Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

7.2] НЕПРЕРЫ ВНЫ Е СИСТЕМЫ 207

Здесь х (tf) — решение для случая с = 0, которое яв­ ляется решением исходной ДТКЗпри X (tf) = 0. Другими словами, предполагается, что г (с, tf) является оптималь­ ным значением х (tf) (все еще неизвестным), если с = 0, плюс линейная комбинация отклонений отО, характеризуе­ мых вектором с. Такая аппроксимация будет хорошей, если с — 0, т. е. когда рассматривается траектория вблизи истинного оптимального значения. В дальнейшем будем предполагать, что с мало, пренебрегая членами по­

рядка

О (|с |2) и выше.

 

 

 

 

 

 

Если подставить (7.2.14) в (7.2.13), получим

 

Y [х + Рс, с, £/] =

Рр (х + Рс, с, tf)

+

х +

Рс.

(7.2.15)

Теперь разложим у и р в ряд Тейлора

относительно х, с

и tf,

ограничившись

членами

порядка

с.

Уравнение

(7.2.15) преобразуется

к виду

 

 

 

 

 

 

~

д\ (х, с, t , )

Р с

 

 

 

 

 

 

У (х, с, tf) -|--------------—

—

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Рр (X, с, tf)

+

dfi (х, о, t , )

 

л

4- Рс.

(7.2.16)

 

Р ■- ■

1 Рс +

X

дх

Для того чтобы продолжить вывод, необходимо вместо v и р подставить функции, которые соответствуют ДТКЗ для идентификации систем. Ради простоты используем ДТКЗ вида (3.2.37) — (3.2.39); обобщение для ДТКЗ вида (3.2.63) — (3.2.65) получается непосредственно. Из (3.2.37) и (3.2.38) функции у и р определятся как

у (х, с, tf) = f (х, tf) — G (х, t f) i|7w(tf) GT (x, tf) c, (7.2.17)

-dll'1 (x, tt )

p (x,

c, tf) =

-------- ---

f ■ ф у |Z — h (x, tf)] —

 

 

 

OS.

 

 

_

dfT (i(,

„ +

d |(.,T G (x, tf) $ w (tf) GT (x, tf )] c

( 7 2 1 8 )

 

Эх

 

Эх

 

Отметим, чго последнее слагаемое в выражении для р можно опустить, так как оно второго порядка малости по с. Теперь, если подставить (7.2.17) и (7.2.18) в (7.2.16),

получим следующее выражение, не содержащее членов

208

ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖЕНИЕ

[ГЛ. 7

более высокого порядка малости, чем с:

f (X, tf) - G (к, t{) У w (tf) GT (x, tf) c +

Pc =

 

Ox

= p

9hT^

г/)

ИГ-Ч- .h lZ

/ М

D

.afT(*-*/)

c +

Ox

- ^ [ z - M x ,

G)1 — P-

 

Ox

 

kT,

 

,

~

I

 

 

 

я ( Oh

(x, tf )

 

X + Pc.

 

+ p Ox

 

Ox

—

ЧГу [z — h (x, tf)}\ Pc +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.2.10)

Так как эта формула должна быть справедлива для всех достаточно малых с, можно отдельно приравнять коэффи­ циенты при членах нулевого и первого порядков малости по с. В результате получим

X =

f (X, tf) + Р

Э1- - Х:

Ф1;1(tf) [z -

h (X, tf)1,

(7.2.20)

 

 

дх

dtT(x, *,)

 

 

Р =

 

 

+

 

— G (х, G)*Pw (G)GT(i, t,) + Р

дх

 

 

 

 

 

 

 

i l i i l i L p _ p » (

_

 

h

p.

 

Ox

Ox (.

Ox

 

 

)

 

 

 

 

 

 

(7.2.21)

Этот результат можно представить в несколько более зна­ комой форме, подставив Р = — Р. К тому же вспомним, что финальный момент tf переменный, и обозначим его просто t. С этими изменениями уравнения (7.2.20) и (7.2.21) перепишутся в виде

х(<) = f [x(<), <] +

 

+

0hT lx U),

tl

,

 

 

~

_

 

Р («)-------y i U

-

W-i {t) {z {t) _

h jx (f)i t])t

(7.2.22)

 

 

dx (t)

 

T

-

 

0fT [x (0, t]

P (t) =

 

 

 

G [X(0, 01 V w (0 G1

[X (0, t] +

P (t)------ +

 

 

 

 

 

 

 

 

dx (f)

 

o f [ x ( t ) , <L p ) _ p

w

_ j L _

0hT [x(0, «I „ р-I

 

1

0x(t)

 

Ox (0

 

**v (t){z(t)-

 

Ox (0

 

— hlx(<), f)> P(0. (7.2.23)

7,2] НЕПРЕРЫ ВНЫ Е СИСТЕМЫ 209

Начальные условия для уравнений (7.2.22), (7.2.23) мож­ но получить из условия (3.2.39), а именно из условия

Ч *о)= - VxJ [i(< o)-M x0].

