ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
48 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОД i..7 ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 2
Эти функции получаются из полиномов Лагерра умноже нием на экспоненту, так что для многочлена Лагерра
Ln(t) = |
1 |
п = 1, 2, . . |
(2.6.1) |
(п — 1)! |
соответствующая п-я функция Лагерра определяется как
gn (0 = |
|
t > 0 , |
О, |
(2.6.2) |
|
|
f < 0. |
Функции gn (i) ортогональны при всех t ЕЕ [0, оо]. Прош лые значения входного сигнала можно представить рядом
и (— t) = |
2 |
vngn(t), |
0, |
(2.6.3) |
|
W—1 |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
vn = |
^ |
и (— т ) ( т ) |
dx. |
(2.6.4) |
|
о |
|
|
|
Ясно, что необходимые нам коэффициенты Лагерра мож но получить, пропуская х (t) через цепочку линейных ди намических звеньев. Рассмотрим генерацию коэффициен тов Лагерра с помощью линейной системы с передаточной функцией, являющейся преобразованием Лапласа уравне
ния (2.6.1)
1 -1П-1
Gn(s) = |
(2.6.5) |
|
* + “9Г |
Эта система показана на рис. 2.6.1. Для полного исполь зования всех выгод разложения входного сигнала в ряд по функциям Лагерра, в излагаемой теории предполага ется, что для возбуждения системы на вход подается гаус совский белый шум. Можно показать, что при таком выбо ре входного сигнала функции Лагерра оказываются некор релированными гауссовскими случайными процессами с равными дисперсиями. Поскольку полиномы Эрмита ор тогональны при всех t Е= I— оо, оо], естественно восполь зоваться разложением оператора системы по функциям Эрмита. Для л-го полинома Эрмита т)„ (и) Винер определил (л 1)-ю функцию Эрмита как
# „ (и) = e-(u2/2)rin (ц). |
(2.6.6) |
2.6 |
ВИНЕРОВСКАЯ ТЕОРИ Я Н ЕЛ И Н ЕЙ Н Ы Х СИСТЕМ |
49 |
Винер показал, что формулы перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу можно записать в терминах функций Эрмита с помощью ряда
ОО ОО ОО
x(t) = lim 2 S |
••• 2 |
aU-hHi(ui) Hj(u2) ... H h(up). (2.6.7) |
|
|
P * * 00 i —1 3=1 |
h = l |
|
Его |
коэффициенты <ху...ь можно определить, умножая |
||
обе |
части уравнения |
на соответствующие произведения |
|
Рис. 2.6.1. Генерация коэффициентов Лагерра с помощью линейной системы.
функций Н п (и) и усредняя по t Е [— оо, оо]. Однако, благодаря выбору входного сигнала и формы разложения, необходимое усреднение можно осуществить путем опре деления корреляционной функции выхода системы и по линомов Эрмита. Например, можно показать, что
т
ац..л = (2я)р/2 lim |
^ и (t) % (иг) т)3 (щ )... % (ир) dt |
= |
Т-*оо |
_ т |
|
|
= (2n f 2u (t)v (i)‘. |
(2.6.8) |
Это уравнение резюмирует винеровскую эксперимен тальную теорию нелинейных систем. На рис. 2.6.2 пред ставлена схема вычислений, необходимых для реализа ции этого метода. Несмотря на кажущуюся простоту урав нений (2.6.8), приведенное выражение предполагает вы полнение, вообще говоря, бесконечного числа операций. Для практического использования винеровской теории необходимо обрезать все операции, связанные с предель ными переходами, как по отношению к продолжительности измерений, так и по отношению к числу членов в разло жении и (<). Анализ погрешностей, связанных с подоб ным усечением, был бы исключительно сложным. Кроме
50 |
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
[ГЛ . 2 |
того, дополнительные трудности связаны с особенностью описанной процедуры, неосуществимой в режиме нормаль ного функционирования, поскольку в течение длительного
Рис. 2.6.2. Схема для оценки коэффициентов Винера.
