ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 0
194 |
КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИЯ |
[ГЛ. в |
условия нулевыми. Желательно определить значения а; и bt, доставляющие минимум функции штрафа для &-ша- гового процесса
к
J = 2 е2 (к), е (к) = ут (к) — z (к).
к=1
Для этого строится итеративная процедура с использова нием квазилинеаризации. Минимизация проводится при
П о м е х а
Рис. 6.3.1. Структурная схема задачи идентификации: пример 6.3.1.
учете ограничения, заданного в форме равенства (рис, 6.3.1)
Ута(*) N(z)
w ( z ) |
D (z ) |
ИЛИ
Ут (г) D (z) = w (z) N (z).
Для того, чтобы получить нелинейное уравнение модели, произведем квазилинеаризацию относительно jV-й итера ции траектории
Vm(z) DN (Z) + |
Ут(z) [Dn+1 (z) - Dn (z)} + |
|
|||||
|
|
+ |
DN (z) |
(г) — Ут(z)] = |
N N+l (z) W(z). |
||
В этом |
соотношении |
yNm¥l (z) |
является |
линейной ап |
|||
проксимацией |
i/m(z) |
на |
(N + |
1)-м шаге алгоритма |
|||
Найдем |
решение |
(/™+1 (z) |
и, |
вычтя z (z), определим |
6.3] ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ 195
квазилинеаризованпое значение ошибки |
на |
(N 4- |
1)-й |
||||||||
итерации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H |
(Z) = y N + l (Z) — г (2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
]V1V+1 , |
ч |
|
Г |
1 — |
PN+l (z) |
< |
(z) - |
z(г). |
|
|
|
---------(*J- - М» U) + |
|||||||||
|
|
D n ( z ) |
|
|
L |
D n ( z ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь |
удобно ввести |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
W N (Z) = |
«’ (z) |
|
Г» (z) = |
Ут (г> |
|
|
|||
|
|
D N ( z ) |
’ |
(г) |
’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
так |
что |
уравнение |
ошибки |
примет |
вид |
|
|
|
|||
е"+! |
(2) = NN+l (z ) W* (Z) + |
у£(г) - |
DN+1 (z) |
Km (z) - |
z (z). |
||||||
Кроме того, определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P — (a0, « 1, ••м ^m) |
^1? |
|
* ••) |
|
> |
|
|||
Q * = [^ n (A:), tKN (к — 1), . . . |
|
|
|
|
|
|
|||||
. . . , W N{ k - m ) , Y % ( k - |
1), Km(k — 2), . . |
K m — n)]T, |
|||||||||
так |
что |
обратное z-иреобразование уравнения ошибки |
|||||||||
eN+1 |
(z) |
дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eN+l (к) = QjP]V+1 + |
y i (к) - |
Y l (к) - |
z (к). |
|
Теперь, располагая простым выражением для ошибки, можно подставить его в функцию штрафа и, минимизируя ее по Pw+\ получить
Pw+1= |
к |
|
|
З-1 2 I Уш (к) + |
z(k) — yNm {к)] Q*, |
||
|
к=1 |
|
|
|
s |
= S Q*Q*. |
|
|
|
f r = l |
|
Процедура |
решения |
задачи |
идентификации относи |
тельно проста. Уравнения, определяющие WN(z) и К „ (z), используются для получения векторов Р и Qt. Эти векто ры используются в итеративной схеме пересчета по дан ным о выходном сигнале объекта и последней итерации
7*
196 |
КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИЯ |
[ГЛ. в |
модели. Шульцу [135] принадлежит машинная реализация этого метода, которая является переложением алгоритма квазилинеаризации для задачи, предложенной Стейглицем и Мак Брайдом [139] и решенной ими градиентным ме тодом.
Пример 6.3.2. Продемонстрируем теперь применение дискретных алгоритмов квазилинеаризации к идентифи кации параметров систем. Желательно определить цифро вой сигнал yd (t), приближающий аналоговый сигнал уа (t), где уа (/) и yd (t) — это т-векторы, описывающие выход системы при заданном входном сигнале.