(7.2.24)

Если решить это уравнение относительно х (t0), цолучим

х (^о) — М-х»— Ух,Л (£<>)•

(7.2.25)

Простое сравнение уравнений (7.2.14) и (7.2.25) обнаружи­ вает, что следует использовать начальные условия

x(<0) =

Mx0,

' (7.2.26)

P(*o) =

Vx,

(7.2.27)

Читателю следует помнить, что при переходе к урав­

нениям (7.2.22), (7.2.23) была

сделана замена Р = — Р,

которой объясняется отсутствие минуса в (7.2.27).

Теперь можно проинтегрировать уравнения

(7.2.22)

и (7.2.23) в прямом времени с начальными условиями (7.2.26) и (7.2.27), чтобы получить последовательную оценку «состояния» х (t). В случае постоянных парамет­ ров, который представляет наибольший интерес при иден­ тификации систем, значение, получаемое в момент t =

— tf, представляет собой выход фильтра и сглаженную оценку Следовательно, финальные значения оценок пара­ метров идентичны значениям, полученным в результате решения ДТКЗ непоследовательным методом. Для удоб­ ства результаты сведены в табл. 7.2.1.

Уравнение (7.2.23) очень похоже на уравнение фильтра Калмана для дисперсии ошибки. Если f, g и h — линей­ ные функции х, то (7.2.23) есть просто фильтр Калмана. Нетрудно показать (Сейдж и Мелса [1271), что уравнение (7.2.23) представляет собой первое приближение оценки условной дисперсии ошибки

 

 

 

(t) =

var {х (t)|Z (t)},

если,

как

предполагается

в главе 3, начальное условие

х (/0) и входные шумы w(/)

и v (t) — гауссовские процессы.

Пример

7.2 1

Для

того

чтобы продемонстриро­

вать

применение

алгоритма

к идентификации систем,

7г8 Э. П. Сейдж, Дж. Л. Мелса

210

ИНВАРИАНТНОЕ

ПОГРУЖЕНИЕ

[ГЛ. 7

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 7.2.1

Непрерывные алгоритмы

инвариантного погружения

Модель системы

 

 

 

 

 

 

 

i(t) =

f [x(«), t] +

G[x(t), t] w (t)

(3.2.5)

Модель наблюдений

 

 

 

 

(3.2.6)

 

 

z(0 = h[x(/),

t] +v( t)

 

Статистические характеристики

 

 

 

 

£{*(«»)} = рХо,

var {х (to)} = Vw

 

 

 

(/)} = »{v(/)J = 0,

 

 

 

cov {w (0.

w (t)} =

(t) 6D (г — T),

 

 

cov {v (0,

v(t)} = 4% (t) SD (t — t)

 

Алгоритмы фильтрации

 

 

 

 

Mt) =

f [x (/),

t] +

 

 

 

 

 

 

 

+ p m

9

' X/|0, l]

v ; 1 (0 {/. (t) - h | i ( O t »l)

(7.2.22)

 

 

dx (t)

 

 

 

 

Уравнения для дисперсии ошибки

 

 

Р (0 = G [х (0,

«1

 

(t) GT (£ (/), t] +

 

 

 

 

9fT[i(i), <]

af[x (/),<!

P (* )-

 

 

+ Pit)

dx (/)

+

dx (t)

 

 

 

 

 

 

 

P (O'

a

<?hT [ x (<). /|

T-;l (t)!z (0 -h [x (i), *]}

p (*)

ax (t)

 

dx (l)

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.2.23)

Начальные условия

*W = Их„- p ('») = vx

рассмотрим задачу идентификации переменного параметра в системе второго порядка (Детчменди и Шридхар [30]). Система описывается моделью

ii = »а + (0.

= —2^ — а (t) х\ — Зх2 + 5 sin t -f w2 (t),

Смотрите также файлы