ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
7.3] |
ДИСКРЕТНЫ Е |
СИСТЕМЫ |
217 |
|
|
Рассмотрим снова общую ДТКЗ, но в дискретном вре |
|||
мени*) |
|
|
(7.3.1) |
|
|
х(к + 1) = |
«[х(к),%(к),к], |
||
|
Ч *+ 1 ) = |
т|[х(А),ЧА),А] |
(7.3.2) |
|
с условиями на концах |
|
|
|
|
|
Ч*о) = Ах(/с0) + Ь, |
l ( k t) = 0. |
(7.3.3) |
|
Заменим условие на конце Х(АД = 0 более общим ус ловием \{kf) = с. Пусть kf и с — переменные величи ны. Значение х на том же конце траектории определит ся как
х (kf) = г [с, к{]. |
(7.3.4) |
Допустим, что ДТКЗ решается для одного интервала квантования так, что kf переходит в kf + 1, а с в с + Дс. Новое финальное значение х имеет вид
|
|
х (к/ + |
1) = |
х (kf) -j- Ах = г (с + |
|
Ac, kf + |
1). |
(7.3.5) |
||||
Но х (kf) = г (с, kf) |
так, что имеем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
г (с, kf) + |
Ах — г (с -f Ac, kf + |
1). |
|
(7.3.6) |
||||||
Можно записать г (с |
+ |
Ac, kf |
Д-1) |
в |
следующем |
виде: |
||||||
г (с + |
Ac, kf + |
1) = |
|
|
|
бг (с, kf), |
|
х 64 (с, kf) |
||||
|
|
|
бг (с, к.) |
|
^ |
|||||||
|
= |
Г (С’ kt) + |
"бс~ |
АС + |
~ Щ- |
|
•Т |
|
бсбк. |
ТАс. |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.3.7) |
Здесь бг/бс — первая частная разность |
|
|
|
|||||||||
|
|
Г бг (с, kf) 1 |
^ |
г. (с + |
Ac, kf) — ri |
(с, kf) |
|
(7.3.8) |
||||
|
|
L |
6с |
Jy — |
|
А |
|
|
|
|
||
И |
|
бг (с, kf) |
_ |
Г. (с, kf + 1) — Tj (с, kf) |
|
|
||||||
|
|
|
(7.3.9) |
|||||||||
|
|
~ ~ Щ |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
*) |
В |
целях |
упрощения |
обозначений |
интервал |
квантования |
||||||
Т будет пропускаться, если он встречается вместе с натуральным числом — номером дискретного момента времени кТ или (к + 1 )Т.
9 Э. П. Сейдж, Дж. Л. Мелса
218 |
ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ |
[ГЛ . 7 |
Следует отметить, что уравнение (7.3.7) является точным, хотя весьма напоминает разложение Тейлора. Если под ставить (7.3.7) в (7.3.6), получим
6г (с, kj) |
62г (с, kf) ^ |
А с + |
Sr (с, к.) |
|
Ах |
бс |
бсбк. |
- ^ / 7 ’. (7.3.10) |
|
[■ |
|
|
||
Из уравнений (7.3.1) и (7.3.2) можно определить Ах и Ас:
Дх = х (kf -f |
1) — х (kj) =-- а [г (с, kj), с, kf] — г (с, kt) |
(7.3.11) |
|||
и |
|
|
|
|
|
Ас — к (kj -f |
1) — к (kf) = |
rj [г (с, к{), с, it/] — с. |
|
(7.3.12) |
|
Так что уравнение (7.3.10) преобразуется к виду |
|
|
|||
* [г (с, kf), с, к,] — г (с, kf) = |
|
|
|
||
' бг (с, kj) |
б2Г (С, kf) |
(Л [г (с, kf), c,kt\— с} + |
бг (с. */) |
т, |
|
бс |
бсбkf |
|
6А/ |
^ • |
|
|
|
|
|
(7.3.13) |
|
Если бы из этого уравнения в частных разностях удалось найти г (с, kf), то ДТКЗ была бы полностью решена. Од нако, как и в непрерывном случае, найти общее аналити ческое решение уравнения (7.3.13) не удается и обычно обращаются к приближенным методам. Прежде чем про должить эту цепочку рассуждений, полезно обсудить взаи мосвязь между дискретным и непрерывным вариантами инвариантного погружения, т. е. уравнениями (7.2.13) и (7.3.13).
Одна из дискретных форм записи уравнений (7.2.1) и (7.2.2) имеет вид
х (к + 1) = Т\ [х (к), к (к), к] + х (к),
к (к + 1) = Гр [х (к), к (к), к) + к (к).
