ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
6.4] РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ 201
ИЛИ
( “г 1
2 Fт [х (&), /с] F [х (А:), /«па = I к=к,
кг |
1 |
= 2 |
ГТ 1х(/с),/c]{x (fe + 1 )— c[x(fc), А:]}. (6.4.6) |
к=ко
Следовательно, оптимальная оценка вектора параметров а
определится |
как |
|
||
|
4-1 |
|
|
|
а = |
2 |
FT [x(/c),/c]F[x(fc), к] |
х |
|
|
к—ко |
|
|
|
|
X |
2 |
Fa [х (к), к] {х (к + |
1) — с [х (к), /с]}. (6.4.7) |
|
|
к=к0 |
|
Отметим, что линейная по а система может быть существен но нелинейной по х.
Пример 6.4.1. Для иллюстрации метода рассмотрим ис пользование алгоритма дифференциальной аппроксима ции для определения параметра а следующей одномерной системы:
х (к + 1) = х (к) ах2(к) -f ю (к) + и (к),
где и (к) известно. Эта система линейна по а и, следователь
но, результат |
(6.4.7) применим. В этом |
случае имеем |
||
с 1х(к), |
к] = х (к) + |
и (к) и F [х {к), к] = |
х2(к) так, что |
|
оценка |
а имеет вид |
|
|
|
|
|
kr i |
|
|
|
аД _ |
^ |
ж2 (к) [х (к + 1) — ж (к) — и (Л)] |
|
|
---------------------------------------к=к, |
---------- ------------------------------------------------------ |
. |
|
|
|
|
2 х4(*) |
|
|
|
|
к=к0 |
|
Главная трудность на пути использования этого алгорит ма связана с необходимостью располагать полной инфор мацией о состоянии системы на конечном интервале вре мени. Один из возможных способов преодоления этой труд ности состоит в использовании точечных оценок с тем,
202 |
КВАЗИ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ |
[ГЛ. 6 |
чтобы по имеющимся данным получить грубую оценку тра ектории. А затем для оценивания параметров можно было бы использовать алгоритм разностной аппроксимации. Эти оценки могут быть и не слишком точными, если имеющиеся данные были искажены помехами. Тем не менее оценки параметров и состояния системы дают достаточно точное начальное приближение для использования градиентных алгоритмов или алгоритма квазилинеаризации,
К непрерывным системам можно применить алгоритм дифференциальной аппроксимации. В этом случае урав нения модели имеют вид
x{t) = f \x{t), a, t] -f w(<), |
(6.4.8) |
где f [x (t), a, t\ — того же вида, что и раньше, т. е. компо ненты f удовлетворяют (6.4.2). Показатель качества опре деляется, как
J = ^ I X (t) — f [х (<), a, t] |q(0* , |
(6.4.9) |
to |
|
где Q (t), как и раньше, произвольная положительно определенная матрица. Здесь х (t) и х (t) предполагаются известными на интервале [<„, tj].
Если приравнять частную производную / по а нулю, то для Q = I получим следующую систему алгебраических уравнений относительно а:
( а,ТЛ ^ - H 'W , а. ( 1 * -
*0
= ^ afT 1хэ(а0, а’ П X(0 dt. (6.4.10)
Непрерывный алгоритм по сравнению с дискретным имеет еще один недостаток — необходимость знания производной х (t). Один из выходов состоит в аппроксимации производ ной конечными разностями, что по существу превращает алгоритм в разностный.
6.51 |
ВЫ ВОДЫ |
203 |
6.5. ВЫВОДЫ
Развитый в этой главе метод квазилинеаризации может быть использован для преодоления вычислительных труд ностей решения двухточечных краевых задач, связанных с некоторыми постановками задач идентификации систем. Хотя квазилинеаризация используется в основном как непрямой вычислительный метод, ее можно применить и для непосредственного решения некоторых классов задач идентификации, что приводит к простым и эффективным алгоритмам. Рассмотрены дискретная и непрерывная фор ма алгоритмов квазилинеаризации.
Также были изучены методы дифференциальной и раз ностной аппроксимации. Несмотря на присущие этим ал горитмам ограничения, существуют задачи, к которым они применимы, кроме того, эти алгоритмы могут быть ис пользованы для вычисления начальных приближений итеративных процедур типа квазилинеаризации или гра диентных методов.
Глава 7
ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
7.1.ВВЕДЕНИЕ
Вэтой главе рассматривается подход к идентификации систем, который отличен от большинства ранее рассмотрен-
н.IX методов. Будут развиты последовательные алгоритмы идентификации систем или идентификации в реальном
масштабе времени. Такой подход противопоставляется рассмотренным в предыдущих главах непоследовательным алгоритмам идентификации или идентификации вне кон тура регулирования. Во многих случаях (например, для многих задач теории управления) желательно в «скользя щем времени» иметь последовательные оценки параметров системы по мере поступления данных о функционировании.
