ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
2.4] |
ИДЕНТИФ ИКАЦИЯ Н ЕСТАЦ И О Н АРН Ы Х ОБЪЕКТОВ |
35 |
Это определение оправдано не только с точки зрения удоб ства обозначений: мы покажем, что введенную величину при некоторых условиях можно непосредственно измерять. Подстановка (2.4.26) в (2.4.22) приводит к векторному ур шнению, п-я компонента^ которого запишется в виде
/п(М t) = |
а„ (0 h(/о, t) + b£ (0 о), |
(2 4.27) |
где / п — п-й элемент |
f, al и b j — п-е строки |
матриц |
А (г) и В (г) соответственно. Уравнение (2.4.27) эквива лентно уравнению
/„ (М *) = [hT (/со, t) ют] X(t). |
(2.4.28) |
Поскольку f n и элементы h и м — комплексные числа, а результаты измерений неизбежно вехцественны, желатель но выделить в этом выражении действительную и мнимую части. Формулу (2.4.28) можно переписать в виде двухкомпонентного векторного уравнения
1 е
4”гГьч
---1
1
1 |
3 |
sr |
|
н |
1--- 3 |
Ни3J |
|
(2.4.29)
Обозначая верхним левым индексом у личин соответствующее значение lfn = f n (/соf, t), {hT = hT (/сог, t)), (2.4.29) в виде
рассматриваемых ве частоты (например, можно переписать
1 |
1 Рн Й |
|
Г Ч |
|
|
== |
Ч |
|
% R |
2^*r |
|
|
|
Ч
■ ■ •_
----1 ЕчоЗ а
ч
Ч(2.4.30)
2со?
Обозначим вектор в левой части этого уравнения через v, а матрицу справа— через G; очевидно, что G — квадрат ная матрица, если размерности v и X совпадают. Это усло вие удовлетворяется, если последней компонентой v
является qfj (g |
= (/г |
т)12) |
при четном (п -f- т) и со |
|
ответственно |
9/ r (q = |
(п |
1)/2) |
при нечетном |
(п -\-т). Как правило, G не вырождена, |
поэтому решение |
|||
|
|
|
|
2* |
36 |
КЛАССИЧЕСКИЕ |
М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
[ГЛ. 2 |
уравнений (2.4.30) можно записать в виде |
|
||
|
%(г) = |
G_1 (/со{, t) v (]щ, г). |
(2.4.31) |
Эта формула дает возможность осуществить идентифика цию системы, если G и v удается измерить в результате наблюдений за системой. Рассмотрим теперь подробнее процесс измерений.
При использовании уравнения (2.4.31) для идентифи кации системы необходимо располагать способами опреде ления h (/со,-, t) и f n (/сог, t), i = 1 ,2 , ..., q. По существу, предлагаемый метод заключается в возмущении системы тестовыми сигналами и извлечении необходимой информа ции из отклика системы. Выбор вида пробных воздействий основывается на уравнении (2.4.20), из которого следует простая связь между h (/со, t) и реакцией системы на вход ной сигнал их = е;ш(. Поскольку последний физически нереализуем, выбирается близкий физически реализуемый вид входного сигнала пх = cos <s>t. Обозначая отклик на этот сигнал через “ф(/со, t) и замечая, что реальная сис тема описывается вещественными коэффициентами, полу чим, что
ф (/со, f) = Re {£ (усо, t)} = hR(/co, t) cos соt — 1ц (/со, t) sin соt. (2.4.32)
Используя этот результат и определение (2.4.26), видим, что
рф (/со, t) = fR,(/co, t) cos соt — fj (/со, t) sin coi. (2.4.33)
Эти два соотношения показывают, что задача осуществле ния измерений сводится к демодуляции ф и рф. К счастью, нет необходимости исследовать эти уравнения отдельно, так как их можно объединить в одном соотношении. Для этого введем (п -f- 1)-мерный вектор
УТ (/со, t) = [hT (/со, t), fn(/со, г)]. |
(2.4.34) |
Компонентами вектора у являются подлежащие измере нию величины. Обозначая расширенный вектор состоя ния системы, отвечающий входу их — cos соt, через ф1 (/со, t), получим
ф1 (/со, t) = Yr(/co, t) cos соt — у\ (/со, t) sin co£, (2.4.35)
2.4] ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦ И ОН АРН Ы Х ОБЪ ЕКТО В |
37 |
и задача сведена к демодуляции функции г])1 (/со, t). Ниже мы детально рассмотрим метод определения yr- Затем бу дут оговорены те незначительные изменения, которые не обходимо внести для определения Yj.
