Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

факторов .• Такие таблицы

называются

м а т р и ц а м и

п л а н и р о в а н и я

э к с п е р и к е н т а .

В дальнейшем для удобства математических выкладок ш

в матрицу планирования

введем столбец

фиктивной

переменной

х 0 , которая принимает

во всех опытах

значение

+ 1 . Матрицу

планирования называют также матрицей независимых перемен­

ных. "Будем обозначать ее

через X .

Матрица планирования

эксперимента 2^ приведена в табл.

I . I .

 

 

Таблица I . I

*опыта

I

+

I

-

I

-

I

 

2

+

I

+

I

-

I

 

3

+

I

-

I

+

I

 

4

+

I

+

I

+

I

I

 

 

 

 

I

 

 

То, что записано в этой таблице, можно изобразить г е о - -метрически. Найдем в области определения фан~~ров точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее но­ вые оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов. Далее выберем масштабы по новым осям так, чтобы интервал изменения для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вер - пгггяям квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна одной из осей координат и рав­ на двум интервалам (см . рис . 1 . 2) .

Рис.1.2

1

Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в мат­ рице планирования. Площадь, ограниченная квадратом, назы­

вается о б л а с т ь ю э к с п е р и м е н т а . Иног­

да удобнее считать областью эксперимента площадь, ограни­ ченную окружностью, описывающей квадрат. В задачах интер­ поляции область эксперимента есть область предсказываемых

значений и,.

Запись матрицы планирования, особенно для многих фак­

торов, громоздка. Для ее сокращения удобно ввести услов­ ные буквенные обозначения строк. Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствие

строчной букве латинского алфавита: JCt — а , Л ^ -

"6

и

т.д. Если теперь для строки матрицы планирования

выписать

латинские буквы только для факторов, находящихся на верх­ них уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обоз-

начать ( I ) . Матрица хеширования вместе с принятыми буквен­ ными обозначениями приведена Б табл . 1 . 2 .

' $аблица 1.2

JS опыта \

 

" Г

 

 

X .

{Буквенные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j строк

 

+ I

. - 1

 

- 1

1

( D '

 

+

I

+

i

 

- 1

 

а

 

 

 

1>

 

+

I

-

1

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

+

I

+ 1

I

+ 1

1

а/о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вели для двух факторов все возможные комбинации уровней

легко найти прямым перебором

(или

просто

запомнить), то

:,

ростом числа факторов возникает необходимость в некотором

приеме построения матриц. Рассмотрим три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности.

Л -в р в н й п р и е - м : записать исходный план для

одного уровня нового фактора, а затем повторить его для дру­ гого уровня. Этот прием вытекает из того факта,, что при до - ' бавленил нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уро­

внями фактора.

 

 

 

 

Пусть

исходный план записан в табл . 1 . 2 . Проверьте, что

ма­

трица планирования для трехфакторной задачи,

построенная

с

помощью первого

приема, будет иметь следующий

вид:

 

( I ) ;

a ; i ;

аЛ; С ;

а с - , 1>с; aic.

 

 

Рассмотрим

в т о р о й

п р и е м . Для

этого введем

 

- 27 -

правило перемножения столбцов матрицы. При построчном пе -

ремножекин двух столбцов матрицы произведение единиц с од­

ноименными знаками дает + 1 , а с разноименными - I . Восполь­

зовавшись этим правилом, получим для случая, который мы

рассматриваем, вектор-столбец ацэс^. Далее повторим еще раз

исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на

обратные. Вы можете убедиться, что таким образом построе­

на матрица в таб.1.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.3

» опыта;

 

 

.,

J _ . .

 

!

 

 

— !

 

 

i

¥

 

 

t

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

i

 

 

1

!

+ I

1

-

1

I

-

I

 

+

I

!

*

i

 

 

j

2

i

+ I

 

- 1

 

+ I

- I

 

 

\

Hi

3

i

+ I

i

 

+ 1

 

- I

 

- I

 

 

i

I

Ъ

4-

j

+ I

i

 

+ 1

 

+ I

i

+ I

i

 

5

j

+

I

 

-

1

 

-

I

-

I

 

j

 

 

i

 

 

6

j

+

I

 

-

1

 

+

I

+

J.