времени система должна подвергаться воздействию спе циальных тестовых сигналов. Далее, мы не рассматрива ем нестационарные и неустойчивые системы. Наконец, возникает необходимость перехода от коэффициентов Винера к параметрам системы дифференциальных урав нений, что часто оказывается непростой задачей. В цити руемых нами в библиографии работах можно найти много дополнительных деталей этого метода идентификации.
2.7.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вэтой главе был исследован ряд методов идентифика ции, которые в прошлом использовались весьма эффектив но. Рассмотрены различные процедуры: от простых чис ленных алгоритмов решения уравнения свертки в разделе
2.2до более сложной методики изучения реакции на си нусоидальный входной сигнал для линейных нестационар
ных систем. Остальные главы книги посвящены исследо ванию так называемых современных подходов к задачам идентификации. Прежде чем заняться этим мы, однако, должны определить функции штрафа для задач идентифи кации, что и составляет содержание следующей главы.
Глава 3
ФУНКЦИИ ШТРАФА В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ
3.1.ВВЕДЕНИЕ
Вэтой главе будут исследованы некоторые функции штрафа, которые можно использовать в задачах иденти фикации. Под функциями штрафа для задач идентифика ции понимаются потери или штраф, связанные с недости жением абсолютно точной идентификации. К примеру, если истинное значение подлежащего определению пара
метра равно 0, а получаемая оценка равна 0, подходящей функцией штрафа может служить (0 -т-0)2. Собственно говоря, истинное значение параметра 0никогда точно не известно; именно это и является основной причиной воз никновения задачи идентификации. Следовательно, бо лее разумным является использование статистических
характеристик отклонения 0 от 0. В общем виде в случае векторного параметра 0 эта характеристика может быть записана в виде
|
|
|
ОО |
M = 8{C[Q{Z) | Z }= |
$ C[Q(Z)]p(Q\Z)dQ = |
||
|
|
|
— со |
ОО |
ОО |
ОО |
|
= 5 |
$ ... |
5 |
С [0 (Z)] р (01Z) <50! d02... dQN. (3.1.1) |
— СО — ОО |
— ОО |
|
|
Здесь С [0 (Z)] означает цену ошибки (штраф за ошибку). Ошибка определяется формулой
0J(Z) =- 0 — 0 (Z), |
(3.1.2) |
где 0 — истинное значение параметра и 0 (Z) — оценка параметра, основанная на некотором наблюдении Z. Фор мула (3.1.1) представляет условное математическое ожида ние штрафа за ошибку в оценке параметра и получается непосредственно применением основной теоремы о средних
52 ФУНКЦИИ Ш ТРАФА В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3
значениях. Наиболее распространенными функциями цены ошибки являются квадратичная
С [0 (Z)] = II0 - 6 (Z) I = [0 - e (Z )fs [ 0 - е (Z)], |
(3.1.3) |
где S — неотрицательно определенная симметричная мат рица, и ступенчатая
1/е, |
II 0 ( 2) I > е , |
Q0(Z)1 = |
(3.1.4) |
О, |
10(2)1 < 8 . |
Минимизируя (3.1.1) оптимальным выбором 0 (Z) при квадратичной цене ошибки вида (3.1.3), легко прийти к
выводу, что наилучшей оценкой 0 (Z) является условное математическое ожидание
оо
0(Z) = ^ 0p(0|Z)d0. |
(3.1.5) |
Критерий (3.1.4) часто рассматривается при достаточно малом е, так что эквивалентной (3.1.4) становится функ ция штрафа
N |
|
С 10 (Z)] ------П * п 10, — Oi(Z)]. |
(3.1.6) |
i=l |
|
Подставляя (3.1.4) в (3.1.1) и переходя в полученном вы ражении к пределу при е, стремящемся к нулю, или непо средственно подставляя (3.1.6) в (3.1.1), получим штраф ную фун ;цию максимума апостериорной вероятности
Я — — р [0(Z)|Z], |
(3.1.7) |
когда необходимо выбором 0 (Z) минимизировать Я. Та
кая оценка 0(Z) называется оценкой максимальной апо стериорной вероятности (МАВ), поскольку эта оценка по лучается максимизацией условной плотности вероятности р[0| Z] и обычно находится из уравнения
дР (01Z) |
= 0. |
(3.1.8) |
|
90 |
|||
®=®MAB(z ) |
|
||
|
|
В дальнейшем мы будем часто использовать оценки МАВ.