Предполагается, что аналоговый сигнал уа (1), так же как и входной сигнал, полностью известны. Форма цифро вого представления выходного сигнала предполагается известной с точностью до р-мерного вектора Р неизвестных параметров. Для определения Р необходимо минимизиро вать функцию штрафа
iV-l |
|
|
■/ = Т 2 |
\\Уа(кТ)-Уа(ЩТп |
(1 ) |
к=о |
|
|
при ограничениях |
|
|
yd((n + l ) f ) = f [уДиГ), Р1, |
(2) |
|
Р ((я + |
1)Л = Р(пТ). |
(3) |
Применение обычного вариационного исчисления |
(Сейдж, |
[116]) показывает, что оптимальный вектор параметров Р определяется решением системы, состоящей из разностных уравнений (2), (3), и сопряженной системы уравнений
df |у, ( п Т ) , Р| |
+ |
1)т) + |
R I Уа (пТ) - yd(пТ)1, |
|
К (пТ) “ — dt (nT)— |
||||
d f [v , (п Т ), Р] |
|
|
|
( 4 ) |
|
|
|
|
|
^ № = ~ \>у;{пП - |
^ ({п + |
Г) + ^ ((п + !) Г)- |
(5) |
|
С условиями на концах |
|
|
(6) |
|
ку (NT) = Xv(NT) = |
Xv(0) = |
Ху (0) = 0. |
Уравнения (2)—(6) представляют собой двухточечную не линейную краевую задачу, для решения которой удобно
в.зТ |
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ |
197 |
было бы воспользоваться методом квазилинеаризации. За пишем уравнение для нового 2(т -f р)-мерного вектора
х((п + 1)Г) = ч|х(иГ)] |
(7) |
при дополнительных условиях
<С;0Т), х (/Г)) = Ь{ (/Г) 0 = О, ЛГ; i = 1, 2, . . т + р), (8)
где С и х — это 2( т -0р)-мерные векторы, а через обозначено внутреннее произведение векторов. Если х° (пТ) — это начальное приближение решения уравне ния (7), то (N + 1)-е приближение связано с N-м сле дующим рекуррентным соотношением:
-f- 1) Т) —
= q [х* (гаГ)] + J {q [xw (пТ)]} {xN+'{nT) — x N (пГ)), (9)
где J — якобиан, у которого на (i, /)-м месте стоит част ная производная dqjdxj.
Применение этого метода позволяет построить «наи лучшее» дискретное представление непрерывной системы. Так как эта паилучшая аппроксимация является функцией
5 |
Уга 1_ |
У/а |
s+Z |
S |
|
Рис. 6.3.2. Система с обратной связью и нелинейностью.
аналогового входа и переменных параметров, для непре рывной оптимизации вектора параметров Р в реальном масштабе времени использование адаптивной обратной свя зи еще больше повысило бы точность дискретной модели.
Рассмотрим нелинейную систему, блок-схема которой изображена на рис. 6.3.2. Для моделирования непрерыв ного интегратора можно было бы использовать суммирова ние по трем точкам. В этом случае усиление до и после не линейности подстраивается процедурой дискретной ква зилинеаризации. Здесь используется другой подход, ко торый приводит к менее точной аппроксимации, но зато
198 |
КВ АЗИЛИНЕ АРИЗАЦИЯ |
[ГЛ. 6 |
снижает порядок дискретной системы. Операция интегри рования 1Is заменяется прямоугольным дискретным
Рис. 6.3.3. Дискретная модель системы рис. 6.3.2.
интегрированием (суммированием), а z-преобразование дискретного эквивалента инерционного звена имеет вид
_____4=х |
ЪТгч |
s+ 2 ** 1 - |
e_2Tz-1 ‘ |
Параметры усиления р± и р2 вводятся до и после нелиней ности. В результате получается дискретная модель, изоб раженная на рис. 6.3.3. Входной сигнал представляет
Рис. 6.3.4. Результаты |
Рис. 6.3.5. Результаты вычис |
вычислений для примера 6.3.2 |
лений для примера 6.3.2. |
собой скачок амплитуды А. Таким образом, дискретная модель описывается следующей системой разностных уравнений (R = I):
Ух ((п + |
1) |
Т) |
— Ух (пТ) -f Трг ((/г + |
1) |
Т) |
[у2 ((п + |
1) Т) + |
|
|
|
|
|
+ |
0, 01 |
у* ((я + |
1) Т)], |
|
Уг ((п + |
1) |
Т) |
= |
— 5 Трх (пТ) у1 (пТ) |
-|- е~2Т у2 (пТ) + |
|||
Рх ((« + |
1) |
Т) |
= |
Рх (пТ), |
|
|
+ 5 Трх (пТ) А |
|
|
|
|
|
Рг ((п + 1) Т) — р2 (пТ).