Так что а и tj в уравнениях (7.3.1), (7.3.2) очевидным об разом определяются как
* [х(/с), к (к), к] = Т\[х(к),к(к),к] + х(к), (7.3.14)
ц [х (к), к (к), к] = Гр [х (к), к (к), к] + к (к). (7.3.15)
Здесь Т предполагается малой величиной, так что произ водную можно заменить первой разностью. Подстановка
7.3] ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ 219
(7.3.14) и (7.3.15) в |
(7.3.13) дает |
|
|
||
Ту (г, с, kf) = |
|
|
|
|
|
|
бг (с, kf) |
б2г (с, kf) |
М C’ kf) rr |
(7.3.16) |
|
-[■ |
бс |
бсбк. |
Т§ (г, с, kf) + |
6hf 1 ' |
|
Если теперь разделить это уравнение на Г и устремить Т
к нулю, полагая kf T = |
tf, |
то из (7.3.16) получим |
||
дт(с, tf) |
Р (г, с, tf) + |
дт(с, tf) |
(7.3.17) |
|
Y (г. с, tf) |
дс |
dt |
||
Уравнение (7.3.17) не содержит вторых производных и в этом смысле дискретное уравнение является более общим, так как, используя дискретную аппроксимацию уравне ния (7.3.17), было бы невозможно получить уравнение (7.3.16) в конечных разностях. Можно показать, что вто рая частная разность становится существенной, когда интервал квантования нельзя считать малым (Сейдж [116]).
Вернемся теперь к основному вопросу об отыскании решения ДТКЗ. Так как в общем виде решить (7.3.13)
не |
удается, |
|
предположим, |
что г (с, |
kf) |
линейна по с: |
||
|
|
|
г (с, kf) = |
х (kf) — Р (kf) с. |
|
(7.3.18) |
||
Используя |
(7.3.18), вычислим разности, |
которые |
входят |
|||||
в уравнение |
(7.3.13): |
|
|
|
|
|
||
|
|
± |
^ l = - V |
( k f), |
|
|
(7.3.19) |
|
|
|
|
= _ |
[Р(Л/ + 1) - |
Р(*,)1 IT |
(7.3.20) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
= |
[X (kf -f 1) — X (kf) — Р (kf + 1) с + Р (kf) с] /Т. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.3.21) |
Подставив эти выражения в (7.3.13), ползшим |
|
|||||||
а [х (кД— Р (kt) с, с, к <1= |
|
|
|
|
|
|||
= — V(kf |
'Мт] [x№f) - Р (kf)c, с, к}] 4- x(kf -\-1). |
(7.3.22) |
||||||
9*
220 ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ [ГЛ . 7
Разлагая « и р в ряд Тейлора в окрестности х {kf), 0 и kf
и пренебрегая членами высокого порядка, |
можно перепи |
||
сать уравнение (7.3.22) в виде |
|
|
|
* [х (к)), 0, kf] |
да [х (kf) — Р (kf) с, с, kf] I |
|
|
до |
|с=0 с — — Р (kf -j- 1)х |
||
X |il [х (kf), 0, kf] |
дт\[х (kf) — Р (kf) с, с, kf] |
^с}-)-x(fc,+ 1). |
|
Эс |
|
||
|
|
|
(7.3.23) |
Это соотношение должно выполняться для всех достаточ но малых с, поэтому, приравнивая коэффициенты при первой и нулевой степени с, получим
X (kf + |
1) = |
* [X (kf), 0, kf] |
+ Р (kf -f 1) Т] [х (kf), 0, kf], (7.3.24) |
||
' (*/ + |
!){- |
дц [х (kf) — Р (kf) с, с, kf ] |
J |
- |
|
дс |
|
||||
|
|
|
да [х (kf) — Р (kf) с, с, kf] |
||
|
|
|
|
дс |
. (7.3.25) |
|
|
|
|
|с=0 |
|
Теперь необходимо подставить выражение для ж и ц. Рас смотрим дискретную ДТКЗ (3.2.30) — (3.2.32), (3.2.34),
которая, если пренебречь членами второго порядка мало сти по с, приводится к виду
х (к, + 1) = ф [х (kt), kf] — |
|
- - 4- |
|
|
|
- Г [х (к,), kf] Vw (kf) ГТ [x (kf), kf] - -- |
- |
T , (7.3.26) |
|||
|
|
|
Эх (kf) |
|
|
|
Эх (кЛ |
|
|
|
|
+ |
ЭЬт [х (kf + l),kf + |
i] |
\){z(kf + i ) |
||
Эх (kf + 1) |
Y?(kf + |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— h |x (kf |
1), kf + |
1]}, (7.3.27) |
|
|
h(k0) = |
VXo [x(fc0) |
M-Xol) |
|
(7.3.28) |
|
% (kf) = c = 0. |
|
|
(7.3.29) |
|
Заметим, что эти выражения не сводятся к (7.3.1) и (7.3.2), так как в правой части уравнения (7.3.27) появилась за висимость от х (kf -f 1). Подставляя х (к{ + 1) из (7.3.26),