3.1] |
ВВЕДЕНИЕ |
53 |
Более традиционной, чем штрафная функция максиму ма апостериорной вероятности, является штрафная функ ция максимального правдоподобия (МП); в этом случае максимизируется условная плотность вероятности наб людений относительно параметра 6. Оценка определяется из уравнения
д р (Z | 8)
(3.1.9)
ее ®=»МП<2)
при этом параметру 0 присваивается значение, при кото ром наиболее вероятно появление наблюдавшейся реали зации Z. Легко понять, что оценки МАВ и МП тесно свя заны, поскольку, согласно формуле Байеса,
Р (GIZ) = Р (Z 10) р (0)/р (Z). |
(3.1.10) |
Поэтому оценка МАВ есть оценка МП, в которой априор ная информация об оцениваемом параметре, содержащаяся в плотности вероятности р (0), используется для улучше ния оценки. В оценке МП не используются никакие апри орные знания о подлежащем оцениванию параметре 0.
Проиллюстрируем разницу между двумя подходами на простой задаче, которая нам еще понадобится впоследст вии. Рассмотрим идентификацию А-вектора состояния х(к), порождаемого линейной автономной моделью
х(Л + 1) = Ф(Л + 1,й)х(Л). |
(3.1.11) |
М-вектор наблюдений, производимых в присутствии шу ма, имеет вид
z (к) = Н (к) х (к) + v (к), |
(3.1.12) |
причем шум у (к) — последовательность гауссовских слу чайных величин с нулевым математическим ожиданием и таких, что
cov {V (к), V (;)} = Vv {к) 6К {к — j), cov {v (к), х (у)} = 0, (3.1.13)
где бк — символ Кронекера. Сначала рассмотрим задачу построения оценки х (к0) методом максимального прав доподобия, т. е. путем максимизации функции правдопо добия
Р [Z (kf) |х (&„)] |
(3.1.14) |
54 ФУНКЦИИ |
Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3 |
||
выбором х (&„). Идентификация х (к0) подобным |
образом |
||
эквивалентна |
идентификации х (к) для к0 |
к ^ |
kf, так |
как х (к) порождается х (к0) в соответствии с (3.1.11).
Символ Z (к/) используется для обозначения |
всех z (к), |
|||||
к0 < |
к < А/. |
|
|
|
|
|
Для первых двух условных моментов имеем следую |
||||||
щие |
выражения: |
|
|
|
|
|
&(z (к) |х (Аэ)} = |
Н (к) х (&) = Н (к) Ф (к, к0) х (к0), (3.1.15) |
|||||
где |
|
var {г (к) |х(А:0)} = |
\ у (к), |
(3.1.16) |
||
|
|
|
(с- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( М о ) = П Ф ( с И , / ) . |
(3.1.17) |
||||
|
|
|
|
3=*о |
|
|
Функция правдоподобия, или |
условная |
плотность |
||||
Z (kf) |
относительно |
х (к0), является гауссовской и |
||||
p[Z(kf)\x(ka)\ |
И |
|
1 |
|
|
|
|
( 2 , л ) м <г Г ( le t V v ( к ) ] ' ' X |
|
||||
|
|
А=..о+1 |
|
|
|
|
Xexp {— 0,5 (z (к) — II (к) х (&)]т Уу1 (к) [ъ (к) —
-Н (к)х(к)]}}. (3.1.18)
Видно, что максимизация (3.1.18) эквивалентна ми нимизации штрафной функции метода наименьших ква дратов :
, |
ЪФ) Н (к) х (к) f S, |
(3.1.19) |
/ = 4- |
||
/£=*„+1 |
Vv (4 |
|
Эта минимизация должна производиться по х (к0), причем
х (к) = Ф (к, к0) х (к0). |
(3.1.20) |
Объединяя два предыдущих уравнения, дифференцируя по х (й'0) и приравнивая производную нулю, легко полу чить
Ht
*мп (*о) = М '1 (kf, Аг0) 2 фТ(^> *о) Нт(к) V ;1 (к) z (к), fc=Kvf'1
(3.1.21)