Первый шаг при определении Yr заключается в умно жении ф1 на cos at. В результате получается (я -f- 1)- мерный вектор, обозначаемый далее через р (/со, t). Из (2.4.35) следует, что
р = ф1 cos юt = 7 / ( yr + Yr cos 2oof — Yi sin 2cof). (2.4.36)
Поскольку желательно провести анализ р (/со, t) в частот ной области, удобно ввести преобразование Фурье этого вектора Р (/со, /‘pi), где р означает частотный параметр преобразования. Трудности графического изображения вектор-функции Р заставляют обратиться к ее скалярной характеристике, которая должна быть пропорциональна «длине» Р. Отсюда сразу следует выбор в качестве такой характеристики нормы
||Р[| = (P+P)v%
где значком «-)-» обозначен сопряженный вектор. Вначале рассмотрим случай стационарной системы,
для которого очевидно, что у не зависит от времени, т. е. Y (/со, < ) = 7 О®)- По этой причине спектр р (/со, f) диск ретный и состоит из трех импульсов. Их амплитуды рав
ны |
(я/2) I Y I |
Iп , Yr |>I I(я/2) |Y I I и |
расположены |
они |
на |
частотах |
р — — 2со, 0 и 2со |
соответственно. |
Этот |
спектр показан на рис. 2.4. 1, а. Очевидно, что для изме рения yR достаточно просто пропустить р через низкочас тотный фильтр, значительно ослабляющий сигналы с ча стотой р = 2со. Можно извлечь дополнительные преиму щества из того факта, что выходной сигнал фильтра не меняется. Следовательно, его можно усреднить для даль нейшего подавления составляющих с р = + 2со и любого содержащегося в сигнале шума (с нулевым средним зна чением).
Перейдем теперь к случаю медленно меняющейся си стемы. Во избежание недоразумений с употреблением слов «медленные изменения» предлагается следующее оп ределение. Медленно изменяющейся называется неста ционарная система, у которой расширенный вектор зави
38 |
КЛАССИЧЕСКИЕ |
М ЕТОДЫ |
ИДЕНТИФИКАЦИИ |
L ra . |
2 |
сящего |
от времени частотного |
преобразования |
\ (/to, |
t) |
|
по существу постоянен |
на любом интервале времени I, |
превосходящем период наиболее низкочастотной гармони ки собственных движений^системы, «замороженной» при
ПРИ, |
'Амплитуда^ |
i |
при1 |
|
|
Субспектр yR |
Субспектр ун |
||
|
=лШ1 |
|||
|
/ |
Амплитуда= , J Субспектру |
СубспЕКтр у |
|
|
|
ф п |
р х / |
|
-2ш О 2и> [I |
-2со 0 2ш [I |
-2ш О 2ш и |
||
а) |
|
б) |
в) |
Рис. 2.4.1. Частотные спектры для задачи идентификации.
некотором |
( е / | параметр |
со |
выбирается так, чтобы |
|
У (/ |
к>) |= |
jq I Т (/0) It гДе |
Y (/со) — расширенный век |
|
тор |
частотного преобразования |
замороженной системы. |
В данном случае анализ спектра обнаруживает появле ние непрерывных компонент. Эти компоненты, называе мые в дальнейшем субспектрами, компактно группируют ся вокруг тех частот, которым соответствовали дискрет ные компоненты спектра в стационарном случае. Суб
спектр, сформированный около |
р = 0, соответствует yr> |
|
два остальных — |
(Заметим, |
что представление спектра |
с помощью нормы не позволяет различать преобразования Фурье, отличающиеся только по фазе.) Типичный спектр для случая медленных изменений показан на рис. 2.4.16. При хорошо разделенных компонентах спектра Yr м о ж н о выделить из Y с помощью низкочастотного фильтра, подоб но тому как это делалось для стационарных систем. Одна ко в этом случае к фильтру предъявляются более жесткие требования. Пренебрегая шумом, необходимо, чтобы иде альный фильтр имел постоянную амплитудную характе ристику и постоянный фазовый сдвиг во всем диапазоне частот субспектра, порожденного Yr>и нулевой отклик на всех других частотах. Эти условия определяют идеальный полосовой фильтр, который, как следует ожидать, физи чески неосуществим (при реалистичных требованиях к за тратам времени). Используемый реализуемый фильтр сле дует выбирать так, чтобы он приближался к указанным ха
2ЗД| ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦ ИОН АРН Ы Х ОБЪЕКТОВ! 3&
рактеристикам в диапазоне частот, где |Р| не слишком мала.
