролета и приравнять этот мо­ мент предельному моменту в нижней балке:

балки МПР2 , но также от предельного момента верхней балки уИпрі и от упругих свойств прокладки, так как величины с0 2 и Соі являются функциями этих величин.

2.10. Сосредоточенная сила, приложенная несимметрично

При несимметричном расположении внешней силы задача усложняется, так как расположение первого пластического шар­ нира зависит от соотношения жесткостей балки и основания. В табл. 6 указаны значения ординат эпюр моментов для балок разной жесткости и при различных случаях расположения со­ средоточенной силы.

Соотношение жесткостей балки и упругого основания харак­ теризуется параметром

6 £ /(і-ц 5 ) где Е0— модуль деформации основания;

34

E J — жесткость балки;

I— пролет балки;

|л0— коэффициент Пуассона основания. Схема балки указана на рис. 2.11, а.

Для жестких балок, у которых й « 0, первый пластический шарнир образуется под точкой приложения внешней силы, если

груз находится в точке 4, то в середине пролета вместо шарнира образуется пластическая об­

ласть, имеющая длину от точки 0 до точки 2 , так как на этом участке моменты мало отличаются один от другого.

Для очень гибкой балки а « 1 первый пластический шарнир образуется всегда под грузом, за исключением того случая, ког­ да груз расположен на самом краю балки.

После образования первого пластического шарнира проис­ ходит перераспределение реакций упругого основания, и задачу надо решать для новой расчетной схемы, которая показана на рис. 2.11, б. Число неизвестных при этом будет равно 12, так как углы поворота слева и справа заделки будут разные. Решение сделаем для двух единичных состояний от Р=1 и от М = \с.

После образования шарнира жесткость системы быстро па­ дает, поэтому предельную несущую способность балки можно будет определять по этой расчетной схеме, задаваясь величиной предельного прогиба. Образование второго пластического шар­ нира на правом участке балки произойдет после значительных деформаций и перемещений элементов всей системы, поэтому для данного случая можно ограничиться изучением расчетной схемы с одним пластическим шарниром под грузом.

Решив приведенную выше систему 12 уравнений, дважды по­ лучим значения чисел влияния для всех неизвестных сил Хі, ко­ торые возникают от Р = \ и М = 1 с и являются числами влияния.

Для определения реакций основания, которые возникают от силы Р = пР0 и момента /Ипр, получим такую формулу:

X t = nPüX\ + X \ y f - ,

где Х\ и XI— числа влияния для Хі, возникающие от Р = 1 и Мпр= 1 с.

36

Предельный момент, соответствующий образованию пластического шарнира,

берется в сечении с максимальным моментом для данной балки

= 1,5-0,0589/У-

Подставляя это значение Мпр в формулу для Xit найдем

Реакции основания равны:

учитывая, что

Предельную нагрузку найдем, задавая предельное значение наибольшей осадки, путем умножения осадки, полученной в уп­ ругой стадии, на численный коэффициент &>1:

^/пр = ky0,

где уо — наибольшая осадка в конце упругой стадии;

Решая это уравнение относительно п, получим

Таким образом, предельная несущая способность балки при сосредоточенной силе, расположенной несимметрично, вычис­ ляется по формуле

37