По существу последовательное оценивание параметров систем — это не более чем задачи нелинейной фильтрации. По вопросам линейной и нелинейной фильтрации имеется обширная литература (см. ссылки в книгах Сейджа и Мелса [127], Язвинского [61]); читатели, более глубоко интересующиеся теорией нелинейной фильтрации, могут обратиться к этим источникам. Ниже развивается только один подход к нелинейной фильтрации. Это метод инвари антного погружения, который применяется к решению ДТКЗ, связанных с идентификацией систем (см. главу 3). Этот метод был выбран из-за его идейной простоты и боль шой гибкости. Сначала рассматривается более простой не прерывный случай.
7.2.НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
Вэтом разделе будет рассмотрен непрерывный ва риант алгоритма инвариантного погружения. В целях упрощения обозначений и увеличения общности резуль татов исследование будет базироваться на общей постанов ке двухточечной краевой задачи. Необходимо найти
7.2] |
НЕПРЕРЫ ВНЫ Е |
СИСТЕМЫ |
205 |
|
решение ДТКЗ: |
|
|
|
|
|
х (0= v [ x ( 0 , |
А, (0, t], |
(7.2.1) |
|
|
4 0 = Их (0, ЦО, 11 |
(7.2.2) |
||
с условиями на концах траектории |
|
|||
Ш |
— Ах (<0) |
b, |
X(tf) — 0. |
(7.2.3) |
Эта формулировка охватывает все двухточечные краевые задачи из главы 3.
Основная идея инвариантного погружения состоит во включении частной задачи в более общую задачу. Если можно решить общую задачу,то частная задача ре шается автоматически. Удивительно, что часто легче ре шить более общую задачу.
Мы обобщим ДТКЗ, т. е. осуществим инвариантное погружение задачи (7.2.1) — (7.2.3), допустив, что условие на конце траектории при t — tt равно не 0, а с. Другими словами, вместо X (tf) — 0 будем писать X (tf) = с. Кроме того, будем предполагать, что как величина с, так и мо мент tf переменны. В частности, будут рассматриваться «соседние» траектории, одна из которых удовлетворяет условию X (tf) = с, а другая — условию X (tt + е) = = с -f Дс.
Относительно первой траектории допустим, что зна чение состояния системы на конце траектории имеет вид
х (tf) = г (с, tf). |
(7.2.4) |
Другими словами, функция г (с, tf) отражает связь между
условием |
на |
конце X (tf) |
— с и финальным значением |
|
x(f) при |
t = |
tf. |
Если эта |
функция известна, то ДТКЗ |
легко можно было бы решить, интегрируя х и X от конца |
||||
траектории при |
условиях |
Х(//) = с и х (tt) = г (с, tf). |
Но функция г (с, t/) неизвестна, таким образом, необхо димо иметь метод ее определения.
Предположим, что имеется траектория, для которой при t = tf X (tf) = с и х (t/) = г (с, tf). Изменим слегка конечное значение tt на tf + е:
X(tf г) — с + Ас |
(7.2.5) |
206 |
ИНВАРИАНТНОЕ |
ПОГРУЖЕНИЕ |
[ГЛ. 7 |
и соответственно |
|
|
|
|
X (tf + е) = X (tf) + |
Ах = г (с, tf) + Дх, |
(7.2.6) |
где Дх и Дс имеют порядок О (е)*). Но, с другой стороны,
X (tf + е) = г (с + Дс, |
tf + е). |
(7.2.7) |
||
Приравнивая правые части |
(7.2.6) |
и |
(7.2.7), |
получим |
г (с, tf) -f- Дх = |
г (с -f- Ac, |
tf + е). |
(7.2.8) |
Если разложить правую часть уравнения (7.2.8) в ряд Тейлора относительно с и tf, получим
5г (с, t.) |
|
dr (с, t А |
_ |
||
Дх = -----— Дс -\------------8+ |
О (е2). |
(7.2.9) |
|||
|
5с |
|
|
|
|
Обращаясь к уравнениям (7.2.1) и (7.2.2), видим, что |
|||||
Дх = |
Y I1' (с, tf), |
с, |
t,] в + |
О (в2) |
(7.2.10) |
ДС = |
p[r(c, I f ) , |
с, |
tf\e + |
0 { в2). |
(7.2.11) |
Так что уравнение (7.2.9) принимает вид |
|
||||
у [г (с, tf), с, tf\е = |
5г (с, tf) |
tf), с, tf] в + |
|
||
-----р [г (с, |
|
||||
|
|
|
5г (с, г .) |
|
|
|
+ |
а |
е + ° ( е >- (7-2Л2) |
Поделив (7.2.12) на в и устремляя в к нулю, получим урав нение в частных производных, которому должна удовлет ворять функция г (с, tf):
Y l r >с, t fI |
дт[с, tf) |
Р(г, с, tf) |
дт(с, tj) |
(7.2.13) |
|
дс |
dt. |
||||
|
|
К сожалению, неизвестно, как решать это уравнение в об щем виде. Однако часто мы можем аппроксимировать ре шение линейной функцией
г (с, tf) = |
\{tf) + Р (0)с. |
(7.2.1Л) |
*) О (eJ) означает, н о |
lim Q (e^)/sJ 1 = |
0. |
e-»o