При наличии шума физически осуществимая аппрок симация идеального полосового фильтра может уже не дать удовлетворительных результатов. (Шум в общем случае содержит, кроме случайной компоненты, управ ляющее воздействие, приложенное ко входу системы на ряду с тестовым сигналом.) В данном случае оптимальным будет такой фильтр, который наиболее эффективно подав ляет помехи и дает наилучшую оценку уд. В идеале кри терий, определяющий наилучшую оценку, должен при нимать во внимание (2.4.31). Иными словами, первооче редной интерес представляет ошибка в определении X.
Даже когда шумом можно пренебречь, в измерениях Yr, вообще говоря, будут присутствовать ошибки. Частич но их происхождение обязано тому, что спектр у редко бывает в строгом смысле ограниченным, и, следовательно, происходит некоторое перекрывание «хвостов» субспект ров. В результате на выходе фильтра появляется аномаль ная компонента. Другой источник искажений порождает ся неидеальностыо характеристик фильтра, который мо жет применяться при осуществлении идентификации в реальном масштабе времени. Оба эти эффекта можно су щественно ослабить при правильном проектировании схемы идентификации, если система меняется достаточно медленно.
Наконец, исследуем случай, когда система меняется быстро. Спектр в этом случае отличается от спектра в слу чае медленных изменений в первую очередь тем, что суб спектры перестают быть узкими. Теперь они размазаны в широком диапазоне частот, как показано на рис. 2.4.1 в. В такой ситуации разделить их с помощью какого-либо фильтра невозможно. Единственный выход — увеличи вать частоту тестовых воздействий до тех пор, пока суб спектры не окажутся разнесенными настолько далеко, что бы субспектр yR стал выделенным. Такое оказавшееся возможным в данном случае улучшение служит лишней иллюстрацией хорошо известного принципа, что высокая несущая частота позволяет передать более значительный объем информации, чем низкая, если полоса частот, кото рой мы располагаем для передачи этой информации, со ставляет фиксированную долю несущей частоты.
40 |
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
1ГЛ. 2 |
К |
несчастью для задачи идентификации природа со |
противляется такому подходу. С ростом частоты проявля ются два вредных эффекта. Первый состоит в том, что при фиксированной амплитуде тестового сигнала амплитуда Спектра Р начинает убывать. Естественно, при этом убы вает отношение сигнал / шум, усложняя проблемы, свя занные с помехами. Второй эффект заключается в увели чении чувствительности получающегося решения для X к малым помехам, присутствующим в измеренных значе ниях у. Очевидно, что второй эффект усугубляет трудно сти, порожденные первым, и в итоге достаточно точное оп ределение X при больших со может оказаться слишком сложным. Тем не менее при очень низком уровне шума и весьма совершенной измерительной аппаратуре выбор большой со позволяет осуществить идентификацию даже очень быстро меняющихся систем.
Процедура определения Yi из ф1 аналогична рассмот ренной процедуре определения yr- Единственное сущестэнное различие состоит в том, что ф1 умножается на sincoi вместо coscoi. Из получающегося в результате произведе ния при благоприятных условиях путем фильтрации мо жет быть выделена yi. Поскольку эта процедура демоду ляции не предполагает использования каких-либо новых идей, обратимся теперь к задаче измерения векторов час тотных преобразований, когда пробное воздействие со
держит гармоники нескольких частот.
В многочастотном случае пробный сигнал является суммой синусоид
ч |
|
ui(t) — 2 Rjcos(Ojt. |
(2.4.37) |
i= l |
|
Обозначая соответствующий этому входу расширенный вектор состояния через ф1 (/соц на основании (2.4.35) и принципа суперпозиции получим
9
ф1 (/со{, t) = 2 Щ [’VrCos ciV — ’Yi sin со^]. [(2.4.38)
i= l
Если спектры’ у ограничены и со; расположены достаточно далеко друг от друга, то спектр ф1 состоит из неперекрывающихся субспектров, как на рис. 2.4.2. На рисунке