Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

За предел упругости этот профиль перейдет в результате возникновения пластического шарнира в сечении, в котором по­ нур примыкает к основному профилю.

Для определения реакций за пределом упругости необходи­ мо решить такую систему уравнений, в которую будут входить только Х\, Х2 и Хъ, уо и фо, а Х4 можно будет определить из ус­ ловий равновесия. Если обозначить Q2 — вес плотины, Qi — вер­ тикальное давление на понур, Н — горизонтальное давление на плотину, то для вычисления Х4 получим такую формулу:

с/ 2

Для определения остальных неизвестных составим следую­ щую систему уравнений:

Хотя профиль плотины абсолютно жесткий, тем не менее сво­ бодные члены Дір, Д2 Р и Дзр, входящие в первые уравнения, не будут равны нулю; их будем вычислять как перемещения упру­ гого полупространства от силы Х4. Например:

Д , „ = Ь і , у

IP"

ел En

Система уравнений составляется для абсолютно жесткой части профиля, понур же считается отрезанным и отброшенным; его действие на оставшуюся часть профиля заменяется силой, на­

все внешние силы выразить в функции от одного параметра, так как при увеличении высоты плотины в два раза и сохранении ширины понизу ее собственный вес также удваивается, давле­ ние на понур тоже увеличивается вдвое; что же касается гори­ зонтальной равнодействующей гидростатического давления, то она увеличивается в четыре раза.

По этим причинам расчет такой плотины за пределом упру­ гости следует вести методом последовательных приближений.

28

При заданных внешних силах можно подобрать размеры сече­ ния понура, при которых образуется в опасном сечении пласти­ ческий шарнир.

2.8. Ростверк из двух перекрестных балок

Рассмотрим симметричный ростверк, который нагружен че­ тырьмя силами, как это показано на рис. 2.9. Отличие этого случая от того, который рассмотрен в п. 2.4, состоит в том, что

реакции всех балок, приложенные к упругому полупространству, оказывают взаимное влияние, и это приводит к перераспреде­ лению сил во всей системе.

Расчет в упругой стадии выполняем, используя симметрию для Ѵв части ростверка. В основной системе отделяем балки от упругого полупространства; фиктивную заделку размещаем в середине пролета. Внешние силы, расположенные в точках пе­

29

ресечения балок, распределяются поровну между обеими бал­ ками, так что к каждой балке будут приложены симметрично две силы, равные Р/2.

Для балки расчетная схема будет такая же, как была рассмотрена в п. 2.4, поскольку изгиб балки вызывается только теми силами, которые приложены к ней.

Для упругого основания схема нагрузки будет отличаться тем, что деформации упругого полупространства в данной точке будут зависеть от всех сил, приложенных к упругому полупро­ странству.

Так, например, для подсчета прогиба основания под точкой приложения силы 1, который возникает от силы 2, равной еди­ нице, необходимо подсчитать осадку точки 1 от восьми сил, при­ ложенных в точках 2 (рис. 2.9, б), причем большинство рас­ стояний от точек 2 до точки 1 будет являться дробными числами

грузку сосредоточенной. Тогда осадка точки основания, распо­ ложенной на расстоянии г от точки приложения нагрузки, будет равна:

в сечениях под силами. При дальнейшем увеличении нагрузки вторые пластические шарниры возникают в серединах пролетов, и окончательная схема расположения шарниров показана на рис. 2.9, д. Усилие в четвертом опорном стержне можно опреде­ лить из условий равновесия консоли

После этого консоль в основной системе у балки можно от­ бросить и заменить ее действие на оставшуюся часть моментом

Af,

МПр и силой —— , приложенной в шарнирне. Для расчета полу- с/2

чим основную систему, изображенную на рис. 2.9, г. Для опре­ деления Х0, X], Х2 и Хг составим теперь систему уравнений:

^00 *0 + б-Л ^1 + ^02 Х-2 + Ö03 Л'з + Аор + Уо + Обфо — 0;

+ ö12X2 + S13X3 + А,р + У0+ ІСФ0 = 0;

30

* 0 + - ^ l “Г -^2 + ^ З — ~

Х0 0 -f- с -|- Х% 2с -j- X s 3с —— Мпр— Х^- Зс-f- -—3с МПр.

Решив эту систему уравнений, найдем все Хі и с помощью их величину изгибающего момента в точке 0 балки. Затем при­ равняем этот момент предельной величине п получим уравне­ ние для определения нагрузки, которая соответствует образо­ ванию шарнира в середине пролета балки.

Вданной расчетной схеме свободные члены уравнений, т. е.

Дор, Л і р . вычисляются с учетом всех внешних сил, к которым

относят для балки силы Рцр/2, Х4 и моменты Мпр, приложен­ ные на краю и в середине пролета, а для упругого основания — силу Хц. Так, например,

В данном случае Дор зависит только от деформации основа­ ния, так как точка 0 балки имеет перемещения, равные нулю, и в этой точке находится заделка. Для других точек нужно так­ же учесть изгиб балки.

Момент в заделке вычисляется как сумма моментов левых или правых сил. Для определения предельной внешней силы, при которой возникают все шарниры, надо сложить все силы X,-:

I f - ^ x . + x . + x . + x . + x , .

Рассмотренный случай представляет интерес потому, что не­ сущая способность всей системы зависит от прочности упругого основания. Если упругое основание является недостаточно проч­ ным, то вторая группа пластических шарниров в середине про­ лета ригелей не сможет образоваться, так как консоли после образования шарниров практически потеряют свою несущую способность и вся нагрузка будет передаваться на среднюю часть балки. Наибольшая величина среднего реактивного дав­ ления, приложенного к консоли, будет равна:

п _ Хі _ 2МПр

сЬ С- b

Среднее же давление на среднем участке балки

31

Для того чтобы реакции были одинаковы по всей подошве

Вся нагрузка, приложенная к ростверку, равна: Q = 4Рпр = 72 Мпр

I

но так как с= — , то

9

О = 72-9 LLP = 548 — 1 .

I I

Эта нагрузка является верхним пределом. Практически более правильно будет считать, что исчерпание несущей способности ростверка наступает после того, как образовались шарниры под силами.

2.9. Трехслойная балка

В трехслойной балке, лежащей на упругом основании, рас­ пределение сил за пределом упругости отличается от того, что получается в однослойной балке, в особенности если между дву­ мя балками, имеющими разную жесткость, размещен упругий слой, воспринимающий только вертикальные реакции. Схема балки указана на рис. 2.10. Распределение реакций в упругой стадии характеризуется тем, что внешняя сила Р распределяется непропорционально жесткостям балок; в этом легко убедиться, если сделать расчет при разных жесткостях упругой про­ кладки.

Например, пусть обе балки имеют одинаковую жесткость на изгиб, а упругая прокладка имеет жесткость, относительно зна­ чительно меньшую, тогда обжатие упругой прокладки по длине всего пролета будет почти одинаковым. Но реакции в упругой прокладке будут пропорциональны ее обжатию, поэтому если отделим верхнюю балку от упругой прокладки, то верхняя бал­ ка будет находиться сверху под действием сосредоточенной си­ лы Р, а снизу — под действием реакций упругой прокладки, ко­ торые равномерно распределены по длине пролета п в сумме равны силе Р.

Нижняя же балка находится под действием этих же реакций прокладки, направленных сверху вниз, и реакций упругого осно-

32