 

 

 

 

 

t

%

i

 

 

 

7

'•

+ I

 

+ 1

 

- I

i

+ I

 

 

i

 

i

 

 

 

 

I

+

I

 

+

I

 

+

I

i

-

I

 

 

 

 

;

4'

8

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T p

e

T

И Й

n

 

p и e м

основан

на

iгравиле

чередова-

кия знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во

втором столбце они чередуются через два, в третьем - через

4, в четвертом - через 8 и т.д. по степеням двойки.

§ 1-3. С в о й с т в а

п о л н о г о

ф а к т о р ­

н о г о

э к с п е р и м е н т а - т и п а 2 ^

Здесь мы выясним, какими общими свойствами обладают ма­

трицы планирования полного факторного эксперимента типа 2\

-г в -

независдао от числа факторов. Говоря о свойствах матриц,

имеем в виду те из них, которые определяют качество мо­

дели. Ведь эксперимент и планируется для того, чтобы полу­

чить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойстзаш. Два свойства следуют непосредственно из построения мат­

рицы» Первое из них - с и м м е т р и ч н о с т ь относи­

тельно центра эксперимента - йордулируется следувдим обра­

зом: алгебраическая

с у ю »

элементов

гэктор-столбпа

г'ддого

сактота

равна тлю,

или

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

И * . . « О ,

 

 

( 1 Л )

 

j -

i

*

 

 

 

 

где I -

номер фактора,

1 =

1 , 2 , . . . ,

К. , X

- число

опытов.

Зторсе свойство

-

тал

называемое

у с л о в и е

к ор-

м z р о в к и: сумма квадратов элетлехдов

какого

стслб -

ца равна числу опытов,

или

 

 

 

Это следствие

того, что значения факторов в матрвде зада­

ются +1 и -

I .

Мы рассмотрели свойства отдельных столбцов матриц-

планирования. Теперь остановился на свойстве совокупное^;:

столбцов..

Сумма почленных произведений любых двух

вектор- .

столбцов

матрицы равна нулю,

ш

 

 

Е. a c - k j о , с/u,

t,u, = i , 2

k.

( i . 3 )

Это важное ово2":ство называется

о р т о г о н а л ь н о -

 

 

 

- 2 9

-

 

 

 

с т

ь ю

матрицы планирования. Отсюда планы полного

фактор­

ного

эксперимента называют

о р т

о - т о н а л ь н ы м и .

 

 

Последнее, четвертое свойство

называется р о т

а т

а

-

б е л ь

л о с т ь ю , т . е .

точки в

матрице планирования

под-

бкраются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакоьа на равных расстояниях от центра экс­

перимента л не зависит от направления. Доказательство этого

утверждения приведем нике в § 3 - 2 . Планы, для которых имеет

место свойство ротатабельности, называют

р о т а т а б е -

л ь

н ы м и .

 

 

 

В дальнейшем т убедимся,

что свойство

ортогональности

дает

возможность значительно

снизить вычислительные т р у с о ­

сти, Еозшжаюпяе при расчете коэффициентов регрессии, г на­ личие ротатгбельноста влечет равномерность распределения дисперсии предсказанных значений параметра оптимизации в изу­ чавши области йакторкого пространства. В этом смысле полный'

факторный эксперимент типа

2 является

оптимальный при по­

строении линейной модели.

 

 

 

§" 1-4. Э ф ф е к т

ф а к т о р а

и

э ф ф е к т ы

 

з з а и м о д е й с т в Е я

При варьировании факторами на двух уровнях можно полу­

чить математическую

модель

объекта в виде полинома первого

и неполного высшего

порядка.

 

 

3 зависимость от числа факторов в полином неполного выс­ шего порядка кроме линейных членов входят выражения, харак­ теризующие эффекты взаимодействия. Например, при трех факто-

Смотрите также файлы