6.4] РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 199
Затем выписывается сопряженная система разностных уравнений ж расширенная система разностных уравнений квазилинеаризуется. На рис. 6.3.4 показаны результаты вычислений оптимальных значений параметров рг и рг. На рис. 6.3.5 изображена зависимость оптимальных зна чений параметров от амплитуды скачка.
6.4. РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
Несмотря на то, что методы разностной или дифферен циальной аппроксимации имеют несколько серьезных ог раничений, при необходимости их можно использовать для вычисления начального приближения для процедуры квазилинеаризации или процедуры градиентного типа. Алгоритм является неитеративным, решение получается в первой же итерации. Рассмотрим сначала дискретный ва риант алгоритма, известный под названием разностной аппроксимации, а затем займемся непрерывным случаем дифференциальной аппроксимации. Алгоритм весьма прост и неоднократно рассматривался многими авторами, однако общепризнано, что основным создателем алп> ритма в его современной трактовке является Ричард Веллман.
Предположим, что система описывается A -мерной дис кретной моделью
х(к + 1) = ф [х (к), а, к] -f w(/c), |
(6.4.1) |
где а — m-мерный вектор неизвестных постоянных пара метров, a w (к) — входной шум. Компоненты векторфункции <р [х (к), а, &] имеют вид
{ф [х {к), а, А|Ь = gj (a) h, (х, к), |
(6.4.2) |
где g и h — конечномерные векторы. Такое ограничение вида ф не является серьезным, так как охватывает все из вестные входные сигналы, в том числе sin [аа;(/с)] или ехр { — ах (к)}.
К сожалению, необходимо также предположить, что вектор входного сигнала х(к) известен для всех к из не которого конечного интервала [/c0, kt]. Позже мы обсудим,
200 |
КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИЯ |
[ГЛ. в |
как это требование может быть ослаблено, но пока будем предполагать, что все необходимые данные имеются.
Мы хотим подобрать такой вектор параметров а, чтобы минимизировать следующий показатель качества:
*'г 1
J = 2 IIх (к + 1 ) — <РI х (к), а, к] |q№), (6.4.3)
к=ко
где Q (к) — произвольная положительно определенная
матрица. Часто будем выбирать Q(к) = V^1 {к) для того, чтобы получить оценку по методу максимума апостериор ной вероятности. Эту оптимальную задачу можно решить непосредственно, приравняв частную производную J по а нулю. При Q = I имеем
kf-i
2 |
й«рт [х (к), а, к] |
|
|
|
|
да |
<Р [х (к), а , Л] = |
|
|
||
к=к0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ у |
дф1 [х (к), а, к] |
x(fe-f-l). |
(6.4.4) |
|
|
2 |
да |
||
|
|
к=к„ |
|
|
|
Вследствие того, что ср имеет вид (6.4.2), уравнение (6.4.4) представляет собой систему т алгебраических уравнений, решение которой определяет искомый вектор параметров объекта а.
Если <р [х (к), а, к] линейна по а, то (6.4.4) сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которые лег
ко решаются. |
В этом случае |
<р [х (к), |
а, |
к] |
имеет следую |
|
щий вид: |
|
|
|
|
|
|
ф [х (к), а, /с] = с [х (к), к] + F |х (к), |
к] а, |
(6.4.5) |
||||
где с [ж (к), к] |
— Лт-вектор, a |
F [х (к), |
к) |
— {N X |
^ -м ат |
рица. Если подставить выражение (6.4.5) в уравнение (6.4.4), то получим
к1~1 |
|
|
2 |
Гт [х (к), к] {с [х (к), Л] + F [х (к), к] а} = |
|
*=к. |
|
kf-1 |
|
= |
2 FTlx (k), к] х(к -1- 1) |
|
|
к